Analyse Elémentaire - Département de Mathématiques

Universit´ e de Poitiers
UFR Sciences Fondamentales et Appliqu´ ees
Licence 1 SPIC
Analyse El´ ementaire
Larbi Belkhchicha
Poitiers, le 19 janvier 2011

Table des mati` eres
L1 cours d’ analyse ´ el´ ementaire - Janvier 2011

CHAPITRE 1
FONDEMENTS
Du vrai suit le vrai... Du faux suit le faux... Du faux suit le vrai...
Mais du vrai, le faux ne peut s’ensuivre 
Diog` ene La¨ erce
1.1 Logique des propositions
D´ efinition 1.1. — Une proposition est un ´ enonc´ e qui est, sans ambigu¨ ıt´ e, soit vrai, soit faux , dans
le cadre d’une th´ eorie.
1. “ un chien est un mammif` ere ” est une proposition vraie en zoologie.
2. “ 1+1=1 ” est une proposition vraie en alg` ebre de Boole mais fausse en alg` ebre classique.
3. “Je pense que demain il fera beau ” n’est pas une proposition ( au sens de notre d´ efinition).
Remarque 1.2. — D’apr` es cette d´ efinition il n’existe que deux ´ etats : vrai ou faux .
Table de v´ erit´ e
A toute proposition Pon associe un ´ el´ ement de l’ensemble {V, F }. Si Pest vraie on lui associe la
valeur V, si Pest fausse on lui associe F. Souvent on repr´ esente ces r´ esultats par un tableau appel´ e
table de v´ erit´ e.
N´ egation d’une proposition
D´ efinition 1.3. — Une proposition non (P)est une proposition qui est vraie lorsque Pest
fausse et qui est fausse lorsque Pest vraie .
On retiendra en particulier les deux principe suivants :
IPrincipe de non contradiction : Pet non(P)ne peuvent ˆ etre simultan´ ement vraies ,
IPrincipe du tiers exclu : l’une des deux propositions Pet non(P)est vraie .
Equivalence logique
D´ efinition 1.4. — Deux propositions sont dites logiquement ´ equivalentes si elles ont la mˆ eme va-
leur de v´ erit´ e. On ´ ecrira P⇐⇒ Q
Le sens, le contenu et la complexit´ e de ces propositions ne sont pas concern´ es par l’´ equivalence
logique.
Connecteurs logiques usuels
IConnecteur de disjonction inclusive OU 
D´ efinition 1.5. — La proposition Pou Qest la proposition qui est fausse uniquement lorsque
Pet Qsont fausses simultan´ ement.
L1 cours d’ analyse ´ el´ ementaire - Janvier 2011