Conditionnement et Indépendance

TS Probabilités : Conditionnement et Indépendance
I. Conditionnement par un événement de probabilité non nulle
ACTIVITE P 372
1. Définition
On considère une expérience aléatoire et l'ensemble
Ω
des résultats, muni d'une probabilité P.
Soient A et B deux évènements de
Ω
, avec P(A)
≠
0.
Définition
: La probabilité de l’évènement B, sachant que l’événement A est réalisé,
est noté P
A
(B) ou
(
)
B
P
A
et est défini par :
( )
(
)
( )
A
P A B
P B P A
∩
=
.
On l'appelle probabilité conditionnelle de B sachant A .
Remarque : On utilise aussi la formule sous la forme
(
)
( ) ( )
A
P A B P B P A
∩ = × .
2. Représentation à l’aide d’un arbre de probabilité.
On peut ainsi illustrer la situation de l’exemple à l’aide d’un arbre de probabilités.
Construction :
Sur les branches primaires on note la probabilité de chacun des événements G et F.
Sur les branches secondaires issues de G on note les probabilités conditionnelles « sachant G ».
Sur les branches secondaires issues de F on note les probabilités conditionnelles « sachant F ».
B
A
P
B
P
B
B
̅
̅
P
B
Règle n°1. P
B
+ P
B
= 1. La somme des probabilités marquées sur les branches secondaires
issues d’un même événement est égale à 1.
Remarque . Le chemin A B représente l’événement  ∩  :
 ∩ = × 
.
Règle n°1
: La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités marquées sur les branches qui
constituent ce chemin.
Exercices : 5 ;7 ;8 p 383.

II. Formules des probabilités totales
1. Partition
On considère une expérience aléatoire et l'ensemble
Ω
des résultats, muni d'une probabilité P.
Définition : On dit que les évènements
1 2
, ,...,
n
B B B
de probabilités non nulles forment une partition
de
Ω
si :
▪ leur réunion
1 2
...
n
B B B
∪ ∪ ∪
est égale à l'univers
Ω
et ▪ les événements sont deux à deux incompatibles, c'est-à-dire que l'intersection de
n'importe lesquels de deux d'entre eux est vide.
Exemple :
Ω
= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. Soient B
1
= {1 ; 3 ; 5 } ; B
2
= {2 ; 4} et B
3
= {6}
B
1
; B
2
et B
3
sont deux-à-deux disjoints et leurs réunion est égale à
Ω
.
Ils constituent donc une partition de
Ω
.
2. Formule des probabilités totales
Formule des probabilités totales : Soient
1 2
, ,...,
n
B B B
des événements formant une partition de
Ω
.
Pour tout événement A :
(
)
(
)
(
)
1 2
( ) ...
n
P A P A B P A B P A B
= ∩ + ∩ + + ∩ =
(
)
(
)
1
1
( ) ... ( )
n
B B n
P A P B P A P B
+ + .
Conséquence :
Régle
3
: Dans un arbre de probabilité, la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des
chemins qui conduisent à cet événement.
Exercices : 9 ; 14 p 384. 19 p 385
III. Indépendance
On considère une expérience aléatoire et l'ensemble
Ω
des résultats, muni d'une probabilité P.
1. Définition : On dit que deux évènements A et B sont indépendants si
( ) ( ) ( )
P A B P A P B
∩ = ×
Remarques :
● Si
( ) 0
P A
≠
, alors A et B sont indépendants revient à dire que
( ) ( )
A
P B P B
=
. De même,
Si
( ) 0
P B
≠
, alors A et B sont indépendants revient à dire que
( ) ( )
B
P A P A
=
.
A et B sont indépendants si la probabilité de l’un ne dépend pas de la réalisation de l’autre.
●!! Attention !! Ne pas confondre événements incompatibles et événements indépendants.
2. Exemple :
On choisit au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
On note A l’événement : « la carte tirée est un as » et P l’événement « la carte tirée est un pique ».
Les événements A et P sont-ils indépendants ? Incompatibles ?
Exercice : 24 et 25 p 386