Probabilité: quelques lois essentielles

Probabilité
Quelques lois essentielles
Lois essentielles
Nous allons étudier quelques lois essentielles:
● loi uniforme
● loi de Bernoulli
● loi binomiale
● loi normale
Il en existe beaucoup d’autres, mais nous
allons nous limiter à celles-ci pour l’instant
Représentation d’une loi
On distingue 2 représentations d’une loi de probabilité:
● par sa fonction de densité (PDF)
● par sa fonction cumulative (CDF)
Les 2 formes sont équivalentes et donne le modèle
permettant de calculer des probabilités:
P: x -> [0,1]
Bien qu’on présente le plus souvent la PDF, la CDF est
plus pratique pour les simulations
Calcul de probabilité via PDF et CDF
Si la PDF d’une loi est donnée par une fonction f(x):
P(x≤X) = somme( f(x) ) pour x≤X
La somme dans le cas continu est l’aire sous la courbe de f
Si la CDF d’une loi est donnée par une fonction F(x):
P(x≤X) = F(X)
Bien que dans le cas discrèt, P(x=X) = f(X), la CDF est
souvent plus pratique pour calculer une probabilité
Loi uniforme discrète
Chaque événement e a la même probabilité:
p(e) = 1/n
où n est le nombre d’événements possibles
Exemple: un dé parfait à 6 faces
PDF: f(1)=⅙, f(2)=⅙, f(3)=⅙, f(4)=⅙, f(5)=⅙, f(6)=⅙
CDF: F(1)=⅙, F(2)=⅓, F(3)=½, F(4)=⅔, F(5)=⅚, F(6)=1
Loi uniforme discrète (suite)
Exemple de calcul de probabilité via PDF et CDF dans le
cas de la loi du dé parfait à 6 faces
● P(x≤3)
○ via PDF: f(1)+f(2)+f(3) = ½
○ via CDF: F(3) = ½
● P(2≤x≤5) = P(x≤5) - P(x≤1)
○ via PDF: f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)-f(1) = ⅔
○ via CDF: F(5)-F(1) = ⅚-⅙ = ⅔
Loi uniforme continue
C’est le cas limite d’une infinité d’événements
Par exemple: si x peut prendre des valeurs sur un segment
[a, b], la probabilité que x soit dans le sous-segment [k, h]
de [a, b] est:
(h-k)/(b-a)
La nature continue de la loi de probabilité implique que la
probabilité d’une valeur x est (x-x)/(b-a)=0
Note: ceci est vrai pour toute les lois continues, P(x=X) = 0
Loi uniforme continue (suite)
Le cas particulier avec l’intervalle [0,1] est important, on
note la loi U(0,1), car les générateurs de nombres
aléatoires produisent des nombres suivant cette loi
PDF: f(x) = 1 si x∈[0,1] , 0 autrement
CDF: F(x) = x si x∈[0,1] , 0 si x<0 et 1 si x>1
Exemple: P(x≤0.5) = 0.5
Loi de Bernoulli
Une expérience de Bernoulli a 2 possibilités:
succès (s) et échec (e)
Le paramètre est la probabilité de succès
P(s)=p, on en déduit la probabilité d’échec:
P(e) = 1 - P(s) = 1-p
La loi est donc complètement donnée par:
P(s)=p , P(e)=1-p
Loi binomiale
On répète une expérience de Bernoulli n fois et
on s’intéresse au nombre de succès k. Par
exemple, le nombre de faces dans 10 lancés
d’une pièce de monnaie
Alors
P(k) = n!/(k!*(n-k)!) * pk * (1-p)(n-k)
où
n! = n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1
Loi binomiale 20 répétitions avec 0.5
Fréquence du nombre de succès pour un échantillon simulé de 10000
expériences (orange) et valeur théorique selon la loi de probabilité (bleu)
Loi normale
Lorsque n tend vers l’infini, la loi binomiale tend vers une loi
continue appelée “loi normale”
C’est une des plus importante loi de probabilité car elle
intervient dans le théorème de la limite centrale.
Ceci lui confère un rôle particulier qui explique pourquoi
elle apparaît partout en science et en affaire
Graphe de la loi normale
Soit μ la moyenne et σ l’écart-type d’une v.a. au sein d’une population, une
probabilité selon la loi N(μ,σ) est donnée par l’aire sous la courbe (PDF):
Probabilité selon N(μ,σ)
Pour les possibilités, on observe que:
● le 2/3 sont dans [μ-σ,μ+σ]
● 95% sont dans [μ-2σ,μ+2σ]
● 99% sont dans [μ-3σ,μ+3σ]
On considère généralement qu’un événement en-dehors
de la zone [μ-2σ,μ+2σ] est anormal, de plus, il est
exceptionnel qu’il soit en-dehors de [μ-3σ,μ+3σ]
Paramètres de la loi normale
La loi dépends de 2 paramètres: la moyenne et l’écart-type
La loi est centrée sur la moyenne et l’étalement dépends
de l’écart-type
Soit x une v.a. distribuée selon la loi N(μ,σ), alors la v.a.
z = (x-μ)/σ
est distribuée selon la loi N(0,1)
On dit que z est “normalisée” ou “centrée et réduite”