Trigonométrie

Chapitre 12 Trigonométrie 151
EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N° 6 DU 28 AOÛT 2008
Connaissances Capacités Commentaires
3. Géométrie
3.1 Figures planes
Triangle rectangle,
relations trigonométriques.
– Connaître et utiliser les relations entre
le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle
aigu et les longueurs de deux des côtés d’un
triangle rectangle.
– Déterminer, à l’aide de la calculatrice,
des valeurs approchées :
• du sinus, du cosinus et de la tangente d’un
angle aigu donné ;
• de l’angle aigu dont on connaît le cosinus,
le sinus ou la tangente.
La définition du cosinus a été vue en classe de quatrième.
Le sinus et la tangente d’un angle aigu sont introduits
comme rapports de longueurs.
Les formules suivantes sont à démontrer :
sin2A + cos2A = 1 et tan A = sin A
cos A
.
La seule unité utilisée est le degré décimal.
Note : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et
des compétences sont en italiques. Certains commentaires ou exemples d’activités, liés à des connaissances et des capacités qui ne
font pas partie du socle, sont écrits en italique dans la troisième colonne mais correspondent à des situations que doivent travailler tous
les élèves car ces connaissances et ces capacités restent des objectifs d’enseignement du programme.
Ouverture
5,2 cm
5,4 cm
A
Ces trois triangles sont rectangles et ont un angle
commun de sommet A.
Leurs côtés ont des longueurs proportionnelles.
cos A = 5,2
5,4.
On peut en déduire une valeur approchée de la mesure
de l’angle A : A ≈ 15,6°.
Pour chacun des trois triangles, le quotient de la
longueur du côté opposé à l’angle A par la longueur
du côté adjacent à l’angle A est environ égal à 0,28.
Je prends un bon départ
QCM
1
B
2
C
3
B
4
B
5
C
6
A
7
A
8
C
9
1.
10 cm6,7 cm
AB
C
2.Dans le triangle ABC rectangle en A :
cos ACB = CA
CB
6,7
10
=, d’où : ACB ≈ 47,9°.
10
1.
8 cm
4 cm
AB
C
2. Dans le triangle EGF rectangle en E :
cos EGF = FE
FG
4
8
1
2
==
, d’où : EGF = 60°.
On en déduit : EGF = 90° − 60° = 30°.
11
Dans le triangle KLM rectangle en K :
cos KML = KM
ML, d’où : KM = ML × cos KML = 13,6 cos 28°,
soit : KM ≈ 12,0 cm.
12
Dans le triangle GHI rectangle en H :
cos IGH = GH
GI , d’où : GI = GH
cos IGH = 5,5
cos 57°,
soit : GI ≈ 10 cm.
13
a. x = 85 b. 14
3
x= c. 4
15
x=
d. 10
3
x= e. 9
5
x= f. 25
2
x= = 12,5
g. 36
7
x= h. 55
7
x=
Trigonométrie
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152
1 Objectifs
− Découvrir les défi nitions du sinus et de la tangente
d’un angle aigu.
− Conjecturer que le sinus et la tangente d’un angle aigu
ne dépendent que de la mesure de cet angle.
3. a. Quelle que soit la position du point E sur la
demi-droite [OM), les quotients EH
OE et EH OH ne varient pas.
b. Lorsque l’on modifie la mesure de l’angle MON,
donc la mesure de l’angle EOH, les quotients EH
OE
et EH
OH varient.
c. L’angle MON étant fixé, lorsque l’on déplace
le point E sur la demi-droite [OM), les quotients EH
OE
et EH
OH ne varient pas.
2 Objectif
Savoir exprimer le sinus et la tangente d’un angle aigu
dans un triangle rectangle.
1. a. sin ABC = AC
BC .
b. Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle
aigu est égal au quotient de la longueur du côté
opposé à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
2. a. tan ABC = AC
AB .
b. Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle
aigu est égale au quotient de la longueur du côté
opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent
à cet angle.
3. sin ABC = AC
BC , d’où : sin ABC = 8 10
4
5
=.
tan ABC = AC
AB , d’où : tan ABC = 8 6
4
3
=.
sin ACB = AB
BC , d’où : sin ACB = 6 10
3
5
=.
tan ACB = AB
AC , d’où : tan ACB = 6 8
3
4
=.
3 Objectif
Savoir que le sinus d’un angle est égal au cosinus de son
angle complémentaire.
1. a.
C
B
A
c. En déplaçant l’un des points B ou C, pour modifier
les mesures des angles ABC et ACB, on remarque que :
cos ABC = sin ACB et cos ACB = sin ABC.
2. a. Les angles ABC et ACB sont complémentaires.
b. sin ABC = AC
BC et cos ACB = AC BC ;
on remarque que : sin ABC = cos ACB.
sin ACB = AB
BC et cos ABC = AB BC ;
on remarque que : sin ACB = cos ABC.
c. Le sinus d’un angle est égal au cosinus de son angle
complémentaire.
4 Objectif
Connaître les deux relations trigonométriques :
tan A = sin A
cos A et sin2 A + cos2 A = 1.
1. a. • sin A = BC
AB • cos A = AC AB
• tan A = BC
AC •
sin A
cos A = BC
AC
b. tan A = sin A
cos A
.
2. a. • (sin A)2 = BC
AB
BC
AB
22
2
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=
• (cos A)2 = AC
AB
AC
AB
22
2
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=.
b. Le théorème de Py thagore, appliqué dans le triangle
ABC rectangle en C, permet d’écrire BC2 + AC2 = AB2.
c. (sin A)2 + (cos A)2 = BC
AB
AC
AB
BC AC
AB
2
2
2
2
22
2
+=
+
AB
AB 1
2
2
==
.
d. On obtient l’égalité : sin2 A + cos2 A = 1.
Savoir-faire
14
a. Dans le triangle ABC rectangle en A :
tan ABC = AC
AB
8,4
6
=, d’où : ABC ≈ 54,5°.
b. Dans le triangle DEF rectangle en D :
sin DEF = DF
EF
6,8
11,7
=, d’où : DEF ≈ 35,5°.
c. Dans le triangle GHI rectangle en I :
sin HGI = IH
GH
7,7
16,9
=, d’où : HGI ≈ 27,1°.
15
1.
C
B
A
3 cm
62°
2. Dans le triangle ABC est rectangle en A :
tan ABC = AC
AB, d’où : AC = AB × tan ABC = 3 × tan 62°,
soit : AC ≈ 5,6 cm.
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Chapitre 12 Trigonométrie 153
16
Dans le triangle TRI rectangle en I :
sin IRT = IT
RT
, d’où : RT = IT
sin IRT = 9
sin 72°,
soit : RT ≈ 9,5 cm.
17
1.
2. On entre dans la cellule A1 , le titre AB
On entre dans la cellule B1 , le titre BC
On entre dans la cellule C1 , le titre BE
On entre dans la cellule D1 , le titre AB/BC
On entre dans la cellule E1 , le titre BC/BE
On entre dans la cellule A2 , la valeur AB
On entre dans la cellule B2 , la valeur BC
On entre dans la cellule C2 , la valeur BE
On entre dans la cellule D2 , le calcul AB/BC
On entre dans la cellule E2 , le calcul BC/BE
En déplaçant le point C, on vérifie l’égalité
des quotients AB
BC et BC BE.
3. On peut conjecturer que : BE = BC2.
On pourra proposer aux élèves de démontrer
la conjecture :
Les angles BEC et BCA sont complémentaires au même
angle ECB, donc ils sont égaux.
Par conséquent, tan BCA = tan BEC, d’où : AB
BC = BC BE,
d’où : BC2 = AB × BE.
Or AB = 1, donc : BE = BC2.
Exercices
À l’oral
18
• Le triangle ABC est rectangle en C, donc
l’hypoténuse est [AB], le côté adjacent à l’angle A
est [AC], le côté opposé à l’angle A est [BC], donc :
• cos A = AC
AB • sin A = BC AB • tan A = BC AC .
• Le triangle NMR est rectangle en N, donc
l’hypoténuse est [MR], le côté adjacent à l’angle M
est [MN], le côté opposé à l’angle M est [NR], donc :
• cos M = MN
MR • sin M = NR MR • tan M = NR NM.
19
a. cos D = DA
DE b. sin D = AE DE
c. tan D = AE
AD d. sin E = AD DE
20
Le sinus d’un angle aigu est un nombre compris
entre 0 et 1.
a.
0
14
71⬍⬍
; on peut donc tracer un tel triangle
rectangle.
b. 17
14 1⬎ ; on ne peut donc pas tracer un tel triangle
rectangle.
c. 14
17 0⬍− ; on ne peut donc pas tracer un tel triangle
rectangle.
d. 0 ⬍ 0,0001 ⬍ 1 ; on peut donc tracer un tel triangle
rectangle.
21
Dans le triangle ABC rectangle en C : sin B = AC
AB.
Dans le triangle BEG rectangle en E : sin B = EG
BG.
22
Dans le triangle CLR rectangle en C : tan C = LR
LC.
Dans le triangle CMS est rectangle en S : tan C = MS
CS .
23
1. Les triangles rectangles de la figure sont :
• GJH rectangle en H
• IJG rectangle en G
• GIH rectangle en H
2. a. sin GJI = GH
GJ dans GJH rectangle en H
et sin GJI = GI
IJ dans IJG rectangle en G.
b. sin GIH = GH
GI dans GIH rectangle en H
et sin GIH = GJ
IJ dans IJG rectangle en G.
c. cos GJI = JH
JG dans GJH rectangle en H
et cos GJI = JG
JI dans IJG rectangle en G.
d. cos GIH = IH
IG dans GIH rectangle en H
et cos GIH = GI
IJ dans IJG rectangle en G.
e. tan GJI = GH
HJ dans GJH rectangle en H
et tan GJI = GI
GJ dans IJG rectangle en G.
f. tan GIH = HG
HI dans GIH rectangle en H
et tan GIH = GJ
GI dans IJG rectangle en G.
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154
29
• cos D = DA
DE • sin D = AE DE • tan D = AE AD
• cos E = AE
DE • sin E = DA DE • tan E = AD AE
30
DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 2)
2. a. cos ITR = IT
RT b. tan ITR = IR IT
c. sin IRT = IT
RT d. tan IRT = IT
IR
31
DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 3)
2. a. KL
LM = cos KLM = sin KML
b. KM
LM = cos KML = sin KLM
c. KM
LK = tan KLM d. LK KM = tan KML
32
DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 4)
2. a. sin HIG = GH
GI b. sin IGH = HI GI
c. tan HIG = GH
HI d. tan IGH = HI GH
33
• Dans le triangle ABE rectangle en E :
sin CAD = BE
BA et tan CAD = EB EA.
• Dans le triangle ABD rectangle en B :
sin CAD = BD
AD et tan CAD = BD BA.
• Dans le triangle ACD rectangle en D :
sin CAD = CD
CA et tan CAD = DC DA.
34
B
A
C
2 cm 5 cm
Dans le triangle ABC rectangle en C :
sin ABC = 2
5
AC
AB
=.
On peut donc choisir : AC = 2 cm et AB = 5 cm.
35
E
D
F
3 cm 6 cm
Dans le triangle DEF rectangle en F : sin DEF = 1
2
DF
DE
=.
Or DF = 3 cm, d’où : DE = 2 × 3 = 6 cm.
24
Dans le triangle ABC rectangle en B :
• sin A = BC
AC
9
15
3
5
==
• cos A = BA
AC
12
15
4
5
==
• tan A = BC
BA
9
12
3
4
==
.
25
1. Vrai. En ef fet, s i de ux an gle s s ont compléme nt aire s,
le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre.
2. Faux. En effet : (sin 30° + cos 30°)2
= sin2 30° + cos2 30° + 2 sin 30° cos 30°
3. Vrai. En effet : sin2 60° + cos2 60° = 1,
d’où : sin2 60° = 1 − cos2 60°.
4. Faux. En effet : tan A = sin A
cos A
.
26
a. Vrai. En effet : cos B = BC
AB
5
AB
=,
d’où : AB = 5
cos B
.
b. Vrai. En effet : cos A = AC
AB
7
AB
=,
d’où : AB = 7
cos A
.
c. Faux. En effet : tan A = BC
AC
5
7
=,
d’où : 5
tan A = 5 : 5 7 = 7. Or AB ≠ 7.
d. Vrai. En effet : sin B = AC
AB
7
AB
=,
d’où : AB = 7
sin B
.
e. Faux. En effet : sin A = BC
AB
5
AB
=,
d’où : AB = 5
sin A .
f. Faux. En effet : tan B = AC
BC
7
5
=,
d’où : 7 × tan B = 49
5. Or AB ≠ 49 5.
27
1. a. AB
sin C permet de calculer la longueur
du côté [BC].
b. AC
sin B permet de calculer la longueur du côté [BC].
c. AC
tan B permet de calculer la longueur du côté [AB].
2. a. BC × sin B permet de calculer la longueur du
côté [AC].
b. BC × sin C permet de calculer la longueur du côté [AB].
c. AC × tan C permet de calculer la longueur du côté [AB].
Je m’entraîne
28
DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 1)
a. [BC] est l’hypoténuse du triangle ABC rectangle en A.
b. [AB] est le côté opposé à l’angle ACB.
c. [AC] est le côté adjacent à l’angle ACB.
d. cos ACB = AC
BC
. e. sin ACB = AB
BC
.
f. sin ABC = AC
BC
. g. tan ABC = AC
AB
.
h. cos ABC = AB
BC
. i. tan ACB = AB
AC
.
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Chapitre 12 Trigonométrie 155
43
27° + 63° = 90°, d’où : cos 27° = sin 63°.
On obtient ainsi : A = 3 tan 27° sin 63°
= 3 sin 27°
cos 27° sin 63° = 3 sin 27° sin 63° sin 63° = 3 sin 27°.
44
a. 10° + 80° = 90°, d’où : sin 80° = cos 10°.
On obtient ainsi :
A = cos 10° − sin 80° = cos 10° − cos 10° = 0.
b. 45° + 45° = 90°, d’où : cos 45° = sin 45°.
On obtient ainsi :
B = sin 45° − cos 45° = sin 45° − sin 45° = 0.
c. 41° + 49° = 90°, d’où : cos 41° = sin 49°
et cos 49° = sin 41°.
On obtient ainsi :
C = (cos 41° − cos 49°) + (sin 41° − sin 49°)
= sin 49° − sin 41° + sin 41° − sin 49° = 0.
45
a. Dans le triangle ABC rectangle en A :
sin ACB = AB
BC
6
10,5
=, d’où : ACB ≈ 34,8°.
b. Dans le triangle DEF rectangle en D :
sin DEF = DF
EF
7,2
12,8
=, d’où : DEF ≈ 34,2°.
46
Dans le triangle ABC rectangle en A :
sin ACB = AB
BC
12,5
30
=, d’où : ACB ≈ 24,6°.
47
Dans le triangle SRT rectangle en S :
tan SRT = ST
RS
4,5
3
=, d’où : SRT ≈ 56,3°.
48
a. Dans le triangle ABC rectangle en A :
tan C = AB
AC
5
8,3
=, d’où : C ≈ 31,1°.
b. Dans le triangle CRI rectangle en I :
tan C = IR
IC
6,2
3,1
=, d’où : C ≈ 63,4°.
49
1. Dans le triangle GHI rectangle en H,
tan HIG = GH
IH
10
2,5
=, d’où : HIG ≈ 76°.
2. On en déduit : HGI ≈ 14°.
50
JL2 = 132 = 169 et JK2 + KL2 = 122 + 52 = 169 ;
donc, d’après le théorème de Pythagore, le triangle
JKL est rectangle en K.
D’où : tan KJL = KL
KJ
5
12
=, d’où : KJL ≈ 22,6°.
On en déduit : KLJ ≈ 67,4°.
51
MR2 = 6,52 = 42,25 et ME2 + RE2 = 3,32 + 5,62
= 42,25 ; donc, d’après le théorème de Pythagore,
le triangle MER est rectangle en E.
D’où : tan ERM = ME
RE
3,3
5,6
=, d’où : ERM ≈ 30,5°.
On en déduit : EMR ≈ 59,5°.
36
H
G
I
4 cm
7 cm
Dans le triangle GHI rectangle en I : tan GHI = 4
7
IG
IH
=.
On peut donc choisir : IG = 4 cm et IH = 7 cm.
37
Dans le triangle KLM
rectangle en L :
tan LMK = 5
3
LK
LM
=.
Or LK = 2,5 cm, d’où :
LM 32,5
51,5=×= cm.
38
DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 5)
Mesure de C 3° 27° 45° 67° 81° 85°
cos C 10,890,710,390,160,09
sin C 0,05 0,45 0,71 0,92 0,99 1
tan C 0,05 0,51 1 2,36 6,31 11,43
39
1. cos B = 4
5, donc : sin2 B = 116
25
9
25
−=.
Or sin B est un nombre positif, donc : sin B = 3
5.
2. tan B = sin B
cos B = 3
4.
40
1. 0,96 96
100
24
25
==
.
2. sin A = 24
25 , donc : cos2 A = 124 25
49
25
2
2
−⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=.
Or cos A est un nombre positif, donc : cos A = 7
25.
3. tan A = sin A
cos A = 24
7.
41
cos E = 1
3, donc : sin2 E = 1 − cos2 E = 11
9
8
9
−=.
Or sin E est un nombre positif, donc : sin E = 8
9
22
3
=.
Et tan E = sin E
cos E = 22.
42
a. sin C = 0,6, donc :
cos2 C = 1 – sin2 C = 1 – 0,62 = 0,64.
Or cos C est un nombre positif, donc : cos C = 0,8.
b. sin C = 3
2, donc :
cos2 C = 1 − sin2 C = 13
213
4
1
4
2
−⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=−=.
Or cos C est un nombre positif, donc : cos C = 1
2.
M
K
L
2,5 cm
1,5 cm
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