Trigonométrie

Trigonométrie
EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N° 6 DU 28 AOÛT 2008
Connaissances
Capacités
Commentaires
– Connaître et utiliser les relations entre
le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle
aigu et les longueurs de deux des côtés d’un
triangle rectangle.
– Déterminer, à l’aide de la calculatrice,
des valeurs approchées :
• du sinus, du cosinus et de la tangente d’un
angle aigu donné ;
• de l’angle aigu dont on connaît le cosinus,
le sinus ou la tangente.
La définition du cosinus a été vue en classe de quatrième.
Le sinus et la tangente d’un angle aigu sont introduits
comme rapports de longueurs.
Les formules suivantes sont à démontrer :
sin A
.
sin2A + cos2A = 1 et tan A =
cos A
La seule unité utilisée est le degré décimal.
3. Géométrie
3.1 Figures planes
Triangle rectangle,
relations trigonométriques.
Note : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et
des compétences sont en italiques. Certains commentaires ou exemples d’activités, liés à des connaissances et des capacités qui ne
font pas partie du socle, sont écrits en italique dans la troisième colonne mais correspondent à des situations que doivent travailler tous
les élèves car ces connaissances et ces capacités restent des objectifs d’enseignement du programme.
2.Dans le triangle ABC rectangle en A :
CA 6,7
, d’où : ACB ≈ 47,9°.
cos ACB =
=
CB
10
Ouverture
5,4 cm
Ces trois triangles sont rectangles et ont un angle
commun de sommet A.
Leurs côtés ont des longueurs proportionnelles.
5, 2
cos A =
.
5, 4
On peut en déduire une valeur approchée de la mesure
de l’angle A : A ≈ 15,6°.
Pour chacun des trois triangles, le quotient de la
longueur du côté opposé à l’angle A par la longueur
du côté adjacent à l’angle A est environ égal à 0,28.
Je prends un bon départ
QCM
A
B
2. Dans le triangle EGF rectangle en E :
FE 4 1
cos EGF =
= = , d’où : EGF = 60°.
FG 8 2
On en déduit : EGF = 90° − 60° = 30°.
11 Dans le triangle KLM rectangle en K :
KM
, d’où : KM = ML × cos KML = 13,6 cos 28°,
ML
soit : KM ≈ 12,0 cm.
cos KML =
12 Dans le triangle GHI rectangle en H :
2 C
3 B
4 B
5 C
6 A
7 A
8 C
C
GH
5,5
GH
, d’où : GI =
=
,
GI
cos IGH cos 57°
soit : GI ≈ 10 cm.
cos IGH =
13 a. x = 85
6,7 cm
A
10 cm
B
b. x =
14
3
c. x =
4
15
f. x =
25
= 12,5
2
d. x =
10
3
e. x =
9
5
g. x =
36
7
h. x =
55
7
Chapitre
12
Trigonométrie
151
© Éditions Belin, 2012.
1 B
1.
8 cm
4 cm
A
5,2 cm
9
C
10 1.
1
Objectifs
− Découvrir les définitions du sinus et de la tangente
d’un angle aigu.
− Conjecturer que le sinus et la tangente d’un angle aigu
ne dépendent que de la mesure de cet angle.
3. a. Quelle que soit la position du point E sur la
EH EH
et
ne varient pas.
demi-droite [OM), les quotients
OE OH
b. Lorsque l’on modifie la mesure de l’angle MON,
EH
donc la mesure de l’angle EOH, les quotients
OE
EH
et
varient.
OH
c. L’angle MON étant fixé, lorsque l’on déplace
EH
le point E sur la demi-droite [OM), les quotients
OE
EH
et
ne varient pas.
OH
2
Objectif
Savoir exprimer le sinus et la tangente d’un angle aigu
dans un triangle rectangle.
AC
.
BC
b. Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle
aigu est égal au quotient de la longueur du côté
opposé à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
AC
2. a. tan ABC =
.
AB
b. Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle
aigu est égale au quotient de la longueur du côté
opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent
à cet angle.
AC
8
4
3. sin ABC =
, d’où : sin ABC =
= .
BC
10 5
AC
8 4
tan ABC =
, d’où : tan ABC = = .
AB
6 3
AB
6
3
, d’où : sin ACB =
sin ACB =
= .
BC
10 5
AB
6 3
tan ACB =
, d’où : tan ACB = = .
AC
8 4
1. a. sin ABC =
3
Objectif
Savoir que le sinus d’un angle est égal au cosinus de son
angle complémentaire.
1. a.
2. a. Les angles ABC et ACB sont complémentaires.
AC
AC
b. sin ABC =
et cos ACB =
;
BC
BC
on remarque que : sin ABC = cos ACB.
AB
AB
et cos ABC =
;
sin ACB =
BC
BC
on remarque que : sin ACB = cos ABC.
c. Le sinus d’un angle est égal au cosinus de son angle
complémentaire.
4
Objectif
Connaître les deux relations trigonométriques :
sin A
et sin2 A + cos2 A = 1.
tan A =
cos A
1. a. • sin A =
BC
AB
BC
AC
sin A
.
b. tan A =
cos A
AC
AB
sin A BC
•
=
cos A AC
• cos A =
• tan A =
2
BC
BC 2
2. a. • (sin A)2 = ⎛⎜ ⎞⎟ =
⎝ AB⎠
AB2
2
2
AC
AC
• (cos A)2 = ⎛⎜ ⎞⎟ =
.
⎝ AB ⎠
AB2
b. Le théorème de Pythagore, appliqué dans le triangle
ABC rectangle en C, permet d’écrire BC2 + AC2 = AB2.
BC 2 AC 2 BC 2 + AC 2
c. (sin A)2 + (cos A)2 =
+
=
AB2 AB2
AB2
AB2
.
=
=1
AB2
d. On obtient l’égalité : sin2 A + cos2 A = 1.
Savoir-faire
14 a. Dans le triangle ABC rectangle en A :
AC 8,4
, d’où : ABC ≈ 54,5°.
=
AB
6
b. Dans le triangle DEF rectangle en D :
DF
6,8
, d’où : DEF ≈ 35,5°.
sin DEF =
=
EF 11,7
c. Dans le triangle GHI rectangle en I :
IH
7,7
, d’où : HGI ≈ 27,1°.
sin HGI =
=
GH 16,9
tan ABC =
15 1.
B
A
62°
3 cm
B
C
c. En déplaçant l’un des points B ou C, pour modifier
les mesures des angles ABC et ACB, on remarque que :
cos ABC = sin ACB et cos ACB = sin ABC.
152
C
2. Dans le triangle ABC est rectangle en A :
AC
, d’où : AC = AB × tan ABC = 3 × tan 62°,
tan ABC =
AB
soit : AC ≈ 5,6 cm.
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A
16 Dans le triangle TRI rectangle en I :
IT
9
IT
, d’où : RT =
=
,
RT
sin IRT sin 72°
soit : RT ≈ 9,5 cm.
sin IRT =
c. tan D =
AE
AD
DA
DE
AE
DE
AD
d. sin E =
DE
b. sin D =
20 Le sinus d’un angle aigu est un nombre compris
entre 0 et 1.
14
a. 0 ⬍
⬍ 1 ; on peut donc tracer un tel triangle
7
rectangle.
17
b.
⬎ 1 ; on ne peut donc pas tracer un tel triangle
14
rectangle.
14
c. −
⬍ 0 ; on ne peut donc pas tracer un tel triangle
17
rectangle.
d. 0 ⬍ 0,0001 ⬍ 1 ; on peut donc tracer un tel triangle
rectangle.
1.
2. On entre dans la cellule A1 , le titre AB
On entre dans la cellule B1 , le titre BC
On entre dans la cellule C1 , le titre BE
On entre dans la cellule D1 , le titre AB/BC
On entre dans la cellule E1 , le titre BC/BE
On entre dans la cellule A2 , la valeur AB
On entre dans la cellule B2 , la valeur BC
On entre dans la cellule C2 , la valeur BE
On entre dans la cellule D2 , le calcul AB/BC
On entre dans la cellule E2 , le calcul BC/BE
En déplaçant le point C, on vérifie l’égalité
AB
BC
et
.
des quotients
BC
BE
3. On peut conjecturer que : BE = BC2.
On pourra proposer aux élèves de démontrer
la conjecture :
Les angles BEC et BCA sont complémentaires au même
angle ECB, donc ils sont égaux.
AB BC
Par conséquent, tan BCA = tan BEC, d’où :
= ,
BC BE
d’où : BC2 = AB × BE.
Or AB = 1, donc : BE = BC2.
Exercices
À l’oral
18 • Le triangle ABC est rectangle en C, donc
l’hypoténuse est [AB], le côté adjacent à l’angle A
est [AC], le côté opposé à l’angle A est [BC], donc :
AC
BC
BC
• cos A =
• sin A =
• tan A =
.
AB
AB
AC
• Le triangle NMR est rectangle en N, donc
l’hypoténuse est [MR], le côté adjacent à l’angle M
est [MN], le côté opposé à l’angle M est [NR], donc :
MN
NR
NR
• cos M =
• sin M =
• tan M =
.
MR
MR
NM
21 Dans le triangle ABC rectangle en C : sin B =
Dans le triangle BEG rectangle en E : sin B =
EG
.
BG
AC
.
AB
LR
.
LC
MS
Dans le triangle CMS est rectangle en S : tan C =
.
CS
22 Dans le triangle CLR rectangle en C : tan C =
23 1. Les triangles rectangles de la figure sont :
• GJH rectangle en H
• IJG rectangle en G
• GIH rectangle en H
GH
2. a. sin GJI =
dans GJH rectangle en H
GJ
GI
dans IJG rectangle en G.
et sin GJI =
IJ
GH
dans GIH rectangle en H
b. sin GIH =
GI
GJ
dans IJG rectangle en G.
et sin GIH =
IJ
JH
dans GJH rectangle en H
c. cos GJI =
JG
JG
dans IJG rectangle en G.
et cos GJI =
JI
IH
dans GIH rectangle en H
d. cos GIH =
IG
GI
dans IJG rectangle en G.
et cos GIH =
IJ
GH
dans GJH rectangle en H
e. tan GJI =
HJ
GI
dans IJG rectangle en G.
et tan GJI =
GJ
HG
dans GIH rectangle en H
f. tan GIH =
HI
GJ
dans IJG rectangle en G.
et tan GIH =
GI
Chapitre
12
Trigonométrie
153
© Éditions Belin, 2012.
17
19 a. cos D =
24 Dans le triangle ABC rectangle en B :
• cos A =
BA 12 4
=
=
AC 15 5
BC
5
,
=
AB AB
5
.
cos B
AC
7
b. Vrai. En effet : cos A =
,
=
AB AB
7
.
d’où : AB =
cos A
BC 5
c. Faux. En effet : tan A =
= ,
AC 7
5
5
d’où :
= 5 : = 7. Or AB ≠ 7.
tan A
7
AC
7
d. Vrai. En effet : sin B =
,
=
AB
AB
7
d’où : AB =
.
sin B
BC
5
e. Faux. En effet : sin A =
,
=
AB
AB
5
.
d’où : AB =
sin A
AC 7
f. Faux. En effet : tan B =
= ,
BC 5
49
49
d’où : 7 × tan B =
. Or AB ≠
.
5
5
d’où : AB =
AE
AD
AD
• tan E =
AE
• tan D =
(ANNEXE 2)
IR
b. tan ITR =
IT
IT
d. tan IRT =
IR
31 DOCUMENT À PHOTOCOPIER
(ANNEXE 3)
KL
= cos KLM = sin KML
LM
KM
b.
= cos KML = sin KLM
LM
KM
LK
c.
= tan KLM
d.
= tan KML
LK
KM
2. a.
GH
2. a. sin HIG =
GI
GH
c. tan HIG =
HI
(ANNEXE 4)
HI
b. sin IGH =
GI
HI
d. tan IGH =
GH
33 • Dans le triangle ABE rectangle en E :
BE
EB
et tan CAD =
.
BA
EA
• Dans le triangle ABD rectangle en B :
BD
BD
et tan CAD =
.
sin CAD =
AD
BA
• Dans le triangle ACD rectangle en D :
CD
DC
et tan CAD =
.
sin CAD =
CA
DA
sin CAD =
AB
permet de calculer la longueur
sin C
du côté [BC].
AC
b.
permet de calculer la longueur du côté [BC].
sin B
AC
c.
permet de calculer la longueur du côté [AB].
tan B
2. a. BC × sin B permet de calculer la longueur du
côté [AC].
b. BC × sin C permet de calculer la longueur du côté [AB].
c. AC × tan C permet de calculer la longueur du côté [AB].
Je m’entraîne
28 DOCUMENT À PHOTOCOPIER
IT
2. a. cos ITR =
RT
IT
c. sin IRT =
RT
32 DOCUMENT À PHOTOCOPIER
27 1. a.
A
34
5 cm
2 cm
C
B
Dans le triangle ABC rectangle en C :
2 AC
.
sin ABC = =
5 AB
On peut donc choisir : AC = 2 cm et AB = 5 cm.
35
D
(ANNEXE 1)
a. [BC] est l’hypoténuse du triangle ABC rectangle en A.
b. [AB] est le côté opposé à l’angle ACB.
c. [AC] est le côté adjacent à l’angle ACB.
AC
AB
d. cos ACB =
.
e. sin ACB =
.
BC
BC
AC
AC
f. sin ABC =
.
g. tan ABC =
.
BC
AB
AB
AB
h. cos ABC =
.
i. tan ACB =
.
BC
AC
154
AE
DE
• cos E =
AE
DE
DA
• sin E =
DE
• sin D =
30 DOCUMENT À PHOTOCOPIER
25 1. Vrai. En effet, si deux angles sont complémentaires,
le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre.
2. Faux. En effet : (sin 30° + cos 30°)2
= sin2 30° + cos2 30° + 2 sin 30° cos 30°
3. Vrai. En effet : sin2 60° + cos2 60° = 1,
d’où : sin2 60° = 1 − cos2 60°.
sin A
.
4. Faux. En effet : tan A =
cos A
26 a. Vrai. En effet : cos B =
DA
DE
3 cm
F
6 cm
E
1 DF
Dans le triangle DEF rectangle en F : sin DEF = =
.
2
DE
Or DF = 3 cm, d’où : DE = 2 × 3 = 6 cm.
© Éditions Belin, 2012.
BC
9
3
=
=
AC 15 5
BC
9
3
• tan A =
=
= .
BA 12 4
• sin A =
29 • cos D =
43 27° + 63° = 90°, d’où : cos 27° = sin 63°.
On obtient ainsi : A = 3 tan 27° sin 63°
sin 27°
sin 27°
=3
sin 63° = 3
sin 63° = 3 sin 27°.
cos 27°
sin 63°
36
4 cm
G
7 cm
H
4 IG
Dans le triangle GHI rectangle en I : tan GHI = = .
7 IH
On peut donc choisir : IG = 4 cm et IH = 7 cm.
K
Dans le triangle KLM
rectangle en L :
5 LK
tan LMK = =
.
3 LM
Or LK = 2,5 cm, d’où :
3 × 2,5
LM =
= 1,5 cm.
5
37
27°
0,89
0,45
0,51
AB
6
, d’où : ACB ≈ 34,8°.
=
BC 10,5
b. Dans le triangle DEF rectangle en D :
DF
7, 2
sin DEF =
, d’où : DEF ≈ 34,2°.
=
EF 12, 8
sin ACB =
2,5 cm
L
38 DOCUMENT À PHOTOCOPIER
Mesure de C 3°
1
cos C
0,05
sin C
0,05
tan C
45 a. Dans le triangle ABC rectangle en A :
45°
0,71
0,71
1
1,5 cm
M
(ANNEXE 5)
67°
0,39
0,92
2,36
81°
0,16
0,99
6,31
85°
0,09
1
11,43
4
16
9
, donc : sin2 B = 1 −
.
=
5
25 25
3
Or sin B est un nombre positif, donc : sin B = .
5
sin B 3
2. tan B =
= .
cos B 4
39 1. cos B =
40 1. 0,96 =
96
24
.
=
100 25
24
24 2
49
, donc : cos2 A = 1 − ⎛⎜ ⎞⎟ =
.
⎝ 25⎠
25
252
7
.
Or cos A est un nombre positif, donc : cos A =
25
sin A 24
3. tan A =
=
.
7
cos A
2. sin A =
1
1 8
, donc : sin2 E = 1 − cos2 E = 1 − = .
3
9 9
8 2 2
Or sin E est un nombre positif, donc : sin E =
.
=
9
3
sin E
Et tan E =
= 2 2.
cos E
41 cos E =
42 a. sin C = 0,6, donc :
cos2 C = 1 – sin2 C = 1 – 0,62 = 0,64.
Or cos C est un nombre positif, donc : cos C = 0,8.
3
b. sin C =
, donc :
2
2
⎛ 3⎞
3 1
2
cos C = 1 − sin2 C = 1 − ⎜ ⎟ = 1 − = .
4 4
⎝ 2⎠
1
Or cos C est un nombre positif, donc : cos C = .
2
46 Dans le triangle ABC rectangle en A :
sin ACB =
AB 12,5
, d’où : ACB ≈ 24,6°.
=
BC
30
47 Dans le triangle SRT rectangle en S :
tan SRT =
ST 4,5
, d’où : SRT ≈ 56,3°.
=
RS
3
48 a. Dans le triangle ABC rectangle en A :
AB
5
, d’où : C ≈ 31,1°.
=
AC 8, 3
b. Dans le triangle CRI rectangle en I :
IR 6, 2
tan C =
, d’où : C ≈ 63,4°.
=
IC 3,1
tan C =
49 1. Dans le triangle GHI rectangle en H,
GH 10
, d’où : HIG ≈ 76°.
=
IH
2,5
2. On en déduit : HGI ≈ 14°.
tan HIG =
50 JL 2 = 132 = 169 et JK 2 + KL 2 = 122 + 52 = 169 ;
donc, d’après le théorème de Pythagore, le triangle
JKL est rectangle en K.
KL
5
D’où : tan KJL =
= , d’où : KJL ≈ 22,6°.
KJ 12
On en déduit : KLJ ≈ 67,4°.
51 MR2 = 6,52 = 42,25 et ME2 + RE2 = 3,32 + 5,62
= 42,25 ; donc, d’après le théorème de Pythagore,
le triangle MER est rectangle en E.
ME 3, 3
, d’où : ERM ≈ 30,5°.
D’où : tan ERM =
=
RE 5,6
On en déduit : EMR ≈ 59,5°.
Chapitre
12
Trigonométrie
155
© Éditions Belin, 2012.
I
44 a. 10° + 80° = 90°, d’où : sin 80° = cos 10°.
On obtient ainsi :
A = cos 10° − sin 80° = cos 10° − cos 10° = 0.
b. 45° + 45° = 90°, d’où : cos 45° = sin 45°.
On obtient ainsi :
B = sin 45° − cos 45° = sin 45° − sin 45° = 0.
c. 41° + 49° = 90°, d’où : cos 41° = sin 49°
et cos 49° = sin 41°.
On obtient ainsi :
C = (cos 41° − cos 49°) + (sin 41° − sin 49°)
= sin 49° − sin 41° + sin 41° − sin 49° = 0.
52 SL 2 = 102 = 100 et SO2 + OL 2 = 62 + 82 = 100 ;
donc, d’après le théorème de Pythagore, le triangle
SOL est rectangle en O.
OL
8
D’où : sin OSL =
,
=
SL 10
d’où : OSL ≈ 53,1°.
On en déduit : OLS ≈ 36,9°.
58 1.
F
E
6,5 cm
53 Soit A l’angle formé par la route et l’horizontale.
10
, d’où : A ≈ 5,7°.
100
8
b. tan A =
, d’où : A ≈ 4,6°.
100
4
c. tan A =
, d’où : A ≈ 2,3°.
100
a. tan A =
41°
D
2. a. Dans le triangle DEF rectangle en F :
EF
tan FDE = , d’où : EF = FD × tan FDE = 6,5 × tan 41°,
FD
soit : EF ≈ 5,7 cm.
Départ
Câble
Horizontale
40 m
Arrivée
2. L’écart entre la hauteur de départ et la hauteur
d’arrivée est égal à : 10 − 4,5, soit 5,5 m.
Soit A l’angle formé avec l’horizontale par le cable.
5,5
tan A =
, d’où : A ≈ 7,8°.
40
55 Le triangle OAB est rectangle en O,
OB
, d’où :
AB
OB = AB × sin OAB = 5,2 × sin 42°.
Soit : OB ≈ 3,5 cm.
donc : sin OAB =
56 1.
B
8,5 cm
A
37°
C
2. a. Dans le triangle ABC rectangle en C :
BC
,
sin BAC =
BA
d’où : BC = BA sin BAC = 8,5 × sin 37°,
soit : BC ≈ 5,1 cm.
57 Dans le triangle GHT rectangle en H :
sin GTH =
GH
,
GT
3
GH
=
.
sin
52°
sin GTH
Soit : GT ≈ 3,8 cm.
d’où : GT =
156
59 1. BAC = 45°.
2. Dans le triangle ABC rectangle en B :
AB
, d’où : AB = AC × cos BAC = 4 × cos 45°,
cos BAC =
AC
soit : AB ≈ 2,8 cm.
60 1. HNI = 26°.
2. a. Dans le triangle NIH rectangle en H :
HI
sin INH = , d’où : HI = IN × sin INH = 10 × sin 26°,
IN
soit : HI ≈ 4,4 cm.
b. On en déduit : ID ≈ 8,8 cm, d’où : PNID ≈ 28,8 cm.
61 1. Le triangle AOB est isocèle en O.
2. a. H est le milieu de [AB].
b. La demi-droite [OH) est la bissectrice de l’angle AOB.
3. Dans le triangle OHB rectangle en H :
BH
sin BOH =
, d’où : BH = BO × sin BOH et donc :
BO
AB = 2 × BO × sin BOH.
a. AOB = 70°, donc BOH = 35°, d’où :
AB = 2 × 5 sin 35°, soit : AB ≈ 5,736 cm.
b. AOB = 100°, donc BOH = 50°, d’où :
AB = 2 × 5 × sin 50°,soit : AB ≈ 7,660 cm.
c. AOB = 130°, donc BOH = 65°, d’où :
AB = 2 × 5 × sin 65°, soit : AB ≈ 9,063 cm.
62 Soit la longueur du côté de l’angle droit opposé
à l’angle de 30°.
sin 30° = , donc : = 18 × sin 30° = 9 cm.
18
Soit ’ l’autre côté de l’angle droit.
Le triangle est rectangle, donc d’après le théorème
de Pythagore :
2 + ’2 = 182,d’où : ’2 = 182 − 2 = 182 − 92 = 243.
Or : ’ est un nombre positif, donc :
’ = 243 = 9 3 , d’où : ’ ≈ 15,6 cm.
© Éditions Belin, 2012.
54 1.
1. et 2.
BH AB
AH
3. On peut remarquer que les quotients
,
et
AB BC
AC
sont égaux.
4. CAH = ABH = 90° − ACH, donc les angles CAH
et ABH ont la même mesure.
Les angles ABH et ABC sont confondus,
donc : CAH = ABH = ABC.
AH
• Dans le triangle ACH rectangle en H : cos CAH =
.
AC
BH
• Dans le triangle ABH rectangle en H : cos ABH =
.
AB
AB
• Dans le triangle ABC rectangle en A : cos ABC =
.
BC
BH AB AH
D’où :
.
=
=
AB BC AC
Thème de convergence
64 Soit K le milieu de [BE].
Dans le triangle ABK rectangle en K :
BK
BK
cos ABE =
, d’où : AB =
.
AB
cos ABE
4
a. ABE = 20°, donc : AB =
≈ 4,257 m.
cos 20°
On en déduit l’aire totale des panneaux solaires
installés : 4,257 × 12 ≈ 51,08 m2.
4
b. ABE = 50°, donc : AB =
≈ 6,223 m.
cos50°
On en déduit l’aire totale des panneaux solaires
installés : 6,223 × 12 ≈ 74,68 m2.
4
c. ABE = 35°, donc : AB =
≈ 4,883 m.
cos 35°
On en déduit l’aire totale des panneaux solaires
installés : 4,883 × 12 ≈ 58,60 m2.
Je m’entraîne au brevet
65 1. Dans le triangle BCD rectangle en D :
BD
BD
4
,
, d’où : BC =
=
BC
cos CBD cos 60°
soit : BC = 8 cm.
2. Dans le triangle BCD rectangle en D :
CD
tan CBD =
, d’où : CD = BD tan CBD = 4 × tan 60°,
BD
soit : CD ≈ 6,9 cm.
3. Dans le triangle ABC rectangle en B, on applique
le théorème de Pythagore :
AC2 = AB2 + BC2 = 62 + 82 = 100.
Or AC est un nombre positif, donc : AC = 10 cm.
4. Dans le triangle ABC rectangle en B :
BC 8
tan BAC =
= , d’où : BAC ≈ 53°.
AB 6
66 1. BAC = 90° − 10° = 80°.
2. Les points A, H et B sont alignés dans cet ordre,
donc : AB = AH + HB = 100 + 400 = 500 m.
Dans le triangle ABC rectangle en A :
AB
500
BA
tan BCA =
, d’où : AC =
=
,
AC
tan80°
tan BCA
soit : AC ≈ 88 m.
3. Dans le triangle ABC rectangle en A :
AB
500
AB
cos ABC =
, d’où : BC =
=
,
BC
cos10°
cos ABC
soit : BC ≈ 508 m.
4. Dans le triangle DBH rectangle en H :
BH
400
BH
cos DBH =
, d’où : BD =
=
,
BD
cos DBH cos10°
soit : BD ≈ 406 m.
67 1. Dans le triangle ABC rectangle en C, on
applique le théorème de Pythagore : AB2 = AC2 + BC2,
d’où : BC2 = AB2 − BC2 = 302 − 252 = 275.
Or BC est un nombre positif, donc :
BC = 275 = 5 11 cm.
2. Dans le triangle ACD rectangle en C :
CD
tan CAD =
, d’où : CD = AC × tan CAD = 25 × tan 49°,
AC
soit : CD ≈ 28,8 cm.
Les points B, C et D sont alignés dans cet ordre, donc :
BD = BC + CD.
On obtient : BD ≈ 5 11 + 28, 8, soit : BD ≈ 45,4 cm.
68 1. Le cercle de centre O est le cercle circonscrit
au triangle AMB.
2. L’image du point A par la symétrie de centre O est
le point B.
3. Dans le triangle ABM rectangle en M :
AM
cos BAM =
, d’où :
AB
AM = AB × cos BAM = 6 × cos 60°, soit : AM = 3 cm.
4. Le triangle OAM est un triangle isocèle en O
ayant un angle de 60°, donc OAM est un triangle
équilatéral, donc : AOM = 60°.
On en déduit : BOM = 180° − 60° = 120°.
69 1.
A
cos CBD =
C
D
B
E
Chapitre
12
Trigonométrie
157
© Éditions Belin, 2012.
63
2. a. Le triangle ABC est rectangle et isocèle en B,
donc : ACB = 45°.
b. Les angles ACB et DCE sont opposés par le sommet,
donc ils ont la même mesure. D’où : DCE = 45°.
3. Dans le triangle DCE rectangle en E :
DE
sin DCE =
, d’où : DE = DC × cos DCE = 6 × cos 45°,
DC
soit : DE ≈ 4,2 cm.
70 1. a. Le triangle SAO est rectangle en O.
b.
S
2. Le triangle ABF est inscrit dans un demi-cercle de
diamètre [BF]. Le triangle ABF est donc rectangle en A.
3. Dans le triangle ABF rectangle en A :
AB 28
sin AFB =
, d’où : AFB ≈ 20,5°.
=
BF 80
5. Dans le triangle OEF rectangle en E :
EF
, d’où : EF = OF × cos EFO ≈ 40 × cos 20,5°.
cos EFO =
OF
Soit : EF ≈ 37 mm.
84 1.
A
D
O
H
O
2,5 cm
B
A
2. Dans le triangle SAO rectangle en O, on applique
le théorème de Pythagore : SA 2 = SO2 + OA 2,
d’où : SO2 = SA 2 − OA 2 = 6,52 − 2,52 = 36.
Or SO est un nombre positif, donc : SO = 36 = 6 cm.
1
3. Volume du cône : = × Aire de la base × hauteur.
3
1
1
= × π OA 2 × SO = × π × 2,52 × 6 = π × 2,52 × 2,
3
3
soit : ≈ 39,3 cm3.
4. Dans le triangle SAO rectangle en O :
OA 2,5
sin ASO =
, d‘où : ASO ≈ 23°.
=
SA 6,5
71 1. Le triangle PRC est inscrit dans un demi-cercle
de diamètre [RP]. Le triangle PRC est donc rectangle
en C.
2. Dans le triangle PRC rectangle en C :
RC
cos PRC = , d’où : RC = RP × cos PRC = 3 000 × cos 60°.
RP
Soit RC = 1 500 brasses.
J’approfondis
83 1. et 4.
A
E
B
158
O
F
C
2. a. Dans le triangle ABC rectangle en A, on
applique le théorème de Pythagore : BC2 = AB2 + AC2,
d’où : AC2 = BC2 − AB2 = 52 − 32 = 16.
Or AC est un nombre positif, donc : AC = 16 = 4 cm.
b. O est le milieu de la diagonale [AC], donc :
OC = 2 cm.
3. a. • Dans le triangle ABC rectangle en A :
AB
.
sin ACB =
BC
OH
• Dans le triangle OHC rectangle en H : sin ACB =
.
OC
AB OH
AB × OC 3 × 2
b.
, d’où : OH =
,
=
=
BC OC
BC
5
soit : OH = 1,2 cm.
4. • Dans le triangle AOB rectangle en A, on applique
le théorème de Pythagore : BO2 = AB2 + AO2,
donc : BO2 = 32 + 22 = 13.
Or BO est un nombre positif, donc : BO = 13 cm.
• Dans le triangle BOH rectangle en H, on applique
le théorème de Pythagore : BO2 = BH2 + HO2,
d’où : BH2 = BO2 − HO2 = 13 − 1,22 = 11,56.
Or BH est un nombre positif, donc :
BH = 11,56 cm = 3,4 cm.
1
1
5. • HOB = × OH × BH = × 1, 2 × 3, 4.
2
2
Soit : OHB = 2,04 cm2.
• HOB = OH + BO + BH = 1,2 + 13 + 3, 4.
Soit : HOB ≈ 8,2 cm.
85 1. ACH = BAH = 90° − CAH.
2. Dans le triangle ACH rectangle en H :
AH 4, 8 48 3
tan ACH =
=
=
= .
HC 6, 4 64 4
3. Dans le triangle ABH rectangle en H :
BH
, d’où :
tan BAH =
AH
3
BH = AH × tan BAH = AH × tan ACH = 4, 8 × .
4
Soit : BH = 3,6 cm.
4. • Les points B, H et C sont alignés dans cet ordre,
donc : BC = BH + HC = 3,6 + 6,4 = 10 cm.
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6,5 cm
• Dans le triangle ABH rectangle en H, on applique
le théorème de Pythagore :
AB2 = BH2 + HA 2 = 3,62 + 4,82 = 36.
Or AB est un nombre positif, donc : AB = 36 = 6 cm.
• Dans le triangle ACH rectangle en H, on applique
le théorème de Pythagore :
AC2 = AH2 + HC2 = 4,82 + 6,42 = 64.
Or AC est un nombre positif, donc :
AC = 64 = 8 cm.
• ABC = AB + BC + AC = 6 + 10 + 8 = 24 cm.
1
1
• ABC = × BC × AH = × 10 × 4, 8 = 24 cm2.
2
2
86 1. Le triangle AHG est rectangle en H.
2. • On construit un carré
G
ADHE de 5 cm de côté.
• On construit la diagonale
5 cm
[AH] du carré.
• On construit une demiH
droite perpendiculaire à (AH)
passant par H.
• On construit le point G sur
cette demi-droite tel que :
HG = 5 cm.
• On trace le côté [AG].
3. • AH = AD × 2 = 5 2 cm.
D
5 cm
• Dans le triangle AHG
rectangle en H, on applique
le théorème de Pythagore :
AG2 = AH2 + HG2 = 50 + 25 = 75.
Or AG est un nombre positif, donc :
AG = 75 = 5 3 cm.
4. Dans le triangle AHG rectangle en H :
HG
5
=
tan HAG =
, d’où : HAG ≈ 35,3°.
AH 5 2
A
C
H
88 1. EF 2 + FG2 = (3 3 )2 + 32 = 36
et EG2 = 62 = 36.
EF2 + FG2 = EG2, donc d’après le théorème de
Pythagore, le triangle EFG est rectangle en F.
2. Dans le triangle EFG rectangle en F :
GF 3
cos EGF =
= , d’où : EGF = 60°.
GE 6
3. • Dans le triangle AEB rectangle en B :
EB
, d’où : EB = AE × cos AEB = 9 × cos 30°.
cos AEB =
AE
Soit : EB = 4,5 3 cm.
• Dans le triangle AEB rectangle en B, on applique
le théorème de Pythagore : AE2 = AB2 + BE2,
d’où : AB2 = AE2 − BE2.
Donc : AB2 = 92 − (4,5 3 )2 = 20, 25.
Or AB est un nombre positif, donc : AB = 4,5 cm.
4. Dans le triangle ADB rectangle en B :
DB
tan BAD =
, d’où :
AB
1
,
DB = AB × tan BAD = 4,5 × tan 30° = 4,5 ×
3
soit : DB = 1,5 3 cm.
5. AGFD = ADE + EFG.
1
AGFD = × (4,5 × 6 3 + 3 × 3 3 ) = 18 3 cm2.
2
A
89 1.
A
I
B
1. Le triangle AHB est rectangle en H et I est le
milieu de son hypoténuse [AB], donc : IA = IH = IB.
Les triangles HAI et HBI sont donc isocèles en I.
2. a. Le triangle IBH est isocèle en I, donc : IHB = IBH.
D’autre part : IBH = HAC = 90° − BAH.
Donc : IHB = IBH = HAC.
b. Le triangle IAH est isocèle en I, donc : IAH = IHA.
D’autre part : IAH = ACH = 90° − HAC.
Donc : IAH = IHA = ACH.
3. a. CH = 3 cm et AH = 5 cm.
AH 5
Dans le triangle ACH rectangle en H : tan ACH =
= ,
CH 3
d’où : ACH ≈ 59°. On en déduit HAC ≈ 31°.
b. • Dans le triangle AHC rectangle en H, on applique
le théorème de Pythagore :
c
B
H
E
2. ABH = 60° et BAH = 30°.
c
3. BH = .
2
4. Dans le triangle ABH rectangle en H, on applique
le théorème de Pythagore : AB2 = AH2 + BH2, d’où :
c 2
c2 3 2
= c .
AH2 = AB2 − BH2 = c 2 − ⎛⎜ ⎞⎟ = c 2 −
⎝ 2⎠
4
4
Or AH est un nombre positif, donc :
3c 2
c 3
AH =
.
=
4
2
Chapitre
12
Trigonométrie
159
© Éditions Belin, 2012.
87
E
AC2 = AH2 + HC2 = 52 + 32 = 34.
Or AC est un nombre positif, donc : AC = 34 ≈ 5, 8 cm.
• Dans le triangle ABH rectangle en H :
AH
AH
tan ABH =
, d’où : BH =
BH
tan ABH
5
donc : BH ≈
, soit : BH ≈ 8,3 cm.
tan31°
• Les points B, H et C sont alignés dans cet ordre,
donc : BC = BH + HC, d’où : BC ≈ 11,3 cm.
• Dans le triangle AHB rectangle en H, on applique
le théorème de Pythagore : AB2 = AH2 + BH2,
donc : AB2 ≈ 52 + 8,32.
Or AB est un nombre positif, donc : AB ≈ 9,7 cm.
90 1. Le triangle REC est rectangle et isocèle en R,
donc : REC = 45°.
2. EC = a 2.
RE
2
RE
2
=
=
• cos REC =
3. • sin REC =
EC
2
EC
2
RC
• tan REC =
= 1.
RE
2
2
4. a. sin 45° =
b. cos 45° =
2
2
c. tan 45° = 1.
91 1. • Soit [AS], une génératrice du cône de
sommet S et de diamètre [AB].
Soit [OS], la hauteur de ce cône.
AO
Dans le triangle AOS rectangle en O : cos SAO =
,
AS
3
AO
=
, soit : AS = 6 cm.
d’où : AS =
cos
60°
cos SAO
• Dans le triangle AOS rectangle en O, on applique
le théorème de Pythagore : AS2 = AO2 + OS2, d’où :
OS2 = AS2 − AO2 = 62 − 32 = 27.
Or OS est un nombre positif, donc :
OS = 27 = 3 3 cm.
2. Contenance du verre lorsqu’il est rempli aux deux
1
2
tiers : = × Aire de la base × × hauteur.
3
3
1
2
= × π × 32 × × 3 3 = 6 π 3 ≈ 32,648 cm3.
3
3
92 1. a. Dans le triangle ISH rectangle en H :
tan SIH =
h
x
.
b. Dans le triangle OSH rectangle en H :
h
.
tan SOH =
x + 64
h
c. • tan SIH = , d’où : h = x × tan SIH.
x
• tan SOH =
h
x + 64
, d’où : h = (x + 64) × tan SOH
2. a. x × tan SIH = (x + 64) × tan SOH.
160
64 tan25°
,
tan34° − tan25°
64 tan25°
b. h = x × tan SIH =
× tan 34°.
tan34° − tan25°
Soit : h ≈ 96,7 m.
On obtient : x =
93 1. Dans le triangle ABH rectangle en H et dans
le triangle ABC rectangle en A :
BH BA
, d’où : BA 2 = BH × BC.
cos ABC =
=
BA BC
2. Dans le triangle ACH rectangle en H et dans le
triangle ABC rectangle en A :
CH CA
, d’où : CA 2 = CH × CB.
cos ACB =
=
CA CB
3. HAC = ABH = 90° − ACB.
HC
• Dans le triangle ACH rectangle en H : tan HAC =
.
AH
AH
• Dans le triangle ABH rectangle en H : tan ABH =
.
HB
Or HAC = ABH, donc : tan HAC = tan ABH,
HC AH
, soit : AH2 = HB × HC.
d’où :
=
AH HB
94 (sin B + cos B)2 − 2sin B × cos B
= sin2 B + cos2 B + 2 sin B × cos B − 2 sin B × cos B
= sin2 B + cos2 B = 1
95 1. • [AC] est la diagonale d’un carré de côté 6 cm,
donc : AC = 6 2 cm.
1
• O est le milieu de [AC], donc : AO = × 6 2 = 3 2 cm.
2
2. a. Le triangle SOA est rectangle en O.
b. Dans le triangle AOS rectangle en O :
AO 3 2
, d’où : ASO ≈ 23,0°.
tan ASO =
=
SO
10
96 • En utilisant la propriété : cos2 F + sin2 F = 1,
on obtient : sin2 F = 1 − cos2 F = 1 −
9
7
.
=
16 16
7
7
.
=
16
4
sin F
, on obtient :
• En utilisant la propriété : tan F =
cos F
sin F
,
tan F =
cos F
3
7
7
.
d’où : sin F = cos F × tan F = ×
=
4
3
4
Donc : sin F =
97 • cos2 A − sin2 A = (1 − sin2 A) − sin2 A
= 1 − 2 sin2 A
• cos2 A − sin2 A = cos2 A − (1 − cos2 A)
= 2 cos2 A − 1.
sin2 B
cos2 B
cos2 B sin2 B
1 + tan2 B =
+
cos2 B cos2 B
cos2 B + sin2 B
1 + tan2 B =
cos2 B
1
1 + tan2 B =
.
cos2 B
98 1 + tan2 B = 1 +
© Éditions Belin, 2012.
5. Dans le triangle ABH rectangle en H :
AH
3
BH 1
• cos ABH =
• sin ABH =
=
=
AB
2
AB 2
AH
• tan ABH =
= 3.
BH
6. Dans le triangle ABH rectangle en H :
BH 1
AH
3
=
• cos BAH =
• sin BAH =
=
AB
2
AB 2
BH
1
• tan BAH =
=
AH
3
3
1
7. a. sin 60° =
b. cos 60° =
2
2
1
d. sin 30° =
c. tan 60° = 3
2
3
1
f. tan 30° =
e. cos 30° =
2
3
⎛ 6 − 2⎞
4 ⎟⎠
⎝
2
99 cos2 15° = 1 − sin2 15° = 1 − ⎜
⎛ 6 + 2⎞
D’où : cos2 15° = ⎜
.
4 ⎟⎠
⎝
4. Vrai. En effet : 45° − A + 45° + A = 90°.
Les deux angles 45° − A et 45° + A sont complémentaires.
Or, si deux angles sont complémentaires, le sinus de
l’un est égal au cosinus de l’autre.
5. Vrai. En effet, on obtient un triangle rectangle
dont les longueurs des côtés sont 3,4 et 5.
6. Vrai. En effet, lorsque tan B = 1, les deux côtés
de l’angle droit du triangle rectangle sont de même
mesure, donc le triangle est isocèle en A.
6+ 2
sont positifs,
4
6+ 2
donc : cos 15° =
.
4
101 On utilise la propriété : Si deux angles sont
complémentaires, le sinus de l’un est égal au cosinus
de l’autre. D’où :
cos 30° + cos 45° + cos 60° = sin 60° + sin 45° + sin 30°.
6 + 2 − 2 12 8 + 2 12
.
=
16
16
⎛ 6 + 2⎞
Or : ⎜
4 ⎟⎠
⎝
2
=
6 + 2 + 2 12 8 + 2 12
=
16
16
2
Or : cos 15° et
Atelier découverte
Argumenter et débattre
100 1. Vrai. En effet, si deux angles sont
complémentaires, le sinus de l’un est égal au cosinus
de l’autre.
Donc : cos2 A + cos2 A = cos2 A + sin2 A = 1.
2. Vrai. En effet, tan A =
sin A
,
cos A
sin A
.
tan A
3. Faux. En effet : (cos E + sin E)2 = 1 + 2 sin E × cos E.
d’où : cos A =
102 1. Le triangle AOB est isocèle en O.
Les triangles AOH et BOH sont rectangles en H.
2. Dans le triangle AOH rectangle en H :
OH
AB
× tan x.
, d’où : OH = AH × tan x =
tan x =
AH
2
3. OH = 3,25 × tan 86°, soit : OH ≈ 46,5 cm.
4. OH = 1 m = 100 cm.
On obtient ainsi : 100 = 3,25 × tan x,
100
, soit : x ≈ 88°.
d’où : tan x =
3,25
Chapitre
12
Trigonométrie
161
© Éditions Belin, 2012.
= 1−