MATRICES - DM N◦ 2 Exercice 1 : 1 1 0 On considère la matrice A = 0 1 1 . 0 0 1 1. Calculer A2 et A3 . 2. Montrer entier n, on peut écrire que pour tout 1 an bn An = 0 1 an . On précisera les relations de récurrence vérifiées par les suites (an ) 0 0 1 et (bn ). 3. Exprimer an et bn en fonction de n. 4. En déduire l’expression de An en fonction de n. Exercice 2 : Mélanie, élève de terminale, est souvent en retard en cours. Au début de l’année, elle était à l’heure, puis on suppose que : • si elle est à l’heure un jour, elle sera à l’heure le lendemain avec une probabilité de 0,3. • si elle est en retard un jour, elle sera en retard le lendemain avec une probabilité de 0,5. pn Pour tout entier n, on note Un = , où pn et qn sont les probabilités que Mélanie soit qn respectivement et en retard au bout de n jours. à l’heure 1 . Ainsi, U0 = 0 1. (a) Justifier que pour tout entier naturel n : pn+1 = 0, 3pn + 0, 5qn et qn+1 = 0, 7pn + 0, 5qn . (b) Déterminer la matrice carrée A d’ordre 2 telle que pour tout entier naturel n, Un+1 = A × Un . (c) Montrer que pour tout entier n ≥ 0, Un = An × U0 . 2. Quelle est la probabilité que Mélanie soit à l’heure le 2e jour ? le 10e jour ? le 15e jour ? (Utiliser la calculatrice pour calculer les puissances de A, voir le livre pour plus de détail) 3. (a) Démontrer que pour tout entier naturel n : ! 5 5 −1 n 12 12 n × A = + 7 7 5 12 12 7 12 −5 12 −7 12 5 12 (b) En déduire Un en fonction de n. 4. A long terme, quelle est la probabilité que Mélanie soit à l’heure ? 1 !