Chapitre 4 - TuxFamily.org

Chapitre 4
Fonctions usuelles
Sommaire
I Fonctions logarithme et exponentielle ............................... 32
1) Logarithme népérien ....................................... 32
2) La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II Fonctions puissances .......................................... 34
1) Puissance quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2) Croissance comparée de ces fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
III Fonctions circulaires - Inversions .................................. 36
1) Fonctions circulaires : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2) Inversion des fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
IV Fonctions hyperboliques ....................................... 40
1) Définition ............................................. 40
2) Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
V Solution des exercices ......................................... 41
I FONCTIONS LOGARITHME ET EXPONENTIELLE
1) Logarithme népérien
La fonction x7→ 1
xest continue sur ]0;+∞[, elle admet une unique primitive qui s’annule en 1.
L’unique primitive de la fonction x7→ 1
x
sur ]0; +∞ [qui s’annule en 1est appelée logarithme népérien
et notée ln. On a donc ∀x>0,ln(x)=Rx
1dt
t.
Définition 4.1
Cette fonction est donc dérivable sur I= ]0; +∞ [ et ln0(x)=1
x
, elle est donc strictement croissante sur I .
Soit y> 0, la fonction f : x7→ln ( x y ) et dérivable sur I et f0 ( x ) =y1
x y =1 x
, on en déduit que f ( x ) =ln ( x ) +c
où cest une constante, on a ln(y)=f(1) =ln(1)+c=c, par conséquent on obtient :
∀x,y>0,ln(x y)=ln(x)+ln(y).
Théorème 4.1 (Propriété fondamentale du logarithme)
Conséquences :
– Si uest une fonction dérivable qui ne s’annule pas, alors [ln(|u|)]0=u0
u.
–∀x,y∈R∗,ln(|x y|)=ln(|x|)+ln(|y|).
–∀x,y∈R∗,ln(|x
y|)=ln(|x|)−ln(|y|).
–∀n∈Z∗,∀x∈R∗,ln(|xn|)=nln(|x|).
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Fonctions logarithme et exponentielle Chapitre 4 : Fonctions usuelles
lim
x→+∞ln(x)=+∞; lim
x→0+ln(x)=−∞; lim
x→+∞
ln(x)
x=0; lim
x→0+xln(x)=0; lim
x→1
ln(x)
x−1=1.
Théorème 4.2 (Limites du logarithme népérien)
Preuve : ∀n∈N,ln (2
n
) =nln (2) or ln (2) > 0, donc la suite ( ln (2
n
)) tend vers +∞ ce qui prouve que la fonction ln n’est
pas majorée, par conséquent elle tend +∞.
En posant X =1
xon a lim
x→0+X=+∞ donc lim x→0+ln(x)=lim
X→+∞−ln(X) =−∞.
lim
x→1
ln(x)
x−1=ln0(1) =1.
Pour t> 1 on a
pt6t
et donc pour x> 1 on a 0 6ln ( x ) 6Rx
1dt
pt=
2[
px−
1], le théorème des gendarmes entraîne
lim
x→+∞
ln(x)
x=0. 
Courbe représentative :
x01+∞
ln0
ln
+ +
−∞
+∞
0
0 1 2 3 4
0
1
−1
−2
−3
Cln
∀x>0,ln(x)6x−1.
Théorème 4.3 (Inégalité de convexité)
Preuve : Il suffit d’étudier la fonction f:x7→ln(x)−x+1. 
2) La fonction exponentielle
La fonction ln est strictement croissante sur I= ]0; +∞ [, elle définit donc une bijection de I sur J=Im ( ln ),
comme elle est continue on a Im(ln) =]lim
0ln;lim
+∞ ln[=R.
La réciproque est appelée fonction exponentielle et notée exp, elle est définie par :
exp : R→]0;+∞[
x7→ exp(x)=ytel que y>0et ln(y)=x
.
Définition 4.2
Propriétés :
– La fonction exp est strictement croissante sur Ret continue, de plus exp(0) =1.
– La fonction ln est dérivable sur ]0; +∞ [ et sa dérivée ne s’annule pas, donc la fonction exp est dérivable
sur Ret exp0(x)=1
ln0(exp(x)) =exp(x) .
– Dans un repère orthonormé, la courbe de la fonction exp et celle de la fonction ln sont symétriques
par rapport à la première bissectrice.
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Fonctions puissances Chapitre 4 : Fonctions usuelles
0 1 2 3 4−1−2−3−4
0
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
Cln
Cexp
Soient x,y∈R , notons X=exp ( x ) et Y=exp ( y ) alors X et Y sont dans ]0; +∞ [ on peut donc écrire
ln ( XY ) =ln ( X ) +ln ( Y ) ce qui donne x+y=ln ( XY ), par conséquent exp ( x+y ) =XY =exp ( x ) exp ( y ), on peut
donc énoncer :
∀x,y∈R,exp(x+y)=exp(x)exp(y).
Il en découle en particulier que exp(−x)=1
exp(x).
Théorème 4.4 (Propriété fondamentale de l’exponentielle)
Notation : On déduit de ce théorème que pour tout entier n∈Z et pour tout réel x on a exp ( nx ) = [ exp ( x )]
n
.
En particulier on a pour x= 1, exp ( n ) = [ exp (1)]
n
. On pose alors e=exp(1) , d’où exp ( n ) =en . Si p et q sont
deux entiers premiers entre eux avec q6= 0 et si r=p
q
, alors exp ( qr ) =exp ( r )
q=ep
, comme exp ( r ) > 0 on
peut écrire exp(r)=q
pep=er[cf fonctions puissances]. On convient alors d’écrire pour tout réel x:
exp(x)=ex.
Les propriétés s’écrivent alors :
–ex+y=ex×ey.
–e0=1, e−x=1
ex,∀n∈Z,enx =[ex]n.
– Si udésigne une fonction dérivable alors [eu]0=u0×eu.
–∀x∈R,ex>x+1.
Preuve : Soit X =ex, on sait que ln(X) 6X−1 ce qui donne l’inégalité. 
lim
x→−∞ex=0, lim x→+∞ex=+∞, lim x→+∞
ex
x=+∞, lim
x→0
ex−1
x=1.
Théorème 4.5 (Limites de la fonction exponentielle)
Preuve : La fonction exp est continue et strictement croissante sur R donc Im ( exp ) = ] lim
−∞ exp
; lim
+∞ exp
[ = ]0; +∞ [. Soit
X=exalors lim
x→+∞
ex
x=lim
X→+∞
X
ln(X) = +∞. lim
x→0
ex−1
x=exp0(0) =1. 
Remarque 4.1 – Il en découle que lim
x→+∞xe−x=0.
II FONCTIONS PUISSANCES
Les puissances entières sont supposées connues.
1) Puissance quelconque
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Fonctions puissances Chapitre 4 : Fonctions usuelles
Si αest un réel et si x>0alors on pose xα=eαln(x).
Définition 4.3
Cela définit une fonction fαcontinue et dérivable sur ]0;+∞[ avec la formule : [xα]0=αxα−1.
Il en découle que si u est une fonction dérivable à valeurs strictement positives, alors la fonction uα est
dérivable et :
¡uα¢0=α×u0×uα−1
On a lim
x→0fα
( x ) =½0 si α>0
+∞ si α<0
. Dans le premier cas on pose 0
α=
0, dans le second cas il y a une
asymptote verticale.
Lorsque α> 0 :
xα−0
x=e(α−1)ln(x)−→
x→0½0 si α>1
+∞ si 0 <α<1
, lorsque α> 1 on a une tangente horizontale
et lorsque α<1 on a une tangente verticale.
0 1 2 3 4−1
0
1
2
3
4
−1
α=1
α<0
α>1
0<α<1
Cas particuliers (avec x>0) :
a) Lorsque α=n∈Z, on retrouve bien les puissances entières car exp(nln(x)) =¡exp(ln(x))¢n=xn.
b) Lorsque α=1
n
avec n∈N∗ : soit y=xα , on a yn=exp (
n
nln
( x )) =x , comme y est positif, on dit que y
est la racine nede x. Notation pour x>0 : x1/n=n
px.
c) Lorsque α=p
q∈Q
avec p∈Z et q∈N∗ : soit y=xα , on a yq=exp ( qp
qln
( x )) =xp , comme y est positif,
yest la racine qede xp. Autrement dit, pour x>0, xp/q=q
pxp.
Avec x,y>0et α,β∈R:
–ln(xα)=αln(x).
–xα×xβ=xα+β, et donc x−α=1
xα, et xα
xβ=xα−β.
–(xα)β=xαβ.
–(x y)α=xα×yα.
– Pour αnon nul, y=xα⇐⇒ x=y1
α.
Théorème 4.6 (Propriétés)
Preuve : Celle-ci est simple et laissée en exercice. 
FExercice 4.1
1/ Soient u et v deux fonctions dérivables avec u >0, calculer la dérivée de la fonction x 7→u(x)v(x).
2/ Calculer lim
x→+∞¡1+1
x¢x.
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Fonctions circulaires - Inversions Chapitre 4 : Fonctions usuelles
Remarque 4.2 – Pour les réels x strictement positifs, on peut définir les puissances complexes à l’aide de
l’exponentielle complexe en posant xz=ezln(x).
2) Croissance comparée de ces fonctions
Comparaison des puissances : si α<β alors xα est négligeable devant xβ au voisinage de +∞ et xβ est
négligeable devant xαau voisinage de 0, c’est à dire :
lim
x→+∞
xα
xβ=0 et lim
x→0+
xβ
xα=0
Comparaison des puissances et des logarithmes : si α et β sont des réels strictement positifs , alors [ ln ( x )]
α
est négligeable devant xβ au voisinage de +∞ et |ln ( x ) |α est négligeable devant
1
xβ
au voisinage de 0, c’est à
dire :
lim
x→+∞
[ln(x)]α
xβ=0 et lim
x→0+xβ|ln(x)|α=0
Preuve :
[ln(x)]α
xβ=µα
βln(u)
u¶α
=³α
β´α³ln(u) u´α
avec u=xβ
α
, ce qui donne la première limite. La deuxième en découle avec
le changement de variable u=1
x.
Comparaison des puissances et des exponentielles : si α est un réel et si β> 0, alors xα est négligeable
devant eβxau voisinage de +∞, c’est à dire :
lim
x→+∞xαe−βx=0 .
Preuve : Lorsque α60 il n’y a rien à démontrer. Lorsque α>0, u=ex−→
x→+∞ +∞ et on a xαe−βx=[ln(u)]α
uβ−→
u→+∞ 0. 
FExercice 4.2 Comparer xαet exβau voisinage de +∞ avec αet βstrictement positifs.
III FONCTIONS CIRCULAIRES - INVERSIONS
1) Fonctions circulaires : rappels
Le plan P est muni d’un repère orthonormé direct ( O,−→ u,−→ v ). Soit x un réel, et M ( x ) le point du cercle
trigonométrique tel que (
−→
u,−−→ OM ) =x ( mod 2 π ) alors les coordonnées de M ( x ) sont ( cos ( x ) ,sin ( x )), lorsque
x∈R\©π
2+kπ|k∈Zª, on pose tan(x)=sin(x) cos(x).
x
sin(x)M
A
cos(x)
O
tan(x)
Remarque 4.3 – Le réel x représente également la longueur de l’arc de cercle
_
AM avec A (1 , 0), le cercle étant
orienté dans le sens direct.
Quelques propriétés :
–∀x∈R,cos2(x)+sin2(x)=1.
– Les fonctions sinus et cosinus sont 2 π -périodiques définies continues dérivables sur R , à valeurs dans
[−1;1], et on a sin0=cos et cos0=−sin.
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