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Nombres Complexes 4
eme
Sc Expérimentales
Dans tous les exercices le plan P complexe est rapporté à un repère orthonormé direct 
Exercice 1
1) Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants : ; et
2) Marquer les points ,  et  d’affixes respectives :    ;    et   .
3) a) Montrer que  est un triangle rectangle en .
b) Trouver l’affixe du point  tel que  soit un rectangle.
4) a) On pose     , trouver l’affixe du point .
b) Déterminer les ensembles suivants :
  !"# $%&"    &&"    &' et   !"# $%&"    & ('
Exercice 2
Soient les points , ,  et  d’affixes respectives : "
)
  ; "
*
    ; "
+
 ,   et "
-
1) a) placer les points , ,  et 
b) Vérifier que  est le milieu du segment ./.
2) Montrer que le triangle  est isocèle.
3) Déterminer l’affixe "
0
du point  pour que  soit un losange.
4) a) A tout point ! d’affixe " 1 ,   on associe le point !2 d’affixe "
3
456
46
Montrer que 7!
3
)8
+8
b) Montrer que si le point ! décrit la médiatrice du segment ./ alors le point !2 décrit un cercle que
l’on précisera.
Exercice 3
Une seule des réponses proposées est exacte.
1) Soit " un nombre complexe, le conjugué de   " est :
a)   " b)   " c)   "
2) La forme algébrique de   
   est :
a) 9  , b) 9  , c) 9  ,
3) La forme algébrique de
5
5
est :
a)    b)    c)   
Exercice 4
A tout ! d’affixe " 1  on associe le point !2 d’affixe "
3
45
4
et soient les points :  et .
1) a) Montrer que
&"2&
)8
*8
b) En déduire l’ensemble : des points !" tel que ,&"2& 
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/

2) On pose "  ;  < ; ; et < deux réels
a) Pour " 1  ; donner la forme algébrique de "
3
.
b) En déduire   !"# $%"2 # =' et >  !"# $%"2?@ABACDEAFDAGHIJG'
Exercice 5
1) Placer dans le plan complexe les points , ,  et  d’affixes respectives :  ;    ; (   et ,  
2) Montrer que  est un rectangle.
3) A tout point ! du plan d’affixe " 1    on associe le point !2 d’affixe "2 
45
45
a) Montrer que
&"2&
)8
*8
b) En déduire que si !2 appartient au cercle trigonométrique alors ! appartiendra à une droite que l’on
précisera.
4) a) Montrer que "2  "        et que !2 K !  L(
b) Montre que si ! appartient à un cercle de centre  et de rayon  alors !2 appartient à un cercle que
l’on précisera.
Exercice 6
1) La forme algébrique du nombre complexe
LM
N
O
est
a)
L
b)
5L
c)
5L
2) Un argument du nombre complexe P  LQ est :
a)
R
S
b)
R
c) 
T
3) Le module du nombre complexe   M
UVN
W
est égale à
a)  b) L c) 
4) L’ensemble des points ! d’affixe " tels que "  "    est
a) un singleton. b) une droite. c) un cercle.
5) La forme exponentielle du nombre complexe L   est :
a) M
N
O
b) M
XN
O
c) M
XN
O
6) Si z est un nombre complexe alors le conjugué de   " est :
a)   " b)   " c)   "
7) Soit Y # =. Le module du nombre complexe "    M
Z
est égale à :
a)   [M
Z
[ b) L c) \  ]@?Y
Exercice 7
Une seule des réponses proposées est exacte.
1) Si "       alors :
a) ^M"  b) "       c) _" 
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2) Si z est un nombre complexe dont un argument est
`
 abca # d ; alors un argument de " e st :
a) eb  abca # d b) f  abca # d c) e
`
 abca # d
3) Si "  PL  Q   alors &"& est égale à:
a) f b) L c)   L
Exercice 8
Ecrire les complexes suivants sous forme trigonométrique : "    ]@?Y  ?AFY ; Y # .fb..
"    ]@?Y   ?AFY ; Y # /fb. ; "  ?AFY  ]@?Y ; "
6
   L ; "
g
 L  
Exercice 9
Soit le nombre complexe : h  \  L  \  L
1) Calculer h puis écrire h sous forme trigonométrique
2) En déduire la forme trigonométrique de h et les valeurs exactes de ]@?
iR
et ?AF
iR
Exercice 10
On donne les points  et  d’affixes respectives : "
)
5
5
et "
*
  ,
g
1) Ecrire "
)
et "
*
sous la forme algébrique.
2) Placer les points  et .
3) Montrer que le triangle 7 est isocèle.
4) Déterminer l’affixe du point  tel que 7 soit un carré.
5) Soit ! le point d’affixe "      M
Z
; Y # .fb.
Déterminer l’ensemble des point !, lorsque Y décrit .fb..
Exercice 11
Répondre par Vrai ou Faux.
1) Soit "     donc "    .
2) Soit "     donc &"
& 9
3) Soit " un nombre complexe de module  et dont un argument est
`
6
donc "  .
4) Soit " un nombre complexe de module L et dont un argument est
S`
6
donc " est imaginaire pur.
5) Soit " un nombre complexe dont un argument est 
`
S
et ayant une partie réelle égale à ,L donc &"& j.
6) Soit " un nombre complexe donc &"    &&"    &.
7) Soit " et "2 deux nombres complexes si &"&&"2& donc "  "2.
8) Soit " et "2 deux nombres complexes on a toujours &"  "2&&"&&"2&.
Exercice 12
Soient les points  et  d’affixes respectives : "
)
    et "
*
1) Placer  et .
2) Qu’elle est la nature du triangle 7.
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3) Soit le point  d’affixe "
+
 M
N
W
  .
a) Ecrire "
+
sous forme algébrique et trigonométrique
b) En déduire ]@?
`
et ?AF
`
4) a) Comparer 7 et 7 et donner une mesure de l’angle 7
k
k
k
k
k
c7
k
k
k
k
k
l.
b) En déduire la nature du triangle 7.
5) Déterminer et construire l’ensemble : des ! d’affixe "  ;  < (; et < deux réels ) tel que :
&"    &&"    &
6) On pose "    ]@?Y ; Y # .fb/. Qu’elle est l’ensemble des points M lorsque Y décrit .fb/?
Exercice 13
On pose m    L et n    .
1) Ecrire sous la forme algébrique m K n.
2) Ecrire sous la forme exponentielle m et n puis m K n.
3) Ecrire sous forme trigonométrique m K n.
4) En déduire ]@?
i`
et ?AF
i`
Exercice 14
1) Placer dans le plan complexe les points , ,  et  d’affixes respectives :  ;    ;    et ,  
2) Montrer que  est un rectangle.
3) A tout point ! du plan d’affixe z distinct de    on associe le point !2 d’affixe "
3
45
45
a) Montrer que &"2&
)8
*8
b) En déduire que si !2 appartient au cercle trigonométrique alors ! appartiendra à une droite que l’on
précisera.
4) a) Montrer que "
3
 "        et que !
3
K !  L(
b) Montre que si ! appartient à un cercle de centre  et de rayon 1 alors !2 appartient à un cercle que
l’on précisera.
Exercice 15
1) Ecrire sous la forme algébrique
5
et M
N
oU
S
2) a) placer les points   , et 
b) Trouver l’affixe du point  milieu de ./.
c) Soit C le point d’affixe   . Montrer que  est un triangle rectangle en .
d) En déduire que les points ,  et  appartiennent à un même cercle ζ dont on précisera le centre et le
rayon.
e) Déterminer l’ensemble   p!"%&"  &Lq
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3) Soit M le point d’affixe "    ,  M
Z
; Y # .fb.
Déterminer l’ensemble des point !, lorsque Y décrit .fb..
Exercice 16
On donne les points  et  d’affixes respectives : "    L et "    .
1) Ecrire " et " sous la forme trigonométrique.
2) Ecrire " K " sous la forme trigonométrique et en déduire ]@?
R
HB ?AF
R
3) A tout point ! # $r ' et d’affixe ", on associe le point !2 d’affixe "2 
44
o
44
U
a) Déterminer et construire l’ensemble  des points ! tel que "2 soit imaginaire pur.
b) Déterminer et construire l’ensemble > des points ! tel que "2 soit réel.
c) Déterminer l’ensemble s des points ! tel que &"2& .
4) Soit le point d’affixe . Montrer que pour tout point # $r ' , !2 K !    L.
Que décrit le point !2 lorsque ! décrit le cercle de centre  et de rayon ?
Exercice 17
Soient les nombres complexes "  L  L et "  L  L
1) Mettre " et " sous forme trigonométrique.
2) Placer alors les points ,  et  d’affixes respectives , " et "
3) Déterminer sous forme algébrique l’affixe du point t    
4) Calculer 7 et une mesure de Pmk 7
k
k
k
k
Q.
5) Donner alors "
u
sous forme trigonométrique et en déduire les valeurs de ]@?
`
et ?AF
`
Exercice 18
1) On donne "     , "    L et "     .
a) Ecrire " , " et " sous la forme exponentielle.
b) En déduire la forme exponentielle de v 
4
oU
K4
UU
4
WW
2) a) Ecrire v sous forme algébrique.
b) En déduire les valeurs exactes de ]@?
iR
et ?AF
iR
3) Résoudre dans .fb. ; PL  L9Q]@?;  PL  L9Q?AF;  
Exercice 19
Pour chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées est exacte.
1) Le nombre complexe
5L
5
a pour argument :
a)
R
b)
R
6
c)
R
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé 7mk n, on considère les points , ,  et 
d’affixes respectives :  ;    ;  et . Alors on a :
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