Matrices - Math France

Matrices
Définition des matrices
• Une matrice carrée de format n(ou de taille nou d’ordre nou de dimension n) est un tableau carré de nombres
réels à nlignes et ncolonnes.
Le coefficient ligne i,colonne jde la matrice carrée Aest souvent noté ai,j. Le numéro de ligne est écrit en premier
et le numéro de colonne en deuxième.
La diagonale principale de cette matrice est l’ensemble des coefficients, ligne 1, colonne 1et ligne 2, colonne 2...et
ligne n, colonne n. Les coefficients de la diagonale principale sont les coefficients diagonaux de la matrice carrée.
• Une matrice colonne (ou un vecteur colonne ou une colonne) de format nest un tableau de nombres réels à nlignes
et 1colonne. Une matrice ligne de format nest un tableau de nombres réels à 1ligne et ncolonnes.
Matrices particulières
La matrice carrée nulle est la matrice dont tous les coefficients sont nuls. Elle se note 0n.
La matrice identité est la matrice dont les coefficients diagonaux sont égaux à 1et les autres à 0. Elle se note In. Par
exemple, I3=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients non diagonaux sont nuls. Par exemple, la matrice
2 0 0
0 0 0
0 0 1
est une matrice diagonale.
Opération sur les matrices
SOMME. On peut additionner deux matrices carrées de même format ou deux vecteurs colonnes de même format.
Soient Aet Bdeux matrices carrées de même format n.
La somme A+Best la matrice carrée de format ndont le coefficient ligne i, colonne jest la somme des coefficients
ligne i, colonne j, de Aet de B. Par exemple
3−1
4 5 + −23 0 4 = 3−2−1+3 4+0 5 +4= 12 4 9 .
Définition analogue pour des vecteurs colonnes. Par exemple, −1
1+ 3 2= 2 3.
PRODUIT D’UNE MATRICE PAR UN RÉEL. On peut multiplier une matrice carrée ou une matrice colonne
par un réel. Soit Aune matrices carrée de format net λun réel.
Le produit λA est la matrice carrée de format ndont le coefficient ligne i, colonne jest le produit du coefficient ligne
i, colonne j, de Apar le réel λ. Par exemple,
−23−1
4 5 = −2×3−2×(−1) −2×4−2×5= −62 −8−10 .
Définition analogue pour des vecteurs colonnes. Par exemple, 3−1
1= −3 3.
PRODUIT DE MATRICES. On peut multiplier une ligne de format npar une colonne de même format, une
matrice carrée de format npar une colonne de format n, deux matrices carrées de même format n.
Produit d’une ligne de format npar une colonne de même format. Le produit de la ligne L=a1a2. . . an
par la colonne C=
b1
b2
⋮
bn
est le réel a1b1+a2b2+...+anbn. Par exemple,
−12× 4
−3=(−1)×4+2×(−3)=−10.
Le produit L×Cexiste mais le produit C×Ln’a pas de sens.
Produit d’une matrice carrée de format npar une colonne de même format. Le produit de la matrice
carrée A=
a1,1a1,2. . . a1,n
a1,1a1,2. . . a1,n
⋮ ⋮ ⋮
an,1an,2. . . an,n
par la colonnbe C=
b1
b2
⋮
bn
est la matrice colonne dont le coefficient ligne iest
le produit de la ligne ide Apar la colonne Cc’est-à-dire le réel ai,1b1+ai,2b2+...+ai,nbn. Par exemple,
−1 2
1 5 × 4
3= (−1)×4+2×3
1×4+5×3= 2
19 .
© Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr

Le produit A×Cexiste mais le produit C×An’a pas de sens.
Produit de deux matrices carrées de même format n.
Le produit A×Bde la matrice carrée A=
a1,1a1,2. . . a1,n
a1,1a1,2. . . a1,n
⋮ ⋮ ⋮
an,1an,2. . . an,n
par la matrice carrée B=
b1,1b1,2. . . b1,n
b1,1b1,2. . . b1,n
⋮ ⋮ ⋮
bn,1bn,2. . . bn,n
est la matrice carrée de format ndont le coefficient ligne i, colonne jest le produit de la ligne ide Apar la colonne j
de Bc’est-à-dire le nombre ai,1×b1,j +ai,2×b2,j +...+ai,n ×bn,j . Par exemple
3−1
4 5 × −23 04= 3×(−2)+(−1)×0 3 ×3+(−1)×4 4×(−2)+5×04×3+5×4= −6 5 −8 32 .
On peut constater que la colonne jde A×Best le produit de la matrice carrée Apar la colonne jde B.
Les deux produits A×Bet B×Aexistent mais on peut avoir A×B≠B×A.
Propriétés des opérations sur les matrices
L’addition des matrices carrées ou des matrices colonnes a toutes les propriétés de l’addition des nombres réels.
• Pour toutes matrices carrées Aet Bde même format, A+B=B+A.
Pour toutes matrices colonnes Xet X′,X+X′=X′+X.
• Pour toutes matrices carrées A,Bet Cde même format, (A+B)+C=A+(B+C). L’expression sans parenthèses
A+B+Ca donc un sens.
Pour toutes matrices colonnes X,X′et X′′ ,(X+X′)+X′′ =X+(X′+X′′ ).
• Pour toute matrice carrée Ade format n,A+0n=A.
Pour toute matrice colonne X,X+0=X.
• Pour toute matrice carrée Ade format n,A+(−A)=0n.
Pour toute matrice colonne X,X+(−X)=0.
La multiplication des matrices par un réel a aussi des propriétés agréables.
• Pour toute matrice carrée Aet tous réels λet µ,(λ+µ)A=λA +µA.
Pour toute matrice colonne Xet tous réels λet µ,(λ+µ)X=λX +µX.
• Pour toutes matrices carrées Aet Bet tout réel λ,λ(A+B)=λA +λB.
Pour toutes matrices colonnes Xet X′et tout réel λ,λ(X+X′)=λX +λX′.
La multiplication des matrices carrées de même format ou la multiplication des matrices carrées par des
matrices colonnes est moins agréable que la multiplcation des nombres. Son principal défaut est de ne pas être
commutative. Néanmoins,
• Pour toutes matrices carrées A,Bet Cde même format, (A×B)×C=A×(B×C).
Pour toutes matrices carrées Aet Bde format net toute matrice colonne Xde format n,(A×B)×X=A×(B×X).
• Pour toute matrice carrée A,A×In=In×A=A.
Pour toute matrice colonne X,In×X=X.
• Pour toutes matrices carrées A,Bet Cde même format, A×(B+C)=A×B+A×Cet (B+C)×A=B×A+C×A.
Pour toute matrice carrée Ade format net toutes matrices colonnes Xet X′de format n,A×(X+X′)=A×X+A×X′.
Pour toute matrices carrées Aet Bde format net toute matrice colonne Xde format n,(A+B)×X=A×X+B×X.
Inverse d’une matrice carrée inversible
Définition. Soit Aune matrice carrée de format n.Aest inversible si et seulement si il existe une matrice carrée B
de format ntelle que A×B=B×A=In.
Il existe des matrices carrées non inversibles.
Théorème. Soit Aune matrice carrée de format n. S’il existe une matrice carrée Bde format ntelle que A×B=In,
alors on a automatiquement B×A=In.
Théorème. Soit Aune matrice carrée de format n. S’il existe une matrice carrée Bde format ntelle que A×B=In,
alors Best unique.
Cette matrice s’appelle l’inverse de Aet se note A−1.
Puissances de matrices
Définition. Soit Aune matrice carrée de format n. On pose A0=In,A1=Aet pour n2,Ap=A×...×A
pfacteurs
.
Théorème. Soit Aune matrice carrée de format n.
• Pour tous entiers naturels pet q,Ap×Aq=Ap+q.
• Pour tous entiers naturels pet q,(Ap)q=Apq .
Danger. Si Aet Bsont deux matrice carrées de même format n, on peut avoir (AB)p≠ApBp.
Situation pratique fréquente. Soit Aune matrice carrée de format n. Il arrive qu’on puisse écrire la matrice A
sous la forme A=P×D×P−1où Pest une matrice carrée inversible et Dune matrice carrée diagonale. Dans ce cas,
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Ap=P×D×P−1×...×P×D×P−1
pfacteurs
=P DpP−1.
Dpse calcule facilement. Par exemple au format 2,a0
0bp= ap0 0bp.
Les dangers de la multiplication des matrices
Danger no1. La multiplication des matrices n’est pas commutative. On peut avoir A×B≠B×A. Par exemple,
1 0
0 0 × 0 1 0 0 = 0 1 0 0 et 0 1 0 0 × 1 0 0 0 = 0 0 0 0 .
Danger no2. Puisque la multiplication n’est pas commutative, on peut avoir (A+B)2≠A2+2AB +B2. La matrice
(A+B)2= (A+B)(A+B)est égale à A2+AB +BA +B2. Cette dernière matrice est égale à A2+2AB +B2si et
seulement si AB =BA ou encore si et seulement si les matrices carrées Aet Bcommutent.
Danger no3. On peut avoir B≠Cet A×B=A×Cou encore
A×B=A×C⇒B=C.
Ainsi, on ne peut pas simplifier une matrice pour la multiplication de part et d’autre d’une égalité.
Danger no4. On peut avoir A≠0n,B≠0net A×B=0n. Par exemple, 0 1
0 0 × 1 0 0 0 = 0 0 0 0 .
La phrase « un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul » est donc une phrase fausse.
Danger no5. On peut avoir (AB)2≠A2B2. Par définition, (AB)2=ABAB et A2B2=AABB. Si BA ≠AB, les
matrices (AB)2et A2B2peuvent être différentes.
Ecriture matricielle d’un système d’équations linéaires
Le système 3x−y=5
2x+y=1peut s’écrire matriciellement 3−1 2 1  x y= 5 1. De manière générale, un système de
néquations linéaires à ninconnues x1, ..., xnpeut s’écrire AX =Boù Aest une matrice carrée de format n,Best
un vecteur colonne de format net X=
x1
x2
⋮
xn
.
Théorème. Si la matrice carrée Aest inversible, alors le système AX =Badmet une solution et une seule à savoir
X=A−1B.
On dit dans ce cas que le système est un système de Cramer.
Généralités sur la récurrence Xn+1=AXn+B
Aest une matrice carrée de format pet Best un vecteur colonne de format p. On considère la suite (Xn)n∈Nde
vecteurs colonnes de format pdéfinie par son premier terme X0et la relation de récurrence
pour tout entier naturel n,Xn+1=AXn+B.
On dit que la suite (Xn)n∈Nconverge si et seulement si chacune des « suites coordonnées » de la suite (Xn)n∈Nconverge.
Théorème. Si la suite (Xn)n∈Nconverge, c’est vers un vecteur colonne Xvérifiant X=AX +B.
En cas de convergence vers X, le vecteur colonne Xest appelé état stable du système.
Théorème. Si la matrice carrée Ip−Aest inversible, il existe un vecteur colonne Xet un seul vérifiant X=AX +B
à savoir X=(Ip−A)−1B.
Si de plus B=0, on peut calculer Xnen fonction de n.
si pour tout entier naturel n,Xn+1=AXn, alors pour tout entier naturel n,Xn=AnX0.
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