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Arithmétique
Divisibilitédans Z.
Soientaetbdeuxentiersrelatifs,bétantnonnul.Onditquebdiviseasietseulementsiilexisteunentierrelatif ktel
quea=kb.Laphrase«adiviseb»senotea|b.
Propriétés.
•Pourtoutentierrelatifnonnula,a|a.
•Pourtousentiersrelatifsnonnuls a,betc,sia|betb|calorsa|c.
•Soienta,betctroisentiersrelatifs,aétantnonnul.Sia|beta|c,alorspourtousentiersrelatifsλetµ,a|(λb +µc).
Divisioneuclidiennedans Z.
Soientaetbdeuxentiersnaturels,bétantnonnul.Ilexisteuncouple (q,r)d’entiersnaturelsetunseultelque
➀a=bq+ret➁0≤r<b.
qestlequotientetrlerestedeladivisioneuclidiennedeaparb.
Congruencesdans Z.
Soit nunentiernaturelsupérieurouégalà2.Soientaetbdeuxentiersrelatifs.
Onditqueaestcongruàbmodulo nsietseulementsib−aestdivisibleparn.Onécritdanscecasa≡b(n)ou
a≡b(modulo n).
Propriétés.Soit nunentierrelatifsupérieurouégalà2.
•Pourtoutentierrelatif a,a≡a(n).
•Pourtousentiersrelatifsaetb,sia≡b(n)alorsb≡a(n).
•Pourtousentiersrelatifsa,betc,sia≡b(n)etb≡c(n)alorsa≡c(n).
•(Compatibilitéavecl’addition)Pourtousentiersrelatifsa,betc,sia≡b(n)alorsa+c≡b+c(n).
•(Compatibilitéaveclamultiplication)Pourtousentiersrelatifsa,betc,sia≡b(n)alorsa×c≡b×c(n).
Nombrespremiers.Décompositionenfacteurspremiers.
Soit nunentiersupérieurouégalà2.nestpremiersietseulementsinadmetexactementdeuxdiviseursàsavoir 1etn.
Ilexisteuneinfinitédenombrespremiers.
Théorèmefondamentaldel’arithmétique.Toutentiernaturelsupérieurouégalà2sedécomposeenproduitde
nombrespremiers.Cettedécompositionestuniqueàl’ordreprèsdesfacteurs.
PPCM,PGCD.
Soientaetbdeuxentiersnaturelssupérieursouégauxà2.
Onsupposequea=pα1
1...pαk ketb=pβ1 1...pβk koùp1,...,pksontknombrespremiersdeuxàdeuxdistinctsetα1,...,
αk,β1,...,βksontdesentiersnaturels.
Onnotem1lepluspetitdesdeuxnombresα1etβ1etM1leplusgrand.Onnotem2lepluspetitdesdeuxnombresα2
etβ2etM2leplusgrand...
LePGCD(plusgrandcommundiviseur)deaetbestpm1
1...pmk ketlePPCM(pluspetitcommunmultiple)deaetb
estpM1
1...pMk k.
Exemple. 48=24×3et36=22×32.DoncPGCD(36,48)=22×3=12etPPCM(36,48)=24×32=144.
Algorithmed’Euclide.Onalerésultatpréliminairesuivant:siaetbsontdeuxentiersnaturelsnonnulstelsque
b<aetsia=bq+roùqetrsontdeuxentiersnaturelstelsque0≤r<b,alorsPGCD(a,b)=PGCD(b,r).
Onveutmaintenantle PGCDdeaetdeb.
Onposeladivisioneuclidiennedeaparb.Sir=0,le PGCDdeaetdebestr0=r.
Sinon,onposeladivisioneuclidiennedebparr0=r:b=q1r+r1avec0≤r1<r0.Sir1=0le PGCDdebetder0
estr0etdoncle PGCDdeaetdebestr0.
Sinon,onposeladivisioneuclidienneder0parr1...
Cettealgorithmes’arrêtequandontrouveunrestenul,cequiseproduittoujours.LePGCDdeaetbestledernierreste
nonnul.
Théorèmesde BézoutetGauss.
Théorèmede Bézout.Soientaetbdeuxentiersrelatifsnonnuls.
aetbsontpremiersentreeuxsietseulementsiilexistedeuxentiersrelatifsuetvtelsqueau+bv=1.
Théorèmede Gauss.Soienta,betctroisentiersrelatifsnonnuls.
Siadivisebcetsiaetbsontpremiersentreeux,alorsadivisec.
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