Exercices pour MAT 1748

Exercices pour MAT 1748
Logique
(1) (a) Traduisez l’argument suivant en logique propositionnelle:
Les Maple Leafs seront contrari´es si les Canadiens ou les S´enateurs gagnent
la coupe. Pour que les Maple Leafs remplacent leur g´erant, il suffit qu’ils
soient contrari´es ou qu’ils fassent faillite. Les Maple Leafs garderont leur
g´erant seulement si ils font faillite. Les Maple Leafs ne sont pas contrari´es.
Donc ils remplaceront leur g´erant.
Utilisez les atomes suivants:
M:Les Canadiens gagnent la coupe.
O:Les S´enateurs gagnent la coupe.
C:Les Maple Leafs sont contrari´es.
F:Les Maple Leafs font faillite.
G:Les Maple Leafs remplacent leur g´erant.
Vous devez donner votre r´eponse sous forme d’argument.
(b) D´eterminez si l’argument est valide ou non. Si vous dites qu’il n’est pas valide, donnez
un contrexemple.
(2) Utilisez la m´ethode de l’arbre de v´erit´e pour trouver toutes les valuations de {A, B, C, D}qui
satisfont l’ensemble
E=A⇒(C∨D),(A∨D)∨B, ¬(D∨B).
Dites aussi si l’ensemble Eest satisfaisable ou non.
(3) L’argument (X∨ ¬X)⇒(Y∧ ¬Y)
X∧ ¬Xest-il valide ou invalide ?
(4) Supposons que les deux phrases suivantes sont vraies :
(1) J’aime Kita ou j’aime Gaston. (2) Si j’aime Kita alors j’aime Gaston.
Peut-on d´eduire que j’aime Kita ? Peut-on d´eduire que j’aime Gaston ?
Pour r´epondre, consid´erez les arguments
K∨G
K⇒G
K
et
K∨G
K⇒G
G
.
(5) Supposons que je suis un chevalier, et que quelqu’un me demande : Est-ce vrai que si vous
aimez Kita alors vous aimez Gaston ? Je r´eponds : Si c’est vrai, alors j’aime Kita. Peut-on
d´eduire que j’aime Kita ? Peut-on d´eduire que j’aime Gaston ?
1

2
(6) Supposons que je suis un chevalier ou un coquin, et que je prononce les deux phrases :
•J’aime Kita.
•Si j’aime Kita alors j’aime Gaston.
Suis-je chevalier ou coquin ?
(7) Vous rencontrez deux habitants de l’ˆıle, A et B, et A dit: Au moins un de nous deux est un
coquin. Quels sont les types de A et B?
(8) Vous rencontrez deux habitants de l’ˆıle, A et B, et A dit: Si je suis chevalier, alors mon ami
aussi est chevalier. Quels sont les types de A et B?
(9) Un habitant de l’ˆıle vous dit: Si je suis chevalier, alors je mangerai mon chapeau! Pouvez-
vous d´eterminer si cet habitant mangera son chapeau? Pouvez-vous d´eterminer le type de
cet habitant?
(10) Sur l’ˆıle des chevaliers et des coquins, un proc`es a lieu. Voici les t´emoignages de l’accus´e B
et de son avocat A:
A: Mon client est un coquin mais il est innocent.
B: Mon avocat est un chevalier.
Pouvez-vous d´eterminer les types de A et B? Pouvez-vous d´ecider si B est innocent ou
coupable? (Remarque : dans la phrase prononc´ee par A, le mot “mais” peut ˆetre remplac´e
par “et”.)
M´ethodes de preuves
(11) Soit a∈R. Montrez que si 0 <a<1 alors a2< a. (Suggestion : preuve directe).
(12) Soit a∈R. Montrez que si a5est irrationnel, alors aest irrationnel. (Suggestion : preuve
indirecte).
(13) Soient a, b ∈Z. Montrez que si ab est pair, alors au moins un des entiers a, b est pair.
(Suggestion : preuve indirecte).
(14) Si x, y ∈R, on d´efinit
min(x, y) = (xsi x≤y,
ysi x > y;max(x, y) = (ysi x≤y, xsi x > y.

3
Faites une preuve par s´eparation des cas pour montrer que min(x, y) + max(x, y) = x+y.
(15) Soient a<bdes nombres rationnels. Montrez qu’il existe une infinit´e de nombres rationnels
xsatisfaisant a<x<b. (Suggestion : preuve par contradiction.)
(16) Soit n∈Z. Montrez que n5+ 7 est pair si et seulement si nest impair. Suggestion : faites
une preuve directe de “nimpair ⇒n5+ 7 pair”, et une preuve indirecte de “n5+ 7 pair ⇒
nimpair”.
(17) Sur l’ˆıle des chevaliers et des coquins, les habitants A et B ont dit:
A: Au moins un de nous deux est un coquin, et cette ˆıle est l’ˆıle de Maya.
B: Ce qu’a dit A est vrai.
(a) Prouvez que A est coquin, au moyen d’une preuve par contradiction.
(b) Pouvez-vous dire si cette ˆıle est l’ˆıle de Maya? Pouvez-vous d´eterminer le type de B?
(18) Sur l’ˆıle des chevaliers et des coquins, les habitants A et B ont dit:
A: Au moins un de nous deux est un coquin, ou cette ˆıle est l’ˆıle de Maya.
B: Ce qu’a dit A est vrai.
(a) Prouvez que A est chevalier, au moyen d’une preuve par contradiction.
(b) Pouvez-vous dire si cette ˆıle est l’ˆıle de Maya? Pouvez-vous d´eterminer le type de B?
(19) Sur l’ˆıle des chevaliers et des coquins, les habitants A et B ont dit:
A: Si je suis chevalier, alors B est coquin ou cette ˆıle est l’ˆıle de Maya.
B: Si je suis coquin alors A est chevalier ou cette ˆıle est l’ˆıle de Maya.
(a) Prouvez que A est chevalier, au moyen d’une preuve par contradiction.
(b) D´eterminez le type de B. Pouvez-vous dire si cette ˆıle est l’ˆıle de Maya?
Preuves par induction
(20) Montrer que pour tout entier n≥1
12+ 22+. . . +n2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6.
(21) Soit h > −1 un nombre r´eel. Montrer l’in´egalit´e de Bernoulli: 1 + nh ≤(1 + h)npour tout
entier n≥0.
(22) Montrer que pour tout entier impair n≥1, n2−1 est divisible par 8.

4
(23) Montrer que pour tout entier n≥1, 4n+1 + 52n−1est divisible par 21.
(24) Pour quelles valeurs de l’entier n≥0 a-t-on 2n> n3? Justifier votre r´eponse.
(25) Consid´erer la suite num´erique d´efinie r´ecursivement:
f0= 1, f1= 1,et fn=fn−1+fn−2∀n≥2.
Montrer que fn>1+√5
2n−2∀n≥3.
(26) Montrer que n2≥2n+ 3 ∀n≥3.
(27) Montrer que 7n−2nest divisible par 5 ∀n≥0.
(28) Montrer que pour tout entier n≥1
13+ 23+. . . +n3=n2(n+ 1)2
4.
(29) Montrer que pour tout entier n≥1
1.1! + 2.2! + . . . +n.n!=(n+ 1)! −1.
(30) Consid´erer la suite num´erique d´efinie r´ecursivement:
a0= 2, a1= 1,et an=an−1+ 2an∀n≥2.
Montrer que an= 2n+ (−1)n∀n≥0.
(31) Consid´erer la suite num´erique d´efinie r´ecursivement:
an=(2 si nest impair
a(n
2)2si nest pair
(1) Donner les valeurs des termes a1, . . . , a8de la suite.
(2) Utiliser le principe d’induction pour montrer que an≤2n∀n≥1.
(32) Montrer que chaque entier n≥2 est le produit de (un ou plusieurs) nombres premiers (un
entier p≥2 est dit premier si les seuls diviseurs de psont 1 et p).
(33) Montrer que Pn
i=1(3i2−i) = n2(n+ 1) pour tout entier n≥1.

5
Ensembles
Rappel : Si Aet Bsont des ensembles, on d´efinit l’ensemble A4Bpar :
A4B= (A\B)∪(B\A).
L’ensemble A4Best appel´e la diff´erence sym´etrique de Aet B. Remarquez qu’on a aussi
A4B= (A∪B)\(A∩B).
(34) Soient A={1,2,3,4,5}et B={1,3,4,6,9}. Trouvez
(1) A∩B(2) A∪B(3) A\B(4) B\A(5) A4B(6) (A4B)∩A(7) (A4B)∪B
(35) Soit A={∅,{∅},{∅,{∅}}}.
Pour chacun des ´enonc´es suivants, d´ecider s’il est vrai ou faux.
(a)∅⊆A(b)∅∈A(c){∅} ∈ A(d){∅} ⊆ A
(e){∅,{∅}} ∈ A(f){{∅,{∅}}} ∈ A(g){{∅}} ∈ A(h){{∅}} ⊆ A
(i){{∅},{∅,{∅}}} ⊆ A(j){∅,{∅},{{{∅}}}} ⊆ A(k){∅,{{∅}}} ∈ P(A) (l){{{{∅}}}} ⊆ P(A)
(36) Pour chacun des ensembles Xsuivants, trouvez ℘(X) et |X|:
(1) X={a, b, {a, b}} (2) X={∅,{∅}}
(37) Soient A,Bet Cdes sous-ensembles d’un ensemble U. Pour tout sous-ensemble Xde U, on
´ecrit X=U\X. Utlilisez les propri´et´es des op´erations sur les ensembles pour montrer que
(a) (A\B)∩B= (A\B).
(b) (A\B)∩C= (C∩A)∪(C∩B)
(c) (A\B)\C= (A\C)\(B\C)
(d) A∩(B\A) = ∅
(e) (B∪C)\A= (B\A)∪(C\A)
(38) Montrer que A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)
(39) Comme d’habitude, si a, b sont deux nombres r´eels alors [a, b] = {x∈R|a≤x≤b}et
(a, b] = {x∈R|a<x≤b}. Trouver les ensembles suivants
(1) [−3,6] ∩(−2,7] (2) (−5,7] ∩Z
(40) Montrer qu’on ne peut pas trouver deux sous-ensembles Aet Bde Ntels que A×B=
{(0,0),(1,1)}.