matrices - dm n 2 - LPO de Chirongui

MATRICES - DM N◦2
Exercice 1 :
On considère la matrice A=
110
011
001
.
1. Calculer A2et A3.
2. Montrer que pour tout entier n, on peut écrire
An=
1anbn
0 1 an
0 0 1 
. On précisera les relations de récurrence vérifiées par les suites (an)
et (bn).
3. Exprimer anet bnen fonction de n.
4. En déduire l’expression de Anen fonction de n.
Exercice 2 :
Mélanie, élève de terminale, est souvent en retard en cours. Au début de l’année, elle était à l’heure,
puis on suppose que :
•si elle est à l’heure un jour, elle sera à l’heure le lendemain avec une probabilité de 0,3.
•si elle est en retard un jour, elle sera en retard le lendemain avec une probabilité de 0,5.
Pour tout entier n, on note Un=pn
qn, où pnet qnsont les probabilités que Mélanie soit
respectivement à l’heure et en retard au bout de njours.
Ainsi, U0=1
0.
1. (a) Justifier que pour tout entier naturel n:
pn+1 = 0,3pn+ 0,5qn
et qn+1 = 0,7pn+ 0,5qn.
(b) Déterminer la matrice carrée Ad’ordre 2 telle que pour tout entier naturel n,
Un+1 =A×Un.
(c) Montrer que pour tout entier n≥0,Un=An×U0.
2. Quelle est la probabilité que Mélanie soit à l’heure le 2ejour ? le 10ejour ? le 15ejour ?
(Utiliser la calculatrice pour calculer les puissances de A, voir le livre pour plus de détail)
3. (a) Démontrer que pour tout entier naturel n:
An= 5
12
5
12
7
12
7
12 !+−1
5n
× 7
12
−5
12
−7
12
5
12 !
(b) En déduire Unen fonction de n.
4. A long terme, quelle est la probabilité que Mélanie soit à l’heure ?
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