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Ensembles
Rappel : Si Aet Bsont des ensembles, on d´efinit l’ensemble A4Bpar :
A4B= (A\B)∪(B\A).
L’ensemble A4Best appel´e la diff´erence sym´etrique de Aet B. Remarquez qu’on a aussi
A4B= (A∪B)\(A∩B).
(34) Soient A={1,2,3,4,5}et B={1,3,4,6,9}. Trouvez
(1) A∩B(2) A∪B(3) A\B(4) B\A(5) A4B(6) (A4B)∩A(7) (A4B)∪B
(35) Soit A={∅,{∅},{∅,{∅}}}.
Pour chacun des ´enonc´es suivants, d´ecider s’il est vrai ou faux.
(a)∅⊆A(b)∅∈A(c){∅} ∈ A(d){∅} ⊆ A
(e){∅,{∅}} ∈ A(f){{∅,{∅}}} ∈ A(g){{∅}} ∈ A(h){{∅}} ⊆ A
(i){{∅},{∅,{∅}}} ⊆ A(j){∅,{∅},{{{∅}}}} ⊆ A(k){∅,{{∅}}} ∈ P(A) (l){{{{∅}}}} ⊆ P(A)
(36) Pour chacun des ensembles Xsuivants, trouvez ℘(X) et |X|:
(1) X={a, b, {a, b}} (2) X={∅,{∅}}
(37) Soient A,Bet Cdes sous-ensembles d’un ensemble U. Pour tout sous-ensemble Xde U, on
´ecrit X=U\X. Utlilisez les propri´et´es des op´erations sur les ensembles pour montrer que
(a) (A\B)∩B= (A\B).
(b) (A\B)∩C= (C∩A)∪(C∩B)
(c) (A\B)\C= (A\C)\(B\C)
(d) A∩(B\A) = ∅
(e) (B∪C)\A= (B\A)∪(C\A)
(38) Montrer que A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)
(39) Comme d’habitude, si a, b sont deux nombres r´eels alors [a, b] = {x∈R|a≤x≤b}et
(a, b] = {x∈R|a<x≤b}. Trouver les ensembles suivants
(1) [−3,6] ∩(−2,7] (2) (−5,7] ∩Z
(40) Montrer qu’on ne peut pas trouver deux sous-ensembles Aet Bde Ntels que A×B=
{(0,0),(1,1)}.