Exercices pour MAT 1748
Logique
(1) (a) Traduisez l’argument suivant en logique propositionnelle:
Les Maple Leafs seront contrari´es si les Canadiens ou les S´enateurs gagnent
la coupe. Pour que les Maple Leafs remplacent leur g´erant, il suffit qu’ils
soient contrari´es ou qu’ils fassent faillite. Les Maple Leafs garderont leur
g´erant seulement si ils font faillite. Les Maple Leafs ne sont pas contrari´es.
Donc ils remplaceront leur g´erant.
Utilisez les atomes suivants:
M:Les Canadiens gagnent la coupe.
O:Les S´enateurs gagnent la coupe.
C:Les Maple Leafs sont contrari´es.
F:Les Maple Leafs font faillite.
G:Les Maple Leafs remplacent leur g´erant.
Vous devez donner votre r´eponse sous forme d’argument.
(b) D´eterminez si l’argument est valide ou non. Si vous dites qu’il n’est pas valide, donnez
un contrexemple.
(2) Utilisez la m´ethode de l’arbre de v´erit´e pour trouver toutes les valuations de {A, B, C, D}qui
satisfont l’ensemble
E=A(CD),(AD)B, ¬(DB).
Dites aussi si l’ensemble Eest satisfaisable ou non.
(3) L’argument (X∨ ¬X)(Y∧ ¬Y)
X∧ ¬Xest-il valide ou invalide ?
(4) Supposons que les deux phrases suivantes sont vraies :
(1) J’aime Kita ou j’aime Gaston. (2) Si j’aime Kita alors j’aime Gaston.
Peut-on d´eduire que j’aime Kita ? Peut-on d´eduire que j’aime Gaston ?
Pour r´epondre, consid´erez les arguments
KG
KG
K
et
KG
KG
G
.
(5) Supposons que je suis un chevalier, et que quelqu’un me demande : Est-ce vrai que si vous
aimez Kita alors vous aimez Gaston ? Je r´eponds : Si c’est vrai, alors j’aime Kita. Peut-on
d´eduire que j’aime Kita ? Peut-on d´eduire que j’aime Gaston ?
1
2
(6) Supposons que je suis un chevalier ou un coquin, et que je prononce les deux phrases :
J’aime Kita.
Si j’aime Kita alors j’aime Gaston.
Suis-je chevalier ou coquin ?
(7) Vous rencontrez deux habitants de l’ˆıle, A et B, et A dit: Au moins un de nous deux est un
coquin. Quels sont les types de A et B?
(8) Vous rencontrez deux habitants de l’ˆıle, A et B, et A dit: Si je suis chevalier, alors mon ami
aussi est chevalier. Quels sont les types de A et B?
(9) Un habitant de l’ˆıle vous dit: Si je suis chevalier, alors je mangerai mon chapeau! Pouvez-
vous d´eterminer si cet habitant mangera son chapeau? Pouvez-vous d´eterminer le type de
cet habitant?
(10) Sur l’ˆıle des chevaliers et des coquins, un proc`es a lieu. Voici les t´emoignages de l’accus´e B
et de son avocat A:
A: Mon client est un coquin mais il est innocent.
B: Mon avocat est un chevalier.
Pouvez-vous d´eterminer les types de A et B? Pouvez-vous d´ecider si B est innocent ou
coupable? (Remarque : dans la phrase prononc´ee par A, le mot “mais” peut ˆetre remplac´e
par “et”.)
M´ethodes de preuves
(11) Soit aR. Montrez que si 0 <a<1 alors a2< a. (Suggestion : preuve directe).
(12) Soit aR. Montrez que si a5est irrationnel, alors aest irrationnel. (Suggestion : preuve
indirecte).
(13) Soient a, b Z. Montrez que si ab est pair, alors au moins un des entiers a, b est pair.
(Suggestion : preuve indirecte).
(14) Si x, y R, on d´efinit
min(x, y) = (xsi xy,
ysi x > y;max(x, y) = (ysi xy,
xsi x > y.
3
Faites une preuve par s´eparation des cas pour montrer que min(x, y) + max(x, y) = x+y.
(15) Soient a<bdes nombres rationnels. Montrez qu’il existe une infinit´e de nombres rationnels
xsatisfaisant a<x<b. (Suggestion : preuve par contradiction.)
(16) Soit nZ. Montrez que n5+ 7 est pair si et seulement si nest impair. Suggestion : faites
une preuve directe de “nimpair n5+ 7 pair”, et une preuve indirecte de “n5+ 7 pair
nimpair”.
(17) Sur l’ˆıle des chevaliers et des coquins, les habitants A et B ont dit:
A: Au moins un de nous deux est un coquin, et cette ˆıle est l’ˆıle de Maya.
B: Ce qu’a dit A est vrai.
(a) Prouvez que A est coquin, au moyen d’une preuve par contradiction.
(b) Pouvez-vous dire si cette ˆıle est l’ˆıle de Maya? Pouvez-vous d´eterminer le type de B?
(18) Sur l’ˆıle des chevaliers et des coquins, les habitants A et B ont dit:
A: Au moins un de nous deux est un coquin, ou cette ˆıle est l’ˆıle de Maya.
B: Ce qu’a dit A est vrai.
(a) Prouvez que A est chevalier, au moyen d’une preuve par contradiction.
(b) Pouvez-vous dire si cette ˆıle est l’ˆıle de Maya? Pouvez-vous d´eterminer le type de B?
(19) Sur l’ˆıle des chevaliers et des coquins, les habitants A et B ont dit:
A: Si je suis chevalier, alors B est coquin ou cette ˆıle est l’ˆıle de Maya.
B: Si je suis coquin alors A est chevalier ou cette ˆıle est l’ˆıle de Maya.
(a) Prouvez que A est chevalier, au moyen d’une preuve par contradiction.
(b) D´eterminez le type de B. Pouvez-vous dire si cette ˆıle est l’ˆıle de Maya?
Preuves par induction
(20) Montrer que pour tout entier n1
12+ 22+. . . +n2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6.
(21) Soit h > 1 un nombre r´eel. Montrer l’in´egalit´e de Bernoulli: 1 + nh (1 + h)npour tout
entier n0.
(22) Montrer que pour tout entier impair n1, n21 est divisible par 8.
4
(23) Montrer que pour tout entier n1, 4n+1 + 52n1est divisible par 21.
(24) Pour quelles valeurs de l’entier n0 a-t-on 2n> n3? Justifier votre r´eponse.
(25) Consid´erer la suite num´erique d´efinie r´ecursivement:
f0= 1, f1= 1,et fn=fn1+fn2n2.
Montrer que fn>1+5
2n2n3.
(26) Montrer que n22n+ 3 n3.
(27) Montrer que 7n2nest divisible par 5 n0.
(28) Montrer que pour tout entier n1
13+ 23+. . . +n3=n2(n+ 1)2
4.
(29) Montrer que pour tout entier n1
1.1! + 2.2! + . . . +n.n!=(n+ 1)! 1.
(30) Consid´erer la suite num´erique d´efinie r´ecursivement:
a0= 2, a1= 1,et an=an1+ 2ann2.
Montrer que an= 2n+ (1)nn0.
(31) Consid´erer la suite num´erique d´efinie r´ecursivement:
an=(2 si nest impair
a(n
2)2si nest pair
(1) Donner les valeurs des termes a1, . . . , a8de la suite.
(2) Utiliser le principe d’induction pour montrer que an2nn1.
(32) Montrer que chaque entier n2 est le produit de (un ou plusieurs) nombres premiers (un
entier p2 est dit premier si les seuls diviseurs de psont 1 et p).
(33) Montrer que Pn
i=1(3i2i) = n2(n+ 1) pour tout entier n1.
5
Ensembles
Rappel : Si Aet Bsont des ensembles, on d´efinit l’ensemble A4Bpar :
A4B= (A\B)(B\A).
L’ensemble A4Best appel´e la diff´erence sym´etrique de Aet B. Remarquez qu’on a aussi
A4B= (AB)\(AB).
(34) Soient A={1,2,3,4,5}et B={1,3,4,6,9}. Trouvez
(1) AB(2) AB(3) A\B(4) B\A(5) A4B(6) (A4B)A(7) (A4B)B
(35) Soit A={,{},{,{}}}.
Pour chacun des ´enonc´es suivants, d´ecider s’il est vrai ou faux.
(a)A(b)A(c){} ∈ A(d){} ⊆ A
(e){,{}} ∈ A(f){{,{}}} ∈ A(g){{}} ∈ A(h){{}} ⊆ A
(i){{},{,{}}} ⊆ A(j){,{},{{{}}}} ⊆ A(k){,{{}}} ∈ P(A) (l){{{{}}}} ⊆ P(A)
(36) Pour chacun des ensembles Xsuivants, trouvez (X) et |X|:
(1) X={a, b, {a, b}} (2) X={,{}}
(37) Soient A,Bet Cdes sous-ensembles d’un ensemble U. Pour tout sous-ensemble Xde U, on
´ecrit X=U\X. Utlilisez les propri´et´es des op´erations sur les ensembles pour montrer que
(a) (A\B)B= (A\B).
(b) (A\B)C= (CA)(CB)
(c) (A\B)\C= (A\C)\(B\C)
(d) A(B\A) =
(e) (BC)\A= (B\A)(C\A)
(38) Montrer que A×(BC)=(A×B)(A×C)
(39) Comme d’habitude, si a, b sont deux nombres r´eels alors [a, b] = {xR|axb}et
(a, b] = {xR|a<xb}. Trouver les ensembles suivants
(1) [3,6] (2,7] (2) (5,7] Z
(40) Montrer qu’on ne peut pas trouver deux sous-ensembles Aet Bde Ntels que A×B=
{(0,0),(1,1)}.
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