Exercices - Paris School of Economics

Exercices
Elias Bouacida
8 octobre 2015
1 Exercice 1
Soit A={{a, b},{c},{d}}.
Est-ce vrai ou faux :
1. {a, b} ⊆ A;
Faux : {a,b} est un élément de A, il faut donc utiliser le symbole ⊆et non ∈.A
est constitué d’ensembles.
2. {{a, b},{c}} ⊆ A;
Vrai : {{a, b},{c}} est un ensemble constitué de deux éléments, {a, b}et {c}, qui
sont tous les deux des éléments de A, c’est donc un sous-ensemble de Aet le
symbole d’inclusion est approprié.
3. {{{a, b},{c}},{{d}}} est une partition de A;
Vrai : Cette partition est constitué de deux sous-ensembles de A:{{{a, b},{c}}
et {{d}}, dont l’intersection est bien vide. La réunion de ses deux sous-ensembles
donne bien A. C’est donc bien une partition de A
Donner le cardinal de P(A), l’ensemble des partie de A.
Aest constitué de trois éléments : {a, b},{c}et {d}, son cardinal est donc 3. Le
cardinal de l’ensemble des parties de A,Aest donc 2#A= 23= 8. Une autre façon
d’obtenir ce résultat est d’énumérer les sous-ensembles (= parties) de A :
1. A
2. ∅
3. {a, b}
4. {c}
5. {d}
6. {{a, b},{c}}
7. {{a, b},{d}}
8. {{c},{d}}
On compte bien 8 éléments.
1

2 Exercice 2
Faire l’exercice 14 du dossier de TD 1.
a) fest définie de Rdans Rpar f(x) = x2.
fn’est pas injective ni surjective.
fn’est pas surjective, car n’importe quel nombre strictement négatif (membre de
l’ensemble d’arrivé donc), n’a pas d’antécédent par la fonction f(prenez -1 comme
exemple : il n’existe pas de xtel que f(x) = −1. Donc fn’est pas surjective.
Par ailleurs, fn’est pas injective, prenons y= 1, 1 a deux antécédents par f,
-1 et 1. Elle n’est donc pas injective. Ceci est vrai pour n’importe quel nombre
strictement positif.
b) fest définie de Rdans R+par f(x) = x2.
fest surjective. Prenons un nombre yquelconque de l’ensemble d’arrivée. Il existe
un xtel que f(x) = y⇔x2=y. Il suffit de prendre x=√y, ce qui est possible
car y∈R+, donc yest positif et sa racine existe.
Par ailleurs, fn’est pas injective, prenons y= 1, 1 a deux antécédents par f,
-1 et 1. Elle n’est donc pas injective. Ceci est vrai pour n’importe quel nombre
strictement positif.
c) fest définie de R+dans R+par f(x) = x2.
fest surjective. Prenons un nombre yquelconque de l’ensemble d’arrivé. Il existe
un xtel que f(x) = y⇔x2=y. Il suffit de prendre x=√y, ce qui est possible car
y∈R+, donc yest positif et sa racine existe, et √yest un membre de l’ensemble
de départ, car positif.
Par ailleurs, fest injective. En effet, supposons qu’un nombre yde l’ensemble
d’arrivé possède deux antécédents xet x0. Alors y=f(x) = f(x0), ce qui signifie
que x2=x02. Ce qui est équivalent à |x|=|x0|. Or xet x0sont tous les deux
positifs, donc x=x0. On en déduit donc que fest injective.
fest injective et surjective, donc fest bijective.
3 Exercice 5 TD 2
Démontrer que √7est irrationnel.
On va effectuer pour cela une démonstration par l’absurde : on va supposer que √7
est rationnel et aboutir à une contradiction. C’est le principe d’une démonstration par
l’absurde : on suppose l’inverse de ce que l’on veut montrer et on montre qu’on aboutit
alors à une contradiction.
Supposons donc que √7rationnel. Cela signifie qu’il peut s’écrire sous la forme d’une
fraction p
q, avec pet qdeux entiers naturels premiers entre eux. Que deux nombres soit
premiers entre eux signifie qu’il n’existe pas de nombre entier qui les divise tout les deux
autre que 1. Par exemple, 9 et 4 sont premiers entre eux.
On a donc : √7 = p
q⇔7 = p2 q2⇔p2= 7q2
La dernière équivalence signifie que 7 divise p2. Ce qui signifie que 7 divise p(démonstra-
tion de ce point à la fin). On peut donc écrire que p= 7p0.
2

0n a donc 7·7p02= 7q2, donc 7p02=q2. Donc 7 divise q2, donc q.
7 divise qet 7 divise p, ce qui est une contradiction avec le fait qu’ils sont premiers
entre eux.
On en déduit que √7est irrationnel.
Revenons au fait que si un entier naturel divise le carré d’un entier naturel, alors il
divise cet entier naturel. Tout entier n∈Zpeut s’écrire de façon unique comme un produit
de facteurs premiers :n=n1·n2. . . nKavec nkun nombre premier pour k= 1, . . . , K.
Si nest divisible par un nombre premier n0
k, alors n0 kapparaît dans la décomposition
en facteurs premiers de n. Puisque la décomposition en facteurs premiers de n2s’écrit
n2=n2
1·n2 2. . . n2 K, alors n2est également divisible par n0 k. Et si n2est divisible par
un nombre premier n00
k, alors n0 kapparaît deux fois dans sa décomposition en facteurs
premiers et nest également divisible par n00
k.
3