COMPLEMENTS DE CALCUL DIFFERENTIEL DIVERGENCE

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© 2004 - Gérard Lavau - http://perso.wanadoo.fr/lavau/index.htm
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COMPLEMENTS DE CALCUL DIFFERENTIEL
DIVERGENCE, GRADIENT, ROTATIONNEL
Plan
I : Préambule
II : Formule de Green-Riemann
III : Formule de Green–Ostrogradski
IV : Formule de Stokes
V : Les équations de Maxwell
VI : Changement de repères et de variables
I : Préambule
Toutes les fonctions sont supposées C1 dans un ouvert de 2 ou 3. Toutes les formules qui suivent
sont bâties sur le même schéma qu'on peut symboliser sous la forme :
⌡
⌠
δD
ω = ⌡
⌠
D
dω
où D est une domaine de dimension n, δD son bord de dimension n–1. Ainsi :
pour n = 3, D est un volume et δD la surface limitant ce volume.
Pour n = 2, D est une surface et δD la courbe limitant cette surface, éventuellement vide si la
surface se referme.
Pour n = 1, D est une courbe et δD les deux extrémités de cette courbe, identiques si la
courbe est fermée. La dimension d'une domaine est le nombre de paramètres nécessaires pour la
décrire.
ω est une forme différentielle de degré n–1 et dω la forme différentielle de degré n, différentielle de
ω. Le degré d'une forme différentielle est le nombre d'éléments différentiels intervenant dans sa
définition (Ce vocabulaire sera éclairé, nous l'espérons, par les exemple qui suivent).
Pour n = 1, D est par exemple un segment [a, b] (de dimension 1) et δD = {a, b} (de dimension
nulle), ω = f(x) (forme différentielle de degré 0) et dω = f '(x) dx (forme différentielle de degré 1). La
formule citée ci-dessus exprime simplement que :
f(b) – f(a) = ⌡
⌠
a
bf '(x) dx
Plus généralement, et toujours pour n = 1, mais dans 2 ou 3,
D est un chemin Γ reliant les points A à B (variété de dimension 1)
δD = {A, B} (de dimension nulle)
ω = f(M) fonction de plusieurs variables (forme différentielle de degré 0) et

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dω = ∂f
∂x dx + ∂f ∂y dy + ∂f ∂z dz = gradf.dM (forme différentielle de degré 1)
La formule énoncée s'exprime ici sous la forme :
f(B) – f(A) = ⌡
⌠
Γ
gradf.dM
En effet, ⌡
⌠
Γ
gradf.dM = ⌡
⌠
Γ
∂f
∂x dx + ∂f ∂y dy + ∂f ∂z dz et si un paramétrage de Γ est donné par
(x(t), y(t), z(t)), pour t variant de a à b, alors l'intégrale ci-dessus se calcule de la façon suivante :
⌡
⌠
Γ
∂f
∂x dx + ∂f ∂y dy + ∂f ∂z dz = ⌡
⌠
a
b ∂f
∂x(x(t),y(t),z(t)) x'(t) + ∂f ∂y(x(t),y(t),z(t)) y'(t) + ∂f ∂z(x(t),y(t),z(t)) z'(t) dt
= ⌡
⌠
a
b d
dtf(x(t),y(t),z(t)) dt
= f(x(b),y(b),z(b)) – f(x(a),y(a),z(a)) = f(B) – f(A)
En particulier, si Γ est fermé, l'intégrale est nulle.
II : Formule de Green–Riemann (n = 2 dans le plan)
On a ici :
D est un domaine Σ du plan (convexe pour simplifier), variété de dimension 2.
δD = Γ est un arc fermé de classe C1 par morceaux, sans point double, entourant le domaine
∑ = D, orienté dans le sens trigonométrique, variété de dimension 1.
ω = Pdx + Qdy est une forme différentielle de classe C1 de degré 1
dω = ∂Q
∂x – ∂P ∂y dxdy, forme différentielle de degré 2.
Alors :
⌡
⌠
Γ
P dx + Q dy = ⌡
⌠
⌡
⌠
∑
∂Q
∂x – ∂P ∂y dxdy
Comme expliqué en I, la première intégrale se calcule en prenant un paramétrage de Γ. On retrouve
le fait que, si ω est exacte, alors son intégrale sur un chemin fermé est nulle. (ω est exacte s'il existe f
telle que P = ∂f
∂x et Q = ∂f ∂y). L'intégrale de gauche n'est autre que ⌡
⌠
Γ
gradf.dM, nulle si Γ est fermé.
Une condition nécessaire pour que ω soit exacte est que ∂Q
∂x = ∂2f ∂x∂y = ∂2f ∂y∂x = ∂P ∂y pour f de classe C2
et la deuxième intégrale est également nulle.
EXEMPLE : Soit A (1,0) et B( 12,12). Soit Γ formé du segment [OA], de l'arc de cercle AB de
centre O, et du segment [BO]. On paramétrise [OA] par (x,0), 0 ≤ x ≤ 1, AB par (cosθ, sinθ),
0 ≤ θ ≤ π
4 et [BO] par (t,t), t variant de 12 à 0
⌡
⌠
Γ
y2dx + x2dy = ⌡
⌠
0
π/4–sin3θ + cos3θ dθ – ⌡
⌠
0
1
2 2t2 dt = 2( 2–1)
3

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Par ailleurs :
⌡
⌠
⌡
⌠
∑
2x – 2y dxdy = ⌡
⌠
⌡
⌠
D
2(cosθ–sinθ) r2drdθ = 2( 2–1)
3
où D = {(r,θ) | 0 ≤ θ ≤ π
4 et 0 ≤ r ≤ 1}.
On peut donner la justification suivante de la formule. Supposons pour simplifier que Σ puisse
d'écrire : Σ = {(x,y) | f(x) ≤ y ≤ g(x), a ≤ x ≤ b}.
On a :
⌡
⌠
⌡
⌠
∑
∂P
∂y dxdy = ⌡
⌠
x=a
x=b ⌡
⌠
y=f(x)
y=g(x)∂P
∂y dy dx = ⌡
⌠
a
b P(x,g(x)) – P(x,f(x)) dx
On reconnaît ⌡
⌠
Γ
– P(x,y) dx
On montre de même que ⌡
⌠
⌡
⌠
∑
∂Q
∂x dxdy = ⌡
⌠
Γ
Q(x,y) dy
On en déduit par exemple que l'aire de ∑ vaut :
⌡
⌠
⌡
⌠
∑
dxdy = ⌡
⌠
Γ
x dy = – ⌡
⌠
Γ
y dx = 1
2 ⌡
⌠
Γ
xdy – ydx
La dernière formule peut s'interpréter géométriquement comme la somme d'aires de triangles
infinitésimaux de côtés (x,y) et (dx,dy). Ainsi, en thermodynamique, le cycle d'une machine thermique
est représenté avec les coordonnées (V,P) au lieu de (x,y). Le travail reçu est égal à l'intégrale de –
PdV. Il s'agit de l'aire englobée par le cycle si le parcourt se fait dans le sens trigonométrique. Pour
fournir du travail, le chemin devra être parcourue dans le sens inverse au sens trigonométrique.
On prendra garde au fait que la forme différentielle doit être définie non seulement sur Γ mais sur Σ
tout entier. Considérer par exemple l'exemple suivant :
ω = xdy – ydx
x2+y2
avec Γ le cercle unité. Alors :
Q = x
x2+y2 ⇒ ∂Q
∂x = 1
x2+y2 – 2x2 (x2+y2)2 = y2–x2 (x2+y2)2
P = – y
x2+y2 ⇒ ∂P
∂y = ∂Q ∂x
ω est localement exacte, mais pas globalement. On n'a pas :
⌡
⌠
Γ
P dx + Q dy = ⌡
⌠
⌡
⌠
∑
∂Q
∂x – ∂P ∂y dxdy = 0
car ω n'est pas définie en (0,0). En fait, l'intégrale curviligne vaut 2π. Cependant la formule serait
valable si Γ était un arc limitant un domaine ∑ ne contenant pas (0,0). Dans ce cas, l'intégrale est
nulle.

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La formule de Green-Riemann possède deux extensions possibles en dimension 3, la formule de
Green-Ostrogradski, et la formule de Stokes.
III : Formule de Green–Ostrogradski (n = 3 dans l'espace)
On a ici :
D est un volume V de 3, variété de dimension 3
δD est la surface ∑ limitant ce volume, variété de dimension 2
ω = F. dS, produit scalaire d'un champ de vecteurs F de composantes (fx, fy, fz) par l'élément
de surface dS. Si ∑ est paramétré par (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), alors dS est le produit vectoriel de
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u
du par
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
dv (ou son opposé, de façon que dS soit dirigé vers l'extérieur de S). ω est
donc une forme différentielle de degré 2.
dω = div(F) = ∂fx
∂x + ∂fy ∂y + ∂fz ∂z (divergence de F), forme différentielle de degré 3 (on a omis
d'écrire l'élément différentiel dxdydz, mais il apparaît dans la formule ci-dessous).
Le flux d'un champ de vecteur à travers une surface fermée ∑ est égale à l'intégrale de la divergence
de ce champ sur le volume limité par la surface.
⌡
⌠
⌡
⌠
∑
F.dS = ⌡
⌠⌡
⌠⌡
⌠
V
div(F) dxdydz
On écrit encore ⌡
⌠
⌡
⌠
∑
F.dS = ⌡
⌠
⌡
⌠
∑
F.n dS où n est le vecteur unitaire normal à la surface, dirigé vers
l'extérieur. L'équivalent de cette formule dans le plan serait ⌡
⌠Γ
F.n ds = ⌡
⌠
⌡
⌠
∑
div(F) dxdy
où s est l'abscisse curviligne (dans le sens trigonométrique) d'une courbe Γ fermée entourant une
surface ∑. Si on prend pour F le champ de vecteur 
Q
–P , on retrouve la formule de Green-Riemann.
En effet, le vecteur tangent t à la courbe Γ paramétrée par (x(s),y(s)) est 
x'
y' et le vecteur normal n
extérieur à ∑ est 
y'
–x'. (Il est tel que (t, n) est indirect). On obtient alors :
⌡
⌠
Γ
P dx + Q dy = ⌡
⌠
⌡
⌠
∑
∂Q
∂x – ∂P ∂y dxdy

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Revenons à la formule en dimension 3. Un cas important est celui où F est égal à un rotationnel de U
= 
P
Q
R, c'est-à-dire de la forme
∂R
∂y – ∂Q ∂z
∂R
∂y – ∂Q ∂z
∂Q
∂x – ∂P ∂y
car il est facile de vérifier que div(Rot(U)) = 0. Le
premier membre est alors nul. Le flux de F à travers une surface fermée est ainsi nul. On dit que le
champ est à flux conservatif. La divergence mesure la dispersion du champ de vecteur F.
Voici une justification de cette formule. Supposons pour simplifier que le volume V puisse être défini
par {(x,y,z) | g(x,y) ≤ z ≤ h(x,y)}. Considérons l'intégrale triple :
⌡
⌠⌡
⌠⌡
⌠
V
∂fz
∂z dxdydz = ⌡
⌠
⌡
⌠
⌡
⌠
g(x,y)
h(x,y)∂fz
∂z dz dxdy
= ⌡
⌠
⌡
⌠
fz(x,y,h(x,y)) – fz(x,y,g(x,y)) dxdy
= ⌡
⌠
⌡
⌠
∑
fz(x,y,z) k.dS
puisque dS = 
1
0
∂h
∂x
dx ∧ 
0
1
∂h
∂y
dy = 
– ∂h
∂x
∂h
∂y
1
dxdy pour la partie supérieure de V et dxdy = k.dS
et dS = – 
1
0
∂g
∂x
dx ∧ 
0
1
∂g
∂y
dy = 
∂g
∂x
– ∂g
∂y
–1
dxdy pour la partie inférieure avec –dxdy = k.dS.
On montre de même que :
⌡
⌠⌡
⌠⌡
⌠
V
∂fx
∂x dxdydz = ⌡
⌠
⌡
⌠
∑
fx(x,y,z) i.dS
⌡
⌠⌡
⌠⌡
⌠
V
∂fy
∂y dxdydz = ⌡
⌠
⌡
⌠
∑
fx(x,y,z) j.dS
ce qui conduit à la relation cherchée.
EXEMPLE 1 : Si F n'est autre que 
x
y
z, alors div(F) = 3 et la formule d'Ostrogradski donne :
⌡
⌠
⌡
⌠
∑
F.dS = 3⌡
⌠⌡
⌠⌡
⌠
V
dxdydz = 3V
Dans le cas particulier d'une sphère de centre O de rayon R, F.dS = RdS de sorte que :
⌡
⌠
⌡
⌠
∑
F.dS = R⌡
⌠
⌡
⌠
∑
dS = RS