PROBABILITES CONDITIONNELLES INDEPENDANCE La notion

PROBABILITES CONDITIONNELLES
INDEPENDANCE
La notion de probabilité conditionnelle s’introduit lorsque l’on dispose d’informations
supplémentaires au cours d’une expérience aléatoire. Considérons par exemple le jet de 2 dés
parfaits. Appelons A l’événement : « les 2 faces obtenues portent un nombre supérieur ou égal
à 5 ». Il est clair que
( )
9
1
= Ap
(4 cas favorables sur 36 cas possibles)
1. Supposons que le premier dé amène un 4 (événement B). Au vu de cette information,
on sait que l’événement A est devenu irréalisable. La probabilité de A sachant que B
est réalisé est nulle. On écrira
( )
0 = Ap
B
.
2. Supposons à présent que le premier dé amène un 6 (événement C). Connaissant cette
information, l’expérimentateur sait que A sera réalisé si le second dé amène un 5 ou
un 6. Il aura donc deux chances sur 6 d’y parvenir. La probabilité de A sachant que C
est réalisé est de 1/3. On note
( )
3
1
= Ap
C
.
On remarquera que les probabilités
B
p
et
C
p
définies sur le même univers Ω sont différentes
de la probabilité p.
Définition : Soit B un événement de probabilité non nulle. Soit A un événement quelconque.
La probabilité que l’événement A se réalise sachant que l’événement B est réalisé est le
nombre
( )
Ap
B
défini par
( ) ( )
( )
Bp
BAp
Ap
B
∩
=
.
Exemple : Une population composée de 55% de femmes et de 45% d’hommes est atteinte
d’une maladie génétique. La probabilité d’être atteint si l’on est un homme est de 0,01. La
probabilité d’être atteint si l’on est une femme est de 0,006.
Soit H l’événement « être un homme » et M l’événement « être malade ».
On peut modéliser ces informations à l’aide d’un arbre de probabilités.
H
M
M
M
M
0,45
0,55
0,01
0,006
0,99
0,994
F

On tire au hasard une personne de la population.
1. Quelle est la probabilité que cette personne soit un homme malade ?
2. Quelle est la probabilité que la personne prélevée soit malade ?
3. La personne prélevée est une femme. Quelle est la probabilité qu’elle soit malade ?
4. La personne prélevée est malade. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
Remarque : on aurait très bien pu modéliser le problème par un autre arbre de probabilités.
Pourquoi avoir choisi celui-ci ?
Un autre exemple (d’après Le Monde, 03/03/1998): Dans une île déserte, un pirate enterre à
quelques mètres de distance 2 sacs contenant un trésor : le sac en jute contient 20 pièces d’or
et 30 pièces d’argent. Le sac en cuir contient 20 pièces d’or et 20 pièces d’argent.
Malheureusement pour lui, il finit sa vie au bagne sans avoir pu récupérer son magot. De
nombreuses années plus tard, un aventurier débarque sur cette île et creuse le sol au hasard.
La fortune lui sourit, puisqu’il trouve l’un des deux sacs. Il y plonge la main et en sort une
pièce d’or. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse du sac en cuir ?
Indépendance de 2 événements
Considérons l’expérience aléatoire consistant à jeter un dé 2 fois de suite. Appelons A
l’événement : « le dé amène un 6 au premier lancer » et B l’événement : « le dé amène un 4
au second lancer ». Il est clair que le fait que le dé amène 6 au premier lancer n’influe
aucunement sur le résultat du second lancer. La probabilité que B se réalise sachant que A est
réalisé est donc égale à la probabilité de B :
( ) ( )
BpBp
A
=
.
Mais l’on sait que
( ) ( )
( )
Ap
BAp
Bp
A
∩
=
(comme A est de probabilité non nulle). On en déduit
que
( ) ( ) ( )
BpApBAp =∩
.

Définition : On dira que deux événements A et B sont indépendants si
( ) ( ) ( )
BpApBAp =∩
.
Remarque : Ne pas confondre événements indépendants et événements incompatibles !
Rappelons que A et B sont incompatibles signifie que
∅=∩ BA
: A et B ne peuvent être
réalisés simultanément.
Exemple : On lance un dé parfait. Soit A l’événement : « obtenir 1, 2 ou 3 » et B
l’événement : « obtenir 1, 2, 4 ou 5 ». On a :
( )
2
1
= Ap
;
( )
3
2
= Bp
;
( ) ( )
3
1
21 ==∩ ouobtenirpBAp
. On a donc bien
( ) ( ) ( )
BpApBAp =∩
. A et B sont
indépendants, mais pas incompatibles comme
∅≠∩ BA
.
Définition : On appelle système complet d’événements une famille A1,…, Ak d’événements 2
à 2 incompatibles et dont la réunion est Ω.
Propriété : Si B est un événement et { A1,…, Ak } un système complet d’événements, alors
p(B) =

Exercice 1
Dans une entreprise, une machine A fabrique 40% des pièces et la machine B le reste des
pièces. La proportion de pièces défectueuses fabriquées par A est de 3% et par B de 2%. On
prélève une pièce au hasard.
1. Calculer la probabilité qu’elle soit défectueuse.
2. Sachant qu’elle est défectueuse, calculer la probabilité qu’elle soit fabriquée par A.
Exercice 2
A Las-Vegas, on estime qu’il y a 40% de tricheurs. On prend au hasard une personne dans la
rue et on lui fait tirer une carte d’un jeu de 52 cartes. On admet que si cet individu est un
tricheur, il est sûr de retourner un as.
1. Quelle est la probabilité que l’individu choisi retourne un as ?
2. Quelle est la probabilité que l’individu choisi soit un tricheur sachant qu’il a retourné
un as ?
Exercice 3
Considérons 2 urnes A et B contenant chacune initialement 2 boules noires et 3 boules
blanches. On tire une boule de l’urne A, on note sa couleur et on la remet dans l’urne B. On
tire alors une boule de l’urne B. Le choix se faisant au hasard, quelle est la probabilité
d’obtenir 2 fois une boule noire ?
Exercice 4
On tire une carte d’un jeu de 52 cartes. Les événements « la carte tirée est un roi » et « la carte
tirée est un pique » sont-ils indépendants ? Justifier.
Exercice 5
La proportion de pièces défectueuses dans un lot est de 0,04. Le contrôle de fabrication des
pièces est tel que :
•Si la pièce est bonne, elle est acceptée avec une probabilité de 0,97 ;
•Si la pièce est mauvaise, elle est refusée avec la probabilité de 0,98.
On prend au hasard une pièce et on la contrôle.
1. Calculer la probabilité qu’il y ait une erreur de contrôle.
2. Calculer la probabilité qu’une pièce acceptée soit mauvaise.