2nde Probabilités I - Vocabulaire * Lorsqu'une expérience a plusieurs résultats et qu'on ne peut ni prévoir ni calculer lequel de ces résultats sera réalisé, on dit que cette expérience est une expérience aléatoire * Lors de la réalisation d'une expérience aléatoire, les résultats que l'on peut obtenir s'appellent les issues de cette expérience aléatoire. * L'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire s'appelle l'univers. On le note souvent Ω ( oméga ). * Dans une expérience aléatoire : Tout ensemble d’issues est appelé événement Un événement qui contient une seule issue est appelée événement élémentaire Un événement qui contient toutes les issues est un événement certain, noté Ω Un événement qui ne contient aucune issue est un événement impossible, noté ∅ Soit A un événement; l’événement contraire de A, noté A est l’événement qui contient toutes les issues de Ω qui ne sont pas dans A II - Définition d'une probabilité Propriété et définition 1 Lorsqu'on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, on remarque alors que la fréquence de réalisation de chaque issue se stabilise. Au XVIIème siècle, Jacques Bernoulli démontre que cette fréquence se stabilise vers une valeur que l’on définit comme la probabilité de l’issue considérée. Définitions 2 Considérons une expérience aléatoire. Issue x1 x2 x3 Probabilité p1 p2 p3 ... ... xn pn Les nombres pi sont tels que : 0 pi 1 et Total 1 Ce tableau s'appelle la loi de probabilité de l'expérience aléatoire. p1 + p2 + ... + pn = 1 La probabilité d’un événement A, notée p(A) est la somme des probabilités des issues qui constituent A. Propriétés 3 * A est un évènement certain ⇔ p (A) = 1 * A est un évènement impossible ⇔ p (A) = 0 * Pour tout évènement A on a : 0 p (A) 1 * Pour tout évènement A on a : p ( A ) = 1 − p (A) III - L'équiprobabilité Définition 4 Lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont la même probabilité, on dit que l'on est dans une situation d'équiprobabilité. 1 Dans ce cas, si l'expérience aléatoire possède n issues, chaque issue a pour probabilité p = n Propriété 5 Considérons une expérience aléatoire en situation d'équiprobabilité et A un évènement. Alors, la probabilité de l'évènement A vaut : p (A) = nombre d'issues réalisant l'évènement A nombre d'issues de l'expérience aléatoire IV - Intersection et réunion d'évènements Définitions 6 Si A et B désignent deux évènements, on appelle intersection de A et B, notée A ∩ B, l'évènement formé par les issues qui réalisent à la fois l'évènement A et l'évènement B. Si A et B désignent deux évènements, on appelle réunion ( ou union ) de A et B, notée A ∪ B, l'évènement formé par les issues qui réalisent l'évènement A ou l'évènement B ( c'est-à-dire au moins l'un des deux ). Exemple : on lance un dé à 12 faces ( numérotées de 1 à 12 ). On considère les évènements : A : " obtenir un nombre impair " et B " obtenir un multiple de 3 " On a : A = { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 } et B = { 3 ; 6 ; 9 ; 12 } Donc A ∩ B = { 3 ; 9 } et A ∪ B = { 1 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9 ; 11 ; 12 } Propriété 6 Considérons une expérience aléatoire et deux évènements quelconques A et B de cette expérience. On a alors : p( A∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B ) Reprenons l'exemple précédent, en supposant que le dé soit équilibré. 6 4 On a : p (A) = p (B) = 12 12 On a bien : 6 4 2 8 + − = 12 12 12 12 p (A ∪ B ) = 8 12 donc on a bien : p ( A ∪ B ) = p ( A ) + p ( B ) − p ( A ∩ B ) p (A ∩ B ) = 2 12