1. Repères historiques 2. Opérations dans C

école supérieure d’informatique, électronique, automatique
1A – Cycle de transition – Année 2015-2016
Renforcement numérique : nombres complexes et trigonométrie
1.
Repères historiques
Le mot trigonométrie vient du grec ancien. Il est formé à partir des mots τρεῖς (« trois »),
γωνία (« angle ») et μέτρον (« mesure »). Littéralement, la trigonométrie est donc la mesure
des trois angles : en se rapportant aux propriétés des angles d’un triangle, on fait référence aux
interprétations géométriques usuelles des fonctions trigonométriques.
Les nombres complexes ont été introduits au xvie siècle afin d’exprimer certaines racines
de polynômes de degré 3 ou de degré 4. La notation i a été introduite par Euler en 1777.
L’appellation nombre complexe apparaît pour la première fois en 1831 sous la plume de Gauss.
2.
Opérations dans C
On note C l’ensemble des nombres complexes, i étant le nombre non réel tel que i2 = −1 :
C = {x + iy | x ∈ R et y ∈ R} .
L’addition usuelle entre deux nombres réels se prolonge à deux nombres complexes ; elle
possède les mêmes propriétés d’associativité et de commutativité. En particulier, tout nombre
complexe possède un opposé. Cela permet de définir une soustraction entre deux nombres
complexes. Si z et z ′ sont deux nombres complexes vérifiant z = x + iy et z ′ = x′ + iy ′ , on a :
−z = −x − iy ;
z + z ′ = (x + x′ ) + i(y + y ′ ) et z − z ′ = (x − x′ ) + i(y − y ′ ) .
La multiplication usuelle entre deux nombres réels se prolonge à deux nombres complexes ; elle possède les mêmes propriétés d’associativité et de commutativité. En particulier,
tout nombre complexe non nul possède un inverse. Cela permet de définir une division entre
deux nombres complexes, dont le second est non nul. Si z et z ′ sont deux nombres complexes
vérifiant z = x + iy et z ′ = x′ + iy ′ , on a :
1
x
y
= 2
−i 2
si z ̸= 0 ;
2
z
x +y
x + y2
zz ′ = (xx′ − yy ′ ) + i(x′ y + xy ′ ) et
z
xx′ + yy ′
x′ y − xy ′
=
+
i
si z ′ ̸= 0 .
′
′
2
′
2
′
2
′
2
z
(x ) + (y )
(x ) + (y )
Il est inutile de retenir la forme des opérations ci-dessus. Tous les calculs algébriques dans C
s’effectuent de la même façon que dans R, en y adjoignant l’égalité i2 = −1 dans les calculs.
3.
Forme algébrique
Pour tout z de C, il existe un unique couple (x, y) de R2 vérifiant z = x + iy. On dit que
x est la partie réelle de z et que y est la partie imaginaire de z. On note :
x = Re(z) et y = Im(z) .
La forme algébrique d’un nombre complexe z est l’écriture de z sous la forme :
z = Re(z) + i Im(z) .
4.
Conjugué et module
Le conjugué d’un nombre complexe z égal à x+iy est le nombre complexe noté z̄ défini par :
z = x − iy .
Le module d’un nombre complexe z égal à x + iy est le réel positif noté |z| défini par :
√
|z| = z × z .
Autrement dit, le module d’un nombre complexe z égal à x + iy vérifie :
√
|z| = x2 + y 2 .
Pour z et z ′ dans C et pour n dans N, on a :
z + z′ = z + z′
z × z′ = z × z′
zn = z n .
De plus, si z ′ est non nul :
(z)
z′
=
z
.
z′
Pour z et z ′ dans C et pour n dans N, on a :
|z̄| = |z|
|zz ′ | = |z| × |z ′ |
|z n | = |z|n .
De plus, si z ′ est non nul :
z
|z|
′ = ′ .
z
|z |
Pour z et z ′ dans C, on a l’inégalité triangulaire :
|z + z ′ | 6 |z| + |z ′ | .
La notion de module d’un nombre complexe prolonge la notion de valeur absolue d’un
nombre réel.
5.
Représentation géométrique
Pour tout z de C, il existe un unique couple (x, y) de R2 vérifiant z = x + iy. Il existe donc
une correspondance bijective entre tout nombre complexe x + iy de C et le point M du plan R2
dont les coordonnées sont (x, y). On dit que z est l’affixe du point M .
R
2
M (x, y)
y
1
O(0, 0)
−1
6.
R
1
x 2
Fonction sinus et fonction cosinus
On se contente d’une approche intuitive, basée sur la technique d’enroulement de la droite
réelle sur le cercle trigonométrique. Dans le plan R2 , la représentation de l’ensemble U égal à
{z ∈ C | |z| = 1} est le cercle de centre (0, 0) et de rayon 1, appelé cercle trigonométrique.
On note ∆ l’axe vertical passant par (1, 0) et orienté vers le haut.
Pour tout réel x, on note eix l’affixe du point M ′ de U sur lequel vient s’enrouler
le point M (1, x) de ∆.
Comme π est le demi-périmètre du cercle trigonométrique, le point (1, π) s’enroule sur le
point d’affixe −1. On obtient ainsi la remarquable égalité d’Euler : eiπ = −1 .
On définit la fonction cosinus, notée cos, ainsi que la fonction sinus, notée sin, en posant,
pour tout réel x :
cos x + i sin x = eix .
7.
Propriétés de la fonction sinus et de la fonction cosinus
La fonction sin et la fonction cos sont 2π-périodiques :
∀x ∈ R, sin(x + 2π) = sin x et ∀x ∈ R, cos(x + 2π) = cos x .
La fonction sin est de classe C ∞ sur R. Elle est donc dérivable et continue sur R. Toutes ses
dérivées sont elles-mêmes continues sur R. Pour tout x de R, on a :
sin′ (x) = cos x .
La fonction cos est de classe C ∞ sur R. Elle est donc dérivable et continue sur R. Toutes ses
dérivées sont elles-mêmes continues sur R. Pour tout x de R, on a :
cos′ (x) = − sin x .
8.
Tableau des valeurs remarquables
Le tableau suivant donne les valeurs du sinus et du cosinus de quelques réels.
x
sin x
cos x
9.
0
π
6
π
4
π
3
√
2
2
√
0
1
2
√
3
2
√
2
2
1
π
2
3
2
1
1
2
0
Forme trigonométrique et forme exponentielle
Pour tout z de C∗ , il existe un réel θ vérifiant z = |z| (cos θ + i sin θ). On dit que θ est un
argument de z et on note :
θ = arg(z) .
Comme l’égalité 0 = 0 (cos θ + i sin θ) est vraie quel que soit le réel θ, on convient que le
complexe 0 n’admet pas d’argument. Les fonctions sinus et cosinus étant 2π-périodiques, il existe
un unique réel θ de ] − π, π], appelé argument principal de z, vérifiant z = |z| (cos θ + i sin θ).
La forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul z est l’écriture de z sous la
forme :
z = |z| (cos(arg z) + i sin(arg z)) .
La forme exponentielle d’un nombre complexe non nul z est alors l’écriture de z sous la
forme :
z = |z|ei arg z .
10.
Fonction tangente et fonction cotangente
On définit la fonction tangente, notée tan, en posant, pour tout réel x non dans
tan x =
π
+ πZ :
2
sin x
.
cos x
On définit la fonction cotangente, notée cotan, en posant, pour tout réel x non dans
cotanx =
cos x
.
sin x
π
Z:
2