L`application des demi-groupes à l`étude des matrices

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
Š TEFAN S CHWARZ
L’application des demi-groupes à l’étude des matrices non-négatives
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 20, no 1 (1966-1967), exp. no 2,
p. 1-8
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2-01
Séminaire DUBREIL-PISOT
(Algèbre et Théorie des nombres)
20e année, 1966/67, n° 2
21 novembre
1966
L’APPLICATION DES DEMI-GROUPES A L’ÉTUDE DES MATRICES NON-NÉGATIVES
par 0160tefan SCHWARZ
Soit
A
une
matrice carrée
non--négative, c’est-à-dire,
une
matrice dont tous les
éléments sont non-négatifs.
La théorie
classique de
la localisation et la
tre,
Si l’on observe
trice
A
multiplicité
la
des
situation,
problème
voulez,
que
nous
finis,
on
peut
voir
qu’il
y
a
allons traiter ici est
les
en
relation étroite
avec
avec une
puissances
binaires).
sont du
type suivant :
répétition périodique.
Mais si l’on calcule les
puissances
ma-
la théorie
chaînes de Markov et la théorie des graphes finis
les relations
voit que les
des résultats
puissances
Je commencerai par donner deux exemples. En considérant la matrice
on
le spec-
de la distribution des zéros et des non-zéros dans la
et dans les termes de la suite des
des automates
vous
polynôme caractéristique,
racines caractéristiques.
matrices étudie le
soigneusement
qui dépendent seulement
Le
ces
de la matrice
(ou,
si
règles générales
notre but est de trouver des
Essentiellement,
concernant la dis-
(1).
tribution des zéros et des non-zéros dans la suite
j’ai développé pendant les trois dernières années une méthode générale qui utilise la théorie des demi-groupes. Ce sont les principes et quelques-uns
des résultats que nous allons donner ici sans démonstrations, et je me bornerai aux
A cette fin
résultats que j’ai trouvés
S(n)
S =
0
les
ayant
multiplication,
S
S
Désignons
des nombres naturels.
CA
gnons par
lesquels
exemple,
Si
A,
B
multiplication
par
un
devient
A
n
une
le
non-zéros idempotents
matrice carrée à
S
n
CA
lignes et
~0~
le
n
un
rapport à
élément zéro.
... ,
colonnes. Nous dési-
et tous les éléments
support
cette
de la matrice
e..
A.
de
sont deux matrices carrées d’ordre
où le produit à droite est le
C~ ~
e ,
contenant
0 . Nous appellerons
support
Par
multiplicatif.
demi-groupe simple fini contenant
le sous-ensemble de
>
façon suivante :
de la
S
a..
Par
une
ordinaires d’un zéro
Soit maintenant
groupe
n)
propriétés
contient exactement
pour
... ,
l’ensemble des symboles
Nous définissons dans
et
moyen de cette méthode.
l’ensemble fl, 2 ,
N
Soit
au
n,
produit
on
vérifie aisément que
de deux sous-ensembles du demi-
S .
Désignons par 6 le demi-groupe des parties de S . Il est clair que 6 est un
demi-groupe fini ; l’application A -~ CA est un homomorphisme du demi-groupe de
toutes les matrices carrée d’ordre n non-négatives sur D .
Considérons,
en
particulier,
la suite
(en général infinie)
Les
supports correspondants
Il est clair que la suite
C
(2)
S)
distincts.
soit
égal à
naturel
ensembles de
tel que
sont
Désignons
C.
plus petit nombre
contient
ne
1
qu’un
k
par
=
nombre fini d’éléments
k(A)
(~
convenablement
pour
lequel
le
(sous-
plus petit nombre naturel
choisi)
C" .La
et par
suite
d =
(2)
d(A)
le
est donc de
la forme
L’ensemble
6.
=
k + d - 1 . Il est bien
groupe
L’élément unité de
Voici
manière,
(par
d
A
-~
P~~
nous
AP
rapport à
est
@.
avec un
P
=
la
... ,
p > 0
satisfaisant
une
un
S ).
de
non-négative
trois nombres
rapport à l’opé-
matrice de permutation.
quelques problèmes :
1° Quel est le
2° Comment le
sens
fonction de
du nombre
comportement
30 Peut-on donner
une
des
d(A) ?
puissances
Au
est-il lié
avec
estimation de la grandeur des nombres
n ?
I
Nous commençons par
On
est
l’inégalité
Ces nombres sont des invariants par
est
~
C.
multiplication des parties
associé à chaque matrice
avons
où
demi-groupe cyclique fini d’ordre
un
que l’ensemble
k(A) , d(A) , p(A) .
naturels
ration
connu
cyclique d’ordre
De cette
est
... ,
peut
un
résultat
montrer que, pour
chaque
Ceci entraîne que l’ensemble
préliminaire.
nombre naturel
t ~ 1,
on a
le nombre
k(A)
et
d ?
d(A)
en
est
Cn+1A
exemple,
C
u
P"’
telle que
P
[Autrement dit,
on
A
Un des
A
[C ’est
s’il existe
matrice de cette forme
une
matrice de per-
en
permutant
les
lignes
façon.]
et les colonnes de la même
une
cas
réductible
conséquence
si,
et seulement
et seulement
si,
(décomposable)
si l’on a,
en
que, pour
une
si,
si,
Ck
immédiate du fait que
latère du demi-groupe
matrice
u
...
est
u
irréductible,
S =
un
S ,
idéal biet que
S
demi-groupe simple. ]
un
est
A
irréductible,
on a
toujours
1 ~
d(A~
quasi-disjoints (c’est-à-dire l’intersection
l’élément
coïncide,
plusieurs caractérisations
dans le
cas
d’une matrice
voir, l’indice d’imprimitivité
Considérons à cette fin
peut
prouver que
ductibles. En
ductibles.
de
n , et les ensembles
ces
ensembles deux à deux est
zéro).
Il existe
On
une
est irréductible
On montre que c’est le
sont
plusieurs membres
premiers résultats est :
La matrice
Si
par
B = 0 .
outre,
est
avec
[Naturellement,
soit de la forme
AP
appelée complètement
est
C ).
par
.]
obtenir
peut
façon convenable
La matrice
C
u
engendre
une intersection non-zéro
général -
...
S
de
appelée réductible (décomposable)
Une matrice est
mutation
en
a -
de la réunion
d’une
(sous-demi-groupe
demi-groupe
un
Au
une
est
particulier,
de
du nombre
irréductible,
d . L’une d’elles montre que
avec une
d
notion classique, à
sa-
A .
puissance
fixe
Au
d’une matrice irréductible
complètement décomposable en (u
Ad est complètement décomposable
~ d)
en
A .
matrices
d
matrices irré-
Par
exemple, supposons
et
n > 4
d
=
4 . Les nombres des composants irréducti-
bles sont :1
A4
La matrice
Les "boîtes"
est de la forme
sont pas d’abord nécessairement
ne
positives. Mais, à partir de
la
q-
ième puissance,y les composants sont positifs.
Une matrice
appelée primitive s’il existe un nombre entier w tel que
Aw soit positive. Une matrice primitive est nécessairement irréductible. Une matrice irréductible est primitive si, et seulement si, d = 1 .
est
A
Nous pouvons formuler notre résultat
irréductibley d(A)
complètement décomposable en
Si
est
est
A
C’est là
soin des
groupes
un
comme
est le
d
suit :i
plus petit nombre naturel pour lequel
matrices
primitives.
résultat classique. Hais pour la
propriétés spectrales
qui suffisent
Ad
démonstration,
nous
n’avons pas be-
de la matrice. Ce sont les moyens de la théorie des
pour la démonstration.
II
Soit maintenant
où les matrices
A
A
aa
une
matrice réductible. Ecrivons
sont des matrices nulles d’ordre
Si la
mun :
période
de
(y
1 ).
sont irréductibles
C Aaa
est
daq
on
compris le
prouve que
A
cas
sous
la forme
où quelques-unes dea
est le
petit multiple
com~
On
(3).
normale
me
Considérons la suite
ensembles
Si
elle-même
A
sants 03B11 ,
et
une
de trouver les
J’ai discuté la
seule
un
question
demi-groupe.
puissance, à
pas la for-
qui est
savoir
demi-groupe.
un
est
réductible,
y
...
il est
pour
le résultat suivant
a
possible
de
trouver,
lesquels
générale plusieurs
en
expo-
sont des ensembles distincts
...
s
plus grand diviseur
est le
d
Le nombre
est
il existe
irréductible,
qui n’exige
même temps des demi-groupes.
en
On
(2).
d’une manière
qui forment eux-mêmes
...
est
A
Si
d(A)
aussi caractériser le nombre
peut
commun
de tous les
cy
pour lesquels
C
demi-groupe.
un
III
Posons maintenant la
de savoir
question
ce
dire
qu’on peut
sur
la
grandeur
du
k(A) .
nombre
~
2
k(A) ~2
Il est trivial que
Mais
(a)
leur
en
Si
est
A
possible.
Il
k(A)
l’ordre de
réalité,
primitif y
a
on
a
(nombre
+1
est
des éléments de
n .
k(A) (n -
été énoncé par WIELANDT et
précisément :
Plus
l)
6 ).
1 , et ce résultat est
prouvé plusieurs fois dans
le meil-
+
ces
huit
dernières années.
(b)
Si
A
j’ai trouvé
[Presque
est
mais non-nécessairement
irréductible,
le résultat suivant : Posons
le même résultat
a
été
les méthodes de la théorie des
Si
s = d -
1 ,y
nous
rd
+
s
primitive
avec
récemment par HEAP et
(alors
d
1
n),
O~s~d-1. Puis
LYNN, qui utilisent
graphes.]
avons
Ce résultat est vrai aussi pour
pas prouver, à savoir
publié
n
=
qu’on
a
s =
0 . De là vient
toujours
une
conjecture
que
je
ne
sais
En tout cas,
un
résultat meilleur
il existe
tels que
(c) Si A
k(A) ~ (n -
est
2)2
une
peut
ne
A
matrice
exister,
pas
pour chaque
car
k(A~ - --- -
avec
2u
et
n
d
2d .
+
On
réductible, je viens de prouver le résultat suivant.
+ 2 , et ce résultat ne peut pas être améliore.
a
toujours
(d) Il y a d’autres problèmes dans cet ordre d’idées. Il est clair que k(A) et
d(A) dépendent du nombre des éléments positifs dans les lignes de A . Supposons
que la i-ième ligne contienne g. éléments non nuls. Désignons par F. 1 "le support de cette ligne". Les i-ièmes lignes dans ( 1) ont pour supports les ensembles
Les nombres
et
k.
J’ai
prouvé
sont définis
d.
comme
les nombres
1
z
pour
une
k(A)
et
d(A) .
matrice irréductible que :
résultat souvent plus avantageux.
IV
J’ajoute
entier
un
une
(et
remarque. Il serait intéressant d’étudier le
pas seulement les
problème
très facile. Il
sous-demi-groupes cycliques ~
c’est-à-dire les sous-ensembles
Un peu
et
d
du
(mais
plus facile
produit
Par exemple :i Si
AB
en
A
et
S
de
lesquels
pour
B
trivial)
sont des matrices
[Voici
autre résultat
le
typique :
nous
Mais
C2 =
cas
si
CA
si
A ,
B
avons
primitives,
et
et
ce
tout
n’est pas
idempotents
C .
est d’étudier les invari ants
connaissant ceux-ci pour les matrices
primitive. Mais c’est
est aussi irréductible et
C
en aucun cas
sairement
un
).
semble pas facile de trouver tous les
ne
~5
demi-groupe
CB
AB
sont
sont
d(AB) = d(BA)
y
AB
A
et
B .
n’est pas néces-
permutables ’
irréductibles,
)k(AB) -
k
et
alors
~. , ~
de
2-08
En
ner
voudrais souligner que le but de cette conférence
terminant, je
seulement
a
idée d’une application nouvelle des demi-groupes dans
une
été de donun
autre
l’algèbre.
domaine de
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