1. Ensembles de nombres

esiea – école d’ingénieurs du monde numérique
1A – Cycle de transition – Année 2016-2017
Renforcement numérique : calcul algébrique
1. Ensembles de nombres
On note Nl’ensemble des entiers naturels :
N={0,1,2,3,4,5,6,7, . . .}.
On note Zl’ensemble des entiers relatifs :
Z={. . . , −6,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}.
On note Ql’ensemble des nombres rationnels :
Q=na
b|a∈Zet b∈N∗o.
On note Rl’ensemble des nombres réels : il contient tous les nombres rationnels ainsi que
tous les nombres irrationnels dont π, e, √2,√3,ln 5,ln 7 et bien d’autres.
Contrairement à la construction de Zà partir de Net à la construction de Qà partir de Z,
qui se réalisent assez simplement, la construction de Rà partir de Qest délicate. Elle nécessite
des notions élaborées comme les coupures de Dedekind ou les suites de Cauchy.
On note Cl’ensemble des nombres complexes, i étant le nombre non réel tel que i2=−1:
C={x+iy|x∈Ret y∈R}.
Les ensembles N,Z,Q,Ret Csont liés par les inclusions suivantes :
N⊆Z⊆Q⊆R⊆C.
Les notations N∗,Z∗,Q∗,R∗et C∗désignent respectivement les ensembles N,Z,Q,Ret C
privés du nombre 0.
La notation R+désigne {x∈R|x>0}et la notation R−désigne {x∈R|x60}.
La notation R∗
+désigne {x∈R|x > 0}et la notation R∗ −désigne {x∈R|x < 0}.
Pour adans R, la notation R\ {a}désigne {x∈R|x6=a}.
On peut également rencontrer, de manière plus occasionnelle, la notation Z−ainsi que les
notations Q+,Q−,Q∗
+et Q∗ −.

2. Propriétés des ensembles de nombres
Les ensembles N,Z,Q,Ret Csont infinis : ils contiennent un nombre infini d’éléments.
Les ensembles N,Zet Qsont dénombrables, c’est-à-dire qu’on peut mettre en bijection
leurs éléments avec ceux de N. En revanche, Ret Cne sont pas dénombrables.
Les ensembles Net Zsont discrets, c’est-à-dire qu’ils ne sont constitués que de points isolés :
entre deux entiers successifs, il n’existe aucun autre entier. En revanche, les ensembles Qet Rne
sont pas discrets : entre deux nombres rationnels, il existe toujours un autre nombre rationnel ;
entre deux nombres réels, il existe toujours un autre nombre réel.
L’addition usuelle et la multiplication usuelle dans les ensembles N,Z,Q,Ret Cjouissent
des propriétés suivantes :
— l’addition et la multiplication sont commutatives,
— l’addition et la multiplication sont associatives,
— la multiplication est distributive sur l’addition.
3. Intervalles de R
Un intervalle de Rest l’un des ensembles suivants, où aet bsont deux réels tels que a6b:
— l’intervalle ouvert borné :
]a, b[ = {x∈R|a<x<b};
— l’intervalle fermé borné :
[a, b] = {x∈R|a6x6b};
— les intervalles ouverts non bornés :
]a, +∞[ = {x∈R|x>a}et ]− ∞, b[ = {x∈R|x<b};
— les intervalles fermés non bornés :
[a, +∞[ = {x∈R|x>a}et ]− ∞, b] = {x∈R|x6b};
— les intervalles semi-ouverts bornés, ou encore intervalles semi-fermés bornés :
]a, b] = {x∈R|a<x6b}et [a, b[ = {x∈R|a6x < b};
— l’intervalle infini :
]− ∞,+∞[ = R.
L’ensemble vide ∅ainsi que les singletons {a}, pour adans R, sont des cas particuliers
d’intervalles de R. En général, on travaille avec des intervalles Ide Rcontenant au moins deux
éléments distincts ; ce sont des intervalles non triviaux de R.
Chacun des ensembles R+,R−,R∗
+et R∗ −est un intervalle de R:
R+= [0,+∞[R−= ] − ∞,0] R∗
+= ]0,+∞[R∗ −= ] − ∞,0[ .

4. Intervalles de Z
On utilise aussi quelques intervalles de Z, où aet bsont deux entiers relatifs tels que a6b:
— l’ensemble Ja, bKdéfini par Ja, bK={x∈Z|a6x6b};
— l’ensemble Ja, +∞Jdéfini par Ja, +∞J={x∈Z|x>a};
— l’ensemble K− ∞, bKdéfini par K− ∞, bK={x∈Z|x6b}.
5. Opérations sur les fractions
Pour aet a0dans Cet pour bet b0dans C∗, on a :
a
b+a0 b0=ab0+a0b bb0
a
b−a0 b0=ab0−a0b bb0
a
b×a0 b0=aa0 bb0.
Pour aet a0dans Cet pour bet b0dans C∗, on a :
a
b=a0 b0⇐⇒ ab0=a0b.
6. Puissances à exposants entiers
Soit adans C. On pose a0= 1 et, pour ndans N∗, on définit ancomme le produit de n
facteurs tous égaux à a:
an=a×a×a×. . . ×a
| {z }
nfacteurs a
.
Pour aet bdans Cet pour met ndans N, on a :
an+1 =an×a aman=am+n(am)n=amn (ab)n=anbn.
De plus, si best non nul, alors on a :
a
bn
=an
bn
bm
bn=bm−n.
Généralisation aux exposants relatifs : pour adans C∗et ndans N, on pose :
a−n=1
an.
7. Racines n-ièmes
Pour adans Cet pour ndans N, un nombre best une racine n-ième de alorsque bn=a.
Une racine 2-ième est appelée racine carrée ; une racine 3-ième est appelée racine cubique.
Selon l’ensemble dans lequel on travaille, un nombre peut admettre zéro, une ou plusieurs
racines n-ièmes. Par exemple, il n’existe aucun nombre réel xvérifiant x2=−9: on peut donc
affirmer que −9n’admet aucune racine carrée dans R. Néanmoins, les égalités (3i)2=−9et
(−3i)2=−9sont vraies, donc −9admet deux racines carrées dans C.
Le résultat suivant clarifie les choses : pour adans R+et pour ndans N∗, il existe un unique
réel positif btel que bn=a. Ce réel est appelé la racine n-ième de a; il se note n
√a.

Pour aet bdans R+et pour met ndans N∗, on a :
n
√a×n
√b=n √ab m
pn
√a=mn √a(n √a)m=n
√am.
Si de plus best non nul, alors on a :
n
√a
n
√b=n
ra
b.
Pour adans R+, on note plus simplement √aà la place de 2
√a.
Il est possible de généraliser la définition de la racine n-ième et la notation n
√apour adans R
à condition que nsoit impair ; nous ne le ferons pas ici.
8. Puissances à exposants rationnels et à exposants réels
La définition de la racine n-ième permet une généralisation des puissances à certains expo-
sants rationnels positifs. Pour adans R+et ndans N∗, on pose :
a1
n=n
√a.
Il est alors possible d’effectuer une généralisation aux exposants rationnels. Pour adans R∗
+,
ndans N∗et mdans Z, on pose :
am
n=n
√am.
Les propriétés sur les puissances à exposants entiers énoncées au paragraphe 6. restent
valides pour les puissances à exposants rationnels, sous réserve d’existence.
La généralisation aux exposants réels nécessite la fonction exponentielle et la fonction
logarithme. Pour adans R∗
+et xdans R, on pose :
ax=exln a.
9. Factorisations et identités remarquables
Pour a,b,cet ddans C, on a :
(a+b)(c+d) = ac +ad +bc +bd .
Ainsi, en particulier, pour aet bdans C:
(a+b)2=a2+ 2ab +b2(a−b)2=a2−2ab +b2.
Pour aet bdans C, on a :
a2−b2= (a−b)(a+b).
Pour aet bdans C, on a :
a3−b3= (a−b)(a2+ab +b2)a3+b3= (a+b)(a2−ab +b2).

10. Polynômes réels de degré 2
Un polynôme réel Pde degré 2à une indéterminée Xs’écrit P=aX2+bX +c, où a,bet c
sont des réels quelconques vérifiant a6= 0.
Le discriminant du polynôme Pest le réel ∆défini par :
∆ = b2−4ac .
Si ∆>0, alors le polynôme Ppossède deux racines réelles simples r1et r2définies par :
r1=−b−√∆
2ar2=−b+√∆ 2a.
Le polynôme Ppeut alors se factoriser :
P=a(X−r1)(X−r2).
Si ∆ = 0, alors le polynôme Ppossède une seule racine réelle double r0définie par :
r0=−b
2a.
Le polynôme Ppeut alors se factoriser :
P=a(X−r0)2.
Si ∆<0, alors le polynôme Pne possède aucune racine réelle.
Le polynôme Pne peut alors pas se factoriser sur R; on dit qu’il est irréductible sur R.
Pour tout réel x, le signe de ax2+bx +cest du signe de a, sauf lorsque xse situe entre
les racines éventuelles du trinôme aX2+bX +c.
11. Valeur absolue
La valeur absolue d’un réel xest le réel positif noté |x|et défini par :
|x|=xsi x>0
−xsi x60.
Pour xet ydans Ret pour ndans N, on a :
| − x|=|x|√x2=|x| |xy|=|x|×|y| |xn|=|x|n.
De plus, si yest non nul :
x
y=|x| |y|.
Pour xet ydans R, on a l’inégalité triangulaire :
|x+y|6|x|+|y|.
Pour adans R+et xdans R, on a les équivalences :
|x|=a⇐⇒ x∈ {−a, a}
|x|< a ⇐⇒ x∈]−a, a[
|x|> a ⇐⇒ x∈]− ∞,−a[∪]a, +∞[.