Exercices - Paris School of Economics

Exercices
Elias Bouacida
8 octobre 2015
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Exercice 1
Soit A = {{a, b}, {c}, {d}}.
Est-ce vrai ou faux :
1. {a, b} ⊆ A ;
Faux : {a,b} est un élément de A, il faut donc utiliser le symbole ⊆ et non ∈. A
est constitué d’ensembles.
2. {{a, b}, {c}} ⊆ A ;
Vrai : {{a, b}, {c}} est un ensemble constitué de deux éléments, {a, b} et {c}, qui
sont tous les deux des éléments de A, c’est donc un sous-ensemble de A et le
symbole d’inclusion est approprié.
3. {{{a, b}, {c}} , {{d}}} est une partition de A ;
Vrai : Cette partition est constitué de deux sous-ensembles de A : {{{a, b}, {c}}
et {{d}}, dont l’intersection est bien vide. La réunion de ses deux sous-ensembles
donne bien A. C’est donc bien une partition de A
Donner le cardinal de P(A), l’ensemble des partie de A.
A est constitué de trois éléments : {a, b}, {c} et {d}, son cardinal est donc 3. Le
cardinal de l’ensemble des parties de A, A est donc 2#A = 23 = 8. Une autre façon
d’obtenir ce résultat est d’énumérer les sous-ensembles (= parties) de A :
1. A
2. ∅
3. {a, b}
4. {c}
5. {d}
6. {{a, b}, {c}}
7. {{a, b}, {d}}
8. {{c}, {d}}
On compte bien 8 éléments.
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Exercice 2
Faire l’exercice 14 du dossier de TD 1.
a) f est définie de R dans R par f (x) = x2 .
f n’est pas injective ni surjective.
f n’est pas surjective, car n’importe quel nombre strictement négatif (membre de
l’ensemble d’arrivé donc), n’a pas d’antécédent par la fonction f (prenez -1 comme
exemple : il n’existe pas de x tel que f (x) = −1. Donc f n’est pas surjective.
Par ailleurs, f n’est pas injective, prenons y = 1, 1 a deux antécédents par f ,
-1 et 1. Elle n’est donc pas injective. Ceci est vrai pour n’importe quel nombre
strictement positif.
b) f est définie de R dans R+ par f (x) = x2 .
f est surjective. Prenons un nombre y quelconque de l’ensemble d’arrivée. Il existe
√
un x tel que f (x) = y ⇔ x2 = y. Il suffit de prendre x = y, ce qui est possible
car y ∈ R+ , donc y est positif et sa racine existe.
Par ailleurs, f n’est pas injective, prenons y = 1, 1 a deux antécédents par f ,
-1 et 1. Elle n’est donc pas injective. Ceci est vrai pour n’importe quel nombre
strictement positif.
c) f est définie de R+ dans R+ par f (x) = x2 .
f est surjective. Prenons un nombre y quelconque de l’ensemble d’arrivé. Il existe
√
un x tel que f (x) = y ⇔ x2 = y. Il suffit de prendre x = y, ce qui est possible car
√
y ∈ R+ , donc y est positif et sa racine existe, et y est un membre de l’ensemble
de départ, car positif.
Par ailleurs, f est injective. En effet, supposons qu’un nombre y de l’ensemble
d’arrivé possède deux antécédents x et x0 . Alors y = f (x) = f (x0 ), ce qui signifie
que x2 = x02 . Ce qui est équivalent à |x| = |x0 |. Or x et x0 sont tous les deux
positifs, donc x = x0 . On en déduit donc que f est injective.
f est injective et surjective, donc f est bijective.
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Exercice 5 TD 2
√
Démontrer que 7 est irrationnel.
√
On va effectuer pour cela une démonstration par l’absurde : on va supposer que 7
est rationnel et aboutir à une contradiction. C’est le principe d’une démonstration par
l’absurde : on suppose l’inverse de ce que l’on veut montrer et on montre qu’on aboutit
alors à une contradiction.
√
Supposons donc que 7 rationnel. Cela signifie qu’il peut s’écrire sous la forme d’une
fraction pq , avec p et q deux entiers naturels premiers entre eux. Que deux nombres soit
premiers entre eux signifie qu’il n’existe pas de nombre entier qui les divise tout les deux
autre que 1. Par exemple, 9 et 4 sont premiers entre eux.
On a donc :
√
p
p2
7 = ⇔ 7 = 2 ⇔ p2 = 7q 2
q
q
La dernière équivalence signifie que 7 divise p2 . Ce qui signifie que 7 divise p (démonstration de ce point à la fin). On peut donc écrire que p = 7p0 .
2
0n a donc 7 · 7p02 = 7q 2 , donc 7p02 = q 2 . Donc 7 divise q 2 , donc q.
7 divise q et 7 divise p, ce qui est une contradiction avec le fait qu’ils sont premiers
entre eux.
√
On en déduit que 7 est irrationnel.
Revenons au fait que si un entier naturel divise le carré d’un entier naturel, alors il
divise cet entier naturel. Tout entier n ∈ Z peut s’écrire de façon unique comme un produit
de facteurs premiers :n = n1 · n2 . . . nK avec nk un nombre premier pour k = 1, . . . , K.
Si n est divisible par un nombre premier n0k , alors n0k apparaît dans la décomposition
en facteurs premiers de n. Puisque la décomposition en facteurs premiers de n2 s’écrit
n2 = n21 · n22 . . . n2K , alors n2 est également divisible par n0k . Et si n2 est divisible par
un nombre premier n00k , alors n0k apparaît deux fois dans sa décomposition en facteurs
premiers et n est également divisible par n00k .
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