Comportement asymptotique d`une fonc

Chapitre
5
Comportement asymptotique d’une fonc-
tion
Programme
Contenus Capacités attendues Commentaires
Limites de fonctions Le travail réalisé sur les suites est étendu
aux fonctions, sans formalisation excessive.
Limite finie ou infinie d’une fonction à l’in-
fini.
Limite infinie d’une fonction en un point.
L’objectif essentiel est de permettre aux
élèves de s’approprier le concept de limite,
tout en leur donnant les techniques de
base pour déterminer des limites dans les
exemples rencontrés en terminale.
Limite d’une somme, d’un produit, d’un
quotient ou d’une composée de deux fonc-
tions.
•Déterminer la limite d’une somme, d’un
produit, d’un quotient ou d’une composée
de deux fonctions.
La composée de deux fonctions est rencon-
trée à cette occasion, mais sans théorie gé-
nérale.
Limites et comparaison. •Déterminer des limites par minoration,
majoration et encadrement.
Asymptote parallèle à l’un des axes de co-
ordonnées. •Interpréter graphiquement les limites ob- tenues.
Fonction exponentielle
Démontrer que lim
x→+∞ex= +∞et
lim
x→−∞ ex= 0.
On étudie des exemples de fonctions de
la forme x7→ exp(u(x)), notamment avec
u(x) = −kx ou u(x) = −k2(k > 0), qui
sont utilisées dans des domaines variés.
•Connaître et exploiter lim
x→+
ex
x= +∞et
lim
x→−∞ xex= 0.
1

Terminale S Chapitre 5 - Comportement asymptotique d’une fonction
2 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

Table des matières
5 Comportement asymptotique d’une fonction 1
I - Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. Limitefinieenl’infini ....................................... 3
2. Limite infinie en l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. Limiteinfinieenunréel ...................................... 5
II - Calculs de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. Règles opératoires sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. Composée de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
III - La fonction exponentielle, croissance comparée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I - Définitions et exemples
1. Limite finie en l’infini
Définition 1
Soit fune fonction définie sur un intervalle de la forme [A; +∞[(ou Rou ]A; +∞[).
On dit que la fonction fa pour limite le nombre len +∞lorsque tout intervalle ouvert contenant l
contient toutes les valeurs f(x)pour xassez grand. On note : lim
x→+∞f(x) = l.
On dit alors que la droite d’équation y=lest une asymptote horizontale à la courbe de fen +∞dans
un repère du plan.
Exemple 1
On considère la fonction fdéfinie sur ]1; +∞[par f(x) = x
1−x. Démontrer à l’aide de la définition que lim
x→+∞f(x) = −1.
−1−ε
−1 + ε
−1
#»
i
#»
j
B
O
3

Terminale S Chapitre 5 - Comportement asymptotique d’une fonction
Définition 2
Soit fune fonction définie sur un intervalle de la forme ]− ∞;A](ou Rou ]− ∞;A[).
On dit que la fonction fa pour limite le nombre len −∞ lorsque tout intervalle ouvert contenant l
contient toutes les valeurs f(x)pour −xassez grand. On note :
lim
x→−∞ f(x) = l.
On dit alors que la droite d’équation y=lest une asymptote horizontale à la courbe de fen −∞ dans
un repère du plan.
Exemple 2
Reprendre l’exemple précédent avec fdéfinie sur ]− ∞; 1[ et montrer que lim
x→−∞ f(x) = −1.
Remarques :
•La limite de fest unique.
•Pour déterminer la position de la courbe d’un fonction fà son asymptote d’équation y=l, il suffit d’étudier
le signe de f(x)−l.
•lim
x→±∞ f(x) = l⇔lim x→±∞ |f(x)−l|= 0.
Propriété 1
(1) Pour tout entier n:lim
x→+∞x−n= lim x→+∞
1
xn= lim
x→−∞ x−n= lim x→−∞
1
xn= 0.
(2) lim
x→+∞
√x
x= lim
x→+∞
1
√x= 0.
(3) Les fonctions x7→ cos xet x7→ sin xn’admettent pas de limite en +∞et en −∞.
2. Limite infinie en l’infini
Définition 3
Soit fune fonction définie sur [A; +∞[où A∈R.
On dit que la fonction fa pour limite +∞(ou −∞) en +∞lorsque tout intervalle de la forme ]a; +∞[
(ou ]− ∞;a[) où a∈Rcontient toutes les valeurs f(x)pour xassez grand. On note :
lim
x→+∞f(x) = +∞(ou − ∞).
Exemple 3
Démontrer que lim
x→+∞(10√x−3) = +∞.
50
100
150
50 100 150 200
a
OB
Définition 4
Soit fune fonction définie sur ]− ∞;A]où A∈R.
On dit que la fonction fa pour limite +∞(ou −∞) en −∞ lorsque tout intervalle de la forme ]a; +∞[
(ou ]− ∞;a[) où a∈Rcontient toutes les valeurs f(x)pour −xassez grand. On note
lim
x→−∞ f(x) = +∞(ou − ∞).
4 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

Terminale S Chapitre 5 - Comportement asymptotique d’une fonction
Propriété 2
(1) Si a > 0alors lim
x→−∞(ax +b) = −∞ et lim x→+∞(ax +b) = +∞.
Si a < 0alors lim
x→−∞(ax +b) = +∞et lim x→+∞(ax +b) = −∞.
(2) Soit n∈N,lim
x→+∞xn= +∞et lim x→−∞ xn=(+∞si nest pair
−∞ si nest impair .
(3) lim
x→+∞√x= +∞.
3. Limite infinie en un réel
Définition 5
Soit a∈Ret fune fonction dont l’ensemble de définition contient au moins un intervalle de la forme ]a−α[
ou ]a; +α[.
On dit que fa pour limite en à gauche de (resp. à droite de a) lorsque tout intervalle ouvert de la
forme ]A; +∞[avec A∈R, contient toutes les valeurs f(x)pour xassez proche de aà gauche (resp. à droite)
de a.
On note : lim
x→a
x<a
f(x) = +∞(resp. lim
x→a
x>a
f(x) = +∞).
On dit alors que la droite d’équation x=aest une asymptote verticale de la courbe de fà gauche (resp.
à droite) de a.
Lorsque lim
x→a
x<a
f(x) = lim
x→a
x>a
f(x) = +∞, on dit que fà pour limite +∞en a.
x
y
Oaa+δ
A
Cf
lim
x→a
x>a
f(x) = +∞
x
y
Oa
a−δ
A
Cf
lim
x→a
x<a
f(x) = +∞
x
y
Oa
a−δ a +δ
A
Cf
lim
x→af(x) = +∞
x
y
O
aa+δ
ACf
lim
x→a
x>a
f(x) = −∞
x
y
O
a
a−δ
A
Cf
lim
x→a
x<a
f(x) = −∞
x
y
O
a
a−δ a +δ
ACf
lim
x→af(x) = −∞
5 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes