Probabilités et tests d`hypothèse

LMD
Les notions sont présentées de façon simple et claire, pour pouvoir être accessibles
à tous les publics, tout en restant rigoureuses. Certaines notions, comme les germes
de probabilité et les notions fines sur les lois continues, réservées au public de
mathématiciens, sont clairement indiquées.
L’ouvrage fait la liaison avec la classe terminale et peut même être abordé par les élèves
de TS un peu curieux. Les chapitres de niveau supérieur sont regroupés en fin d’ouvrage,
pour être abordés uniquement si nécessaire. La loi normale, par contre, est introduite
assez tôt, car elle est vite indispensable. Le lecteur biologiste ou médecin a ainsi
rapidement une présentation complète mais simple des lois classiques et sophistiquées
permettant d’effectuer les tests sur les moyennes, les variances et l’homogénéité des
échantillons.
Chaque notion est illustrée par des exemples dans le cours et de nombreux exercices
corrigés en fin de chapitre. Les chapitres s’adressant au niveau L3 restent aussi
parfaitement accessibles, car aucune connaissance fine de la théorie de la mesure n’est
requise.
+Les « plus »
} De nombreux exemples viennent éclairer la théorie
} De nombreux exercices corrigés en fin de chapitre
François Cottet-Emard Directeur d’Études pour la Licence en mathématiques à l’Université de
Paris-Sud, jusqu’en 2011, Maître de Conférences Hors-Classe.
www.deboeck.com
ISBN 978-2-8041-8466-7
PROHYP
PROHYP-COVER.indd 1-3
Dans le cadre du nouveau Système Européen de
Transfert des Crédits (ECTS), ce manuel couvre les
niveaux :
en France : Licence 2, 3 et Master 1.
en Belgique : Baccalauréat 2, 3 et Master 1.
en Suisse : Baccalauréat 2, 3 et Master 1.
au Canada : Baccalauréat 2, 3 et Master 1.
L1
D
M2
M1
L3
L2
Conception graphique : Primo&Primo
} Calculs numériques présentés avec les logiciels commerciaux actuels
Probabilités et
tests d’hypothèse
cours et
Exercices Corrigés
LMD
Cet ouvrage regroupe les probabilités et les tests d’hypothèse enseignés dans les
trois premières années universitaires, aussi bien dans les filières mathématiques que
biologiques ou appliquées.
Fr. Cottet-Emard
Un cours écrit comme il a été donné, simple et clair,
partant toujours des exemples concrets pour arriver à
une formulation rigoureuse.
François Cottet-Emard
Probabilités et tests d’hypothèse
Probabilités et
tests d’hypothèse
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François Cottet-Emard
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Licence de mathématiques
et de biologie
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Probabilités et
tests d’hypothèse
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Licence Maîtrise Doctorat
Mathématiques
Aslangul C., Des mathématiques pour les sciences. Concepts, méthodes et techniques pour la
modélisation
Aslangul C., Des mathématiques pour les sciences 2. Corrigés détaillés et commentés des
exercices et problèmes
Bogaert P., Probabilités pour scientifiques et ingénieurs. Introduction au calcul des probabilités
Cottet-Emard F., Analyse
Cottet-Emard F., Analyse 2. Calcul différentiel, intégrales multiples, séries de Fourier
Cottet-Emard F., Calcul différentiel et intégral. Exercices et problèmes corrigés
Cottet-Emard F., Algèbre linéaire et bilinéaire
Dupont P., Exercices corrigés de mathématiques. Tome 1. Algèbre et géométrie. 3e éd.
Dupont P., Exercices corrigés de mathématiques. Tome 2. 3e éd.
Etienne D., Exercices corrigés d’algèbre linéaire. Tome 1
Etienne D., Exercices corrigés d’algèbre linéaire. Tome 2
Marchand M., Outils mathématiques pour l’informaticien. Mathématiques discrètes. 2e éd.
Physique
Aslangul C., Mécanique quantique 1. Fondements et premières applications
Aslangul C., Mécanique quantique 2. Développements et applications à basse énergie. 2e éd.
Aslangul C., Mécanique quantique 3. Corrigés détaillés et commentés des exercices et des
problèmes
Bécherrawy T., Optique géométrique
Biémont É., Spectroscopie atomique. Instrumentation et structures atomiques
Biémont É., Spectroscopie moléculaire. Structures moléculaires et analyse spectrale
Champeau R.-J., Carpentier R., Lorgeré I., Ondes lumineuses. Propagation, optique de Fourier,
cohérence
Taillet R., Optique physique. Propagation de la lumière
Watsky A., Thermodynamique macroscopique
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François Cottet-Emard
Probabilités et
tests d’hypothèse
cours et
Exercices Corrigés
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spécialisation, consultez notre site web : www.deboeck.com
© De Boeck Supérieur s.a., 2014
Fond Jean Pâques, 4 – 1348 Louvain-la-Neuve
1re édition
Tous droits réservés pour tous pays.
Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par
photocopie) partiellement ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une
banque de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme et de quelque
manière que ce soit.
Imprimé en Belgique
Dépôt légal :
Bibliothèque nationale, Paris : mars 2014
Bibliothèque royale de Belgique, Bruxelles : 2014/0074/042ISBN 978-2-8041-8466-7
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 1 — #1
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Avant-propos
Ce cours de probabilité s’adresse à un public très varié, aussi bien aux débutants
qu’aux étudiants des classes préparatoires, dans le cadre des nouveaux programmes, et
jusqu’aux étudiants des L3 de mathématiques. Il débute par le formalisme des univers et
des germes de probabilités, ce qui est souhaitable, mais peut paraître un peu rébarbatif
aux étudiants non mathématiciens, par exemple biologistes, qui vont vite s’abstraire
de ce formalisme dans le cadre courant de l’équiprobabilité. J’ai bien pensé à eux, et
plusieurs paragraphes sont répétés, une fois avec le formalisme « mathématique » et
une seconde fois avec une terminologie plus courante. Je n’ai pas oublié, en écrivant,
que j’ai débuté ma carrière à la Faculté des Sciences d’Orsay en enseignant justement
les probabilités et les tests d’hypothèse aux étudiants de la filière biologie.
L’ouvrage commence bien sûr par les probabilités discrètes, sur un univers fini ou infini.
Mais il introduit relativement vite l’incontournable loi normale et le théorème de la
limite centrée. L’approximation par la loi normale est omniprésente, facile à maîtriser
et à utiliser. Elle est d’ailleurs largement présente dans les programmes des lycées. Elle
ne nécessite aucune connaissance générale sur les lois à densité, qui seront introduites
plus tard, après les tests d’hypothèse. Ceux-ci utilisent majoritairement la loi binomiale,
la loi de Poisson, la loi normale et ses ramifications que sont la loi de Student et la
loi du chi-deux. Ces deux dernières lois sont utilisées couramment en biologie ou en
médecine, sans qu’il soit besoin de bien maîtriser le fondement mathématique sousjacent. Je les introduis donc juste après la loi normale, et elles sont utilisées dans les
tests d’hypothèse classiques. Je fais de même avec la loi de Fisher, bien utile en biologie
et même en médecine.
La pratique des lois à densité demande assez rapidement une certaine aisance dans les
intégrales doubles, et je suis obligé de supposer, pour le chapitre sur les couples de
variables aléatoires, que le lecteur a cette maîtrise du calcul intégral, et en particulier
des changements de variables dans les intégrales doubles.
L’ouvrage se termine enfin par les chaînes de Markov, que je limite aux cas simples,
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 2 — #2
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Probabilités et tests d’hypothèses
sans entrer dans la classification complète. Ce chapitre est même accessible dès la fin
de la Terminale ES, je pense. Les exemples sont tous en dimension 2 et 3. Certains
théorèmes admis font appel à des résultats poussés d’algèbre linéaire, mais sont bien
pratiques à utiliser !
Les deux tiers de l’ouvrage sont consacrés à des exercices résolus. Ils permettent de
bien comprendre, du moins je l’espère, le contenu de chaque chapitre. Certains font
preuve d’un peu d’humour, et cela détendra l’aspect mathématique des probabilités !
J’ai écrit cet ouvrage de la même façon que ceux d’algèbre et d’analyse que j’ai déjà
publié aux éditions De Boeck Supérieur : c’est un cours écrit comme je l’ai parlé et
enseigné, en essayant de rester clair, simple et accessible, en rejetant tout dogmatisme
inutile et trop théorique. J’évoque là où il faut les difficultés théoriques venant de la
théorie de la mesure, mais je glisse très rapidement dessus.
J’ai créé ce livre au fur et à mesure des années 2005-13 lorsque, en plus de mes cours
officiels, j’ai fait travailler en petit groupe certains de mes étudiants souhaitant devenir
très performants en probabilités, et en particulier ceux, et surtout celles, se destinant
aux métiers de l’enseignement. Je les ai suivies du L2 jusqu’au M2 et au CAPES.
Plusieurs ont aussi bifurqué vers la finance, et font tout autant ma fierté, en Belgique
ou au Royaume-Uni.
Je remercie plus particulièrement Alice, Audrey, Beverly, Emilie, Florence, Jennifer,
Julie, Oriane et Sophie qui m’ont, sans s’en rendre compte, obligé à peaufiner et à
remettre en cause au fil du temps le contenu de cet ouvrage, jusqu’à notre satisfaction
commune. Avec leur aide, à défaut de réaliser un ouvrage parfait, j’ai écrit un livre
agréable à lire et bien complet. Merci en particulier à Alice, qui a relu ligne par ligne
plusieurs chapitres, qui n’a pas hésité à remettre en cause certaines parties de l’ouvrage,
et qui m’a poussé à augmenter le nombre de figures et la clarté du texte.
J’ai écrit certaines pages de cet ouvrage dans ce grandiose Château de l’Aisne, où
j’aime séjourner entre champagne et gastronomie, dans la grandeur et le calme de ses
appartements, dans cette Picardie qui me tient à cœur depuis toujours. J’y remercie
en particulier Solène, qui s’est courageusement amusée à relire une grande partie de
l’ouvrage, et à y trouver au moins une faute d’orthographe. Elle saura se reconnaître,
comme toutes celles que j’ai déjà remerciées ici.
Courcelles-sur-Vesles, août 2013
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 3 — #3
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Table des matières
Chapitre 1
1
Dénombrements dans un ensemble fini
Ensembles et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1 Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2 Réunion de deux parties de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 Intersection de deux parties de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4 Parties disjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5 Complémentaire d’une partie de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.6 Partition de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2
Produit d'ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3
Cardinal d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4
Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.3 Nombre de permutations d’un ensemble à n éléments . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.4 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Arrangements de n objets p à p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
5.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
5.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
5.3 Calcul du nombre d’arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 4 — #4
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Probabilités et tests d’hypothèses
6
7
8
Combinaisons de n objets p à p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Calcul du nombre de combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
( )
n
6.4 Expression de
avec les factorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
12
12
12
12
Les formules classiques avec les combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1 Valeurs aux bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Une forme de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Le triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 La formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
( ) ( )
( )
n
n
n
............................
+ ··· +
+
7.5 La somme
n
1
0
14
14
15
15
16
7.6 D’autres sommes du même style . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Dérangements de n éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Chapitre 2
14
16
Probabilités sur un ensemble fini
1
Univers mathématique fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Description de la situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Poids d’une partie de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Propriétés du poids d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Un peu de sophistication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
38
38
39
40
2
Le lancer d'un dé : modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Un seul lancer du dé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Un lancer de deux dés simultanés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
42
42
3
Univers associé à une expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Définition d’un univers de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Evènement dans cet univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Probabilité sur Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Seconde définition d’une probabilité sur un univers fini Ω. . . . . . . . . .
43
43
44
45
46
4
Premiers exemples de modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
5
Le cas fondamental de l'équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
6
Résolution plus élémentaire des exemples précédents . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
7
Probabilités conditionnelles et évènements indépendants . . . . . . . . . . . . . . .
7.1 Idée courante de la probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Définition de la probabilité conditionnelle P (A/B) . . . . . . . . . . . . . . . .
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 5 — #5
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Avant-propos
8
Evènements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
9
Exemple fondamental de modélisation dans le cas de
non-équiprobabilité : lancers successifs d'une pièce truquée . . . . . . . . . . . .
60
Chapitre 3
Probabilités conditionnelles
1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
2
Définition et calcul de la probabilité conditionnelle P (A/B) . . . . . . . . . . . .
79
3
Formule élémentaire de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
4
Formule élémentaire des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Application fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
82
83
83
5
Formule générale des probabilités totales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
6
Représentation avec un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
7
Probabilité conditionnelle sachant plusieurs évènements . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Chapitre 4 Évenements indépendants - Répétitions indépendantes d'une expérience
1
Deux évènements indépendants. Intuition courante et
caractérisation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Intuition courante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Caractérisation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Indépendance et évènements contraires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
106
106
107
2
Indépendance de N ≥ 3 évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Indépendance de trois évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Un nombre quelconque d’évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Dans la pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
108
108
109
3
Répétition n fois de suite et de façons indépendantes
d'une même expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Le cadre et le but . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Probabilité d’avoir k succès parmi les n expériences . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
109
110
111
Temps d'attente du premier succès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Le cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Calcul de la probabilité du temps d’attente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Le temps d’attente peut-il être infini ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
112
113
113
114
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Probabilités et tests d’hypothèses
5
Probabilité produit. Univers associé à des évènements
indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 L’univers Ω2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 L’univers Ωp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 5
114
115
116
Univers infinis - Le cas dénombrable
1
Ensemble dénombrable. Notion de série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Ensemble dénombrable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Notion de série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 La série géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 La série exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Série absolument convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Importance de l’ordre des termes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
124
125
125
126
126
127
2
Univers dénombrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
3
L'univers associé au temps d'attente du premier succès . . . . . . . . . . . . . . . .
130
4
Les enfants d'une famille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
5
Une première idée du cas non dénombrable. Notion de tribu . . . . . . . . . . .
132
Chapitre 6
Variables aléatoires discrètes
1
Comment ça se passe en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 En pratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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137
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2
Cas d'un univers fini. Définition d'une variable aléatoire.
Loi d'une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Variable aléatoire sur Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Loi de probabilité de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Histogramme en bâton d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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142
3
Cas d'un univers dénombrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Variable aléatoire sur Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Loi de la variable aléatoire X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
144
144
4
Les variables aléatoires incontournables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Variable aléatoire suivant une loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre p . . . . . .
4.3 Variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n, p) . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Variable aléatoire suivant une loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p . . . .
4.6 Variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ . . . . .
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Avant-propos
5
Fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . .
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6
Somme de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
7
Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1 Deux variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Indépendance de n variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
155
157
8
Deux exemples fondamentaux de sommes de variables
aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1 Somme de n variables aléatoires indépendantes suivant la même loi
Bernoulli de paramètre p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois
Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
de
158
de
159
Utilisation des logiciels commerciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1 Loi binomiale B(n, p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Loi de Poisson P (λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Loi hypergéométrique H(N, M, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
161
161
162
9
Chapitre 7
crète
1
Espérance et variance d'une variable aléatoire dis-
Espérance d'une variable aléatoire prenant un nombre fini
de valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Définition de l’espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme. . . . . . .
1.3 Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli . . .
1.4 Espérance d’une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n, p)
1.5 Remarque : théorème de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
164
166
166
166
167
2
Propriétés de l'espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
3
Espérance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale
ou une loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.1 Espérance d’une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n, p) 168
3.2 Espérance d’une variable aléatoire suivant la loi hypergéométrique
H(N, M, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4
Espérance d'une variable aléatoire prenant une infinité
de valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
5
Quelques formules mathématiques utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171
6
Espérance d'une variable aléatoire suivant une loi
géométrique ou une loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Loi géométrique de paramètre p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Loi de Poisson de paramètre λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Probabilités et tests d’hypothèses
7
Espérance du produit de deux variables aléatoires
indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
8
Variance et écart-type d'une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1 Définition de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Autre écriture de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
174
175
175
9
Variances des grandes lois classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Loi binomiale B(n, p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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178
10
Variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . .
10.1 Expression de la variance d’une somme X + Y quelconque . . . . . . .
10.2 Variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes .
10.3 Variance de la somme de n variables aléatoires indépendantes . . . .
10.4 Variance de la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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179
180
180
11
Covariance de deux variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Coefficient de corrélation de X et Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Variance de la loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Un peu d’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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181
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183
12
Récapitulatif des grandes lois classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
13
Fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs
dans N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Les exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Calcul de l’espérance et de la variance de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 Autre expression de la fonction génératice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5 Fonction génératrice et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
186
186
186
187
188
188
Chapitre 8
1
Majorations et convergences
Approximation de la loi hypergéométrique par la loi
binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
226
2
Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . .
229
3
Autres approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
231
4
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Avant-propos
5
Bienaymé-Tchebychev, Bernoulli et Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
6
Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236
6.1 Enoncé de la loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236
6.2 Cas particulier des variables de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236
6.3 Généralisation à p caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237
Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
238
7
Chapitre 9 La loi normale - Approximation par la loi normale
- Lois du χ2 et de Student
1
Préambule mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
248
2
Variable aléatoire à valeurs dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
249
3
Variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite
N (0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250
3.2 Table de valeurs numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251
3.3 Espérance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252
Variables aléatoires suivant la loi normale d'espérance m
et de variance σ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253
4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253
4.2 Calculs numériques avec N (m, σ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
254
5
Utilisation des logiciels commerciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
255
6
Combinaison linéaire de variables aléatoires indépendantes
suivant des lois normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
255
7
Théorème de la limite centrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
257
8
Approximation de la loi binomiale par la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
258
9
Comment appliquer cette approximation binomiale-normale . . . . . . . . . . . .
259
4
2
10
2
Loi du χ à n degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
261
10.1 La définition qui nous sera utile dans la suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
261
10.2 La définition comme loi continue, mais que nous n’utiliserons pas
262
2
10.3 Espérance et variance du χ (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262
10.4 Un théorème de Cochran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263
10.5 Calculs numériques par table et logiciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
264
2
10.6 Asymétrie de la distribution du χ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
10.7 Approximation du χ (n) pour n grand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Probabilités et tests d’hypothèses
11
12
Loi de Student à n degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
265
11.1 La définition que nous utiliserons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
265
11.2 Autre définition que nous n’utiliserons pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
266
11.3 Symétrie de la distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
266
11.4 Valeurs numériques et logiciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
266
11.5 Approximation de la loi de Student pour n grand . . . . . . . . . . . . . . . .
267
Loi de Fischer-Snedecor Fn,m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
267
Chapitre 10 Intervalle de fluctuation - Intervalle de confiance
d'une proportion
1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
284
2
Seuil de risque et niveau de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
285
3
Intervalle de fluctuation d'une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
286
4
Intervalle de confiance d'une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
289
4.1 Modélisation théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
289
4.2 Obtenir numériquement l’intervalle de confiance de p . . . . . . . . . . . . .
291
4.3 Commentaire sur la modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
292
Première approche de la notion d'estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
292
5
Chapitre 11 Estimateurs - Espérance ou variance
1
Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
302
2
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
302
3
Estimateur biaisé ou non biaisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303
4
Estimateur consistant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
304
4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
304
4.2 Une condition suffisante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
304
5
Estimateur de l'espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
305
6
Estimateurs de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
306
6.1 Cas particulier où l’espérance m est connue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
306
6.2 Cas général où l’espérance m est inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
308
Chapitre 12 Intervalle de confiance de l'espérance et de la variance
1
Intervalle de confiance de l'espérance lorsque la variance est
connue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Avant-propos
2
3
4
Intervalle de confiance de l'espérance lorsque la variance est
inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313
Intervalle de confiance de la variance lorsque l'espérance est
connue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
316
Intervalle de confiance de la variance lorsque l'espérance est
inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
317
Chapitre 13 Tests d'hypothèses - Principes généraux
1
Un exemple simple complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Résolution du dilemne ń la pièce est-elle correcte ż ? . . . . . . . . . . . . .
1.2 Analyse détaillée de la démarche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
328
328
329
2
Exemples de tests d'hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
330
3
Hypothèse nulle et hypothèse alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
331
4
Fixer un risque maximal d'erreur de la conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
332
5
Fixer un paramètre à tester et une variable de test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
333
6
Fixer la règle de décision. Zone de rejet et zone
d'acceptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Le principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Zone de rejet bilatère de H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Zone de rejet unilatère à gauche de H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Zone de rejet unilatère à droite de H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
334
334
335
337
338
Les risques de se tromper. La puissance du test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1 Erreur (ou risque) de première espèce d’un test . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Erreur (ou risque) de deuxième espèce d’un test . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Comment retenir ces définitions sans se tromper . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Puissance d’un test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
340
340
341
341
342
7
Chapitre 14 Tests d'hypothèses - La pratique
1
Tests d'hypothèse sur une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Test p = p0 contre p ̸= p0 avec la loi binomiale proprement dite . .
1.2 Test p = p0 contre p ̸= p0 avec l’approximation par la loi normale
1.3 Test p = p0 contre p < p0 avec la loi binomiale proprement dite . .
1.4 Test p = p0 contre p < p0 avec l’approximation par la loi normale
1.5 Test p = p0 contre p > p0 avec la loi binomiale proprement dite . .
1.6 Test p = p0 contre p > p0 avec l’approximation par la loi normale
1.7 Utilisation de la loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Exemple de test p = p0 contre p = p1 et calcul de la puissance. . . .
344
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Probabilités et tests d’hypothèses
2
Tests d'hypothèse sur une espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
2.1 Test m = m0 contre m ̸= m0 lorsque la variance est connue . . . . . . 356
2.2 Test de m = m0 contre m ̸= m0 lorsque la variance est inconnue . 358
2.3 Test m = m0 contre m < m0 lorsque la variance est connue . . . . . . 360
2.4 Test de m = m0 contre m < m0 lorsque la variance est inconnue . 361
2.5 Test m = m0 contre m > m0 lorsque la variance est connue . . . . . . 363
2.6 Test de m = m0 contre m > m0 lorsque la variance est inconnue . 365
2.7 Le test « m < m0 » contre « m > m0 » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
2.8 Comparaison des espérances de deux échantillons indépendants de
même variance connue ou inconnue. Principe général . . . . . . . . . . . . . 367
2.9 Comparaison des espérances de deux échantillons indépendants de
même variance connue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
2.10 Comparaison des espérances de deux échantillons indépendants de
même variance inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
3
Tests d'hypothèse sur une variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Test σ = σ0 contre σ ̸= σ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Test σ = σ0 contre σ < σ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Test σ = σ0 contre σ > σ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Test σ ≤ σ0 contre σ > σ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
375
375
378
381
383
4
Comparaison de deux variances - Test de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Le cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Le test H0 : σx = σy contre H1 : σx > σy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Le test H0 : σx = σy contre H1 : σx ̸= σy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
384
384
385
386
5
Test d'hypothèse ou intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Cas de l’espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Cas de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
388
388
389
Chapitre 15 Variables aléatoires continues - Densité de probabilité
1
Univers infini quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
424
2
Probabilité sur R ayant une densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
425
3
Variable aléatoire à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Fonction de répartition d’une variable aléatoire continue . . . . . . . . .
3.3 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Avant-propos
4
Comment montrer qu'une variable aléatoire a une densité,
et la calculer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
429
5
Variable aléatoire suivant une loi normale N (m, σ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
431
5.1 Loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
431
5.2 Espérance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
432
2
5.3 Variables aléatoires suivant la loi normale N (m, σ ) d’espérance m et
de variance σ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
2
6
7
8
Variable aléatoire suivant une loi exponentielle
de paramètre λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
433
6.1 Définition mathématique et paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
433
6.2 Variable aléatoire sans mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
434
Variable aléatoire suivant la loi uniforme
sur un intervalle [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
435
2
Loi du χ à n degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
437
8.1 La définition qui nous sera la plus utile dans la suite . . . . . . . . . . . . .
437
2
8.2 La densité de la loi du χ (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
438
8.3 Espérance et variance du χ (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
438
Loi de Student à n degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
439
9.1 La définition que nous utiliserons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
439
9.2 La densité de la loi de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
439
10
Loi de Fischer-Snedecor Fn,m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
440
11
Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
441
11.1 Définition et propriétés immédiates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
441
11.2 Densité de la somme X + Y de deux variables indépendantes. . . . .
442
11.3 Deux exemples typiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
443
Loi faible des grands nombres et théorème central limite . . . . . . . . . . . . . .
443
9
12
Chapitre 16 Couples de variables aléatoires discrètes ou continues
1
Couple de variables aléatoires sur un univers fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
468
2
Le cas d'un univers dénombrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
470
3
Couple de variables aléatoires à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
472
4
Fonction de répartition. Calcul de la densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
475
4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
475
4.2 Calcul de la densité à partir de la fonction de répartition . . . . . . . . .
476
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Probabilités et tests d’hypothèses
5
Lois marginales d'un couple de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 L’idée de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Le cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Le cas des variables aléatoires à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Remarque fondamentale de non-unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
478
478
479
481
483
6
Lois conditionnelles dans un couple de variables aléatoires . . . . . . . . . . . .
484
7
Couple de variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1 Variables discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Cas des variables continues à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
486
486
488
8
Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
490
9
Densité de la somme de deux variables aléatoires
indépendantes continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
491
10
Somme de deux variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
493
11
Le théorème de transfert pour les variables discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1 Théorème pour une variable discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Théorème pour un couple de variables discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
494
495
495
12
Le théorème de transfert et sa grande application
pour les variables à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1 Enoncé du théorème de transfert dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Utilisation de ce théorème pour calculer la densité de h(X) . . . . . .
12.3 Théorème de transfert pour un couple de variables à densité . . . . .
12.4 Calcul de la densité de Z = h(X, Y ) connaissant la loi
du couple (X, Y ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
14
496
497
497
498
499
Espérance du produit de deux variables aléatoires
indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
501
Retour sur la covariance de deux variables quelconques . . . . . . . . . . . . . . . .
502
Chapitre 17 Chaînes de Markov élémentaires - Le cas irréductible en détail
1
Un premier exemple qui converge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
538
2
Un deuxième exemple qui ne converge pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
541
3
Définition d'une chaîne de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
541
4
Graphe associé à une chaîne de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
543
5
La matrice de transition de la chaîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
545
6
Utilisation de la matrice de transition P pour passer
du temps n au temps n + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Ecriture avec des vecteurs lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Ecriture avec des vecteurs colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Avant-propos
7
Transition de l'état n à l'état n + m. La matrice P m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
549
8
A propos des matrices stochastiques. Une remarque obscure
pour le moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
550
550
8.2 Une remarque obscure pour le moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
551
9
Chaîne de Markov irréductible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
552
10
Chaîne de Markov régulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
553
11
Loi invariante d'une chaîne irréductible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
554
12
Convergence d'une chaîne irréductible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1 Quelle est la limite éventuelle ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
556
557
12.2 En terme de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
557
Les conditions nécessaires et suffisantes de convergence
d'une chaîne irréductible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1 Enoncés et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
558
558
13.2 Indications de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
560
14
Calcul explicite de l'état au temps général n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
561
15
Chaînes de Markov irréductibles périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
562
563
15.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3 Plus généralement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
564
568
Chaînes de Markov réductibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
569
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 1 — #16
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Chapitre 1
Dénombrements dans un
ensemble fini
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Ensembles et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produit d'ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cardinal d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arrangements de n objets p à p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Combinaisons de n objets p à p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les formules classiques avec les combinaisons . . . . . . . . . . . . . . .
Dérangements de n éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
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17
Calculer des probabilités consiste majoritairement à savoir dénombrer des
« cas possibles » et des « cas favorables ». Nous allons donc commencer
par un premier chapitre sur les dénombrements dans un ensemble fini.
Le premier paragraphe est formé de rappels sur la théorie des ensembles.
Cette théorie débouche vite sur des questions à la fois compliquées et
presque philosophiques. Pour simplifier les choses, à notre niveau, nous
parlons des opérations ensemblistes à l’intérieur d’un certain ensemble
donné et connu E.
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Probabilités et tests d’hypothèses
1. Ensembles et opérations
Rappelons qu’un ensemble E est constitué d’éléments, et que ces éléments sont tous
distincts. Une partie, ou sous-ensemble, de E contient quelques éléments de E.
N’oublions pas l’ensemble vide, noté ∅, qui ne contient aucun élément, mais qui est très
utile.
1.1 Inclusion
Un ensemble A est inclus dans un ensemble B lorsque chaque élément de A appartient
aussi à B. On note A ⊂ B.
A est donc un sous-ensemble de B.
1.2 Réunion de deux parties de E
Etant donnés deux parties A et B de E, la réunion A ∪ B est la partie de E formé des
éléments de E appartenant soit à A soit à B.
Les ensembles A et B peuvent avoir des éléments en commun :
ou bien ne pas en avoir
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Chapitre 1
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Dénombrements dans un ensemble fini
On a évidemment A ∪ ∅ = A.
La réunion est associée au mot OU :
x ∈ A ∪ B ⇐⇒ (x ∈ A) ou (x ∈ B)
Il s’agit du « ou » que l’on appelle « inclusif » : un élément de A ∪ B appartient à A
ou à B, et il peut très bien appartenir aux deux ensembles.
La réunion se généralise évidemment à un nombre quelconque de sous-ensembles de E.
1.3 Intersection de deux parties de E
Etant donnés deux sous-ensembles A et B de E, l’intersection A ∩ B est la partie de
E formée des éléments appartenant à la fois à A et à B.
On a évidemment A ∩ ∅ = ∅.
L’intersection est associée au mot ET :
x ∈ A ∩ B ⇐⇒ (x ∈ A) et (x ∈ B)
L’intersection se généralise aussi à un nombre quelconques de sous-ensembles de E.
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Probabilités et tests d’hypothèses
1.4 Parties disjointes
On dit que deux parties A et B de E sont disjointes lorsque leur intersection est vide :
il n’existe aucun élément de E qui soit à la fois dans A et dans B.
Plus généralement, on dit que les n parties A1 , · · · , An de E sont disjointes lorsque
Ai ∩ Aj = ∅ pour tout i ̸= j. Cette notion se généralise à une infinité de parties de E,
évidemment.
1.5 Complémentaire d'une partie de E
Si A est une partie de E, l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A
s’appelle complémentaire de A dans E, et se note A.
On a évidemment
• E = ∅.
• ∅ = E.
• A et A sont disjoints.
• E = A ∪ A.
En français, la négation de « OU » est « ET » et réciproquement. Il est facile de voir
que
A∪B =A∩B
A∩B =A∪B
Ceci s’exprime en français sous la forme suivante :
• Le contraire de « l’une des deux propriétés est vraie » est « les deux sont fausses ».
• Le contraire de « les deux propriétés sont vraies » est « l’une ou l’autre est
fausse ».
Ces deux relations avec le complémentaire se généralisent à un nombre quelconque de
parties de E.
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Chapitre 1
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Dénombrements dans un ensemble fini
1.6 Partition de E
Voici une notion sans doute nouvelle, et très importante en probabillités.
Définition. Une famille A1 , A2 , · · · , An de parties non vides de E forme une
partition de E lorsque :
Elles sont disjointes : Ai ∩ Aj = ∅ pour tout i ̸= j.
Leur réunion est égale à E :
n
∪
Ai = E.
i=1
Voici quelques exemples.
1. Si A est une partie non vide et est différente de E tout entier, alors A et son
complémentaire A forment une partition de E.
2. Dans un jeu de cartes, les quatre couleurs forment une partition.
3. Dans un jeu de cartes, on obtient une partition en mettant dans A1 les as, dans
A2 les rois, dans A3 les dames et ainsi de suite. On obtient une partition en 13
parties ayant chacune 4 éléments.
4. Soit E l’ensemble des Français. Appelons A1 l’ensemble des gens nés au mois de
janvier, A2 l’ensemble de ceux nés en février et ainsi de suite. A1 , A2 , · · · , A12
forment une partition de E.
5. Soit E l’ensemble des familles de France. Notons A0 l’ensemble de celles sans
enfant, A1 l’ensemble de celles ayant un enfant, et ainsi de suite. Dans l’hypothèse
purement théorique où une famille peut avoir un nombre quelconque d’enfants
(!!!), la famille infinie A0 , A1 , A2 , · · · forme une partition de E.
6. Plus mathématique : soit An = [n, n+1[. La famille infinie des An , lorsque n ∈ Z,
forme une partition de R.
Evidemment, les différentes parties formant une partition de E n’ont aucune raison
d’avoir toutes le même nombre d’éléments ! Cela est vrai dans les exemples 2 et 3, mais
faux dans les autres.
⊔
∪
Notation. On utilise l’opérateur , bien « rectangulaire » au lieu du
plus
arrondi pour indiquer qu’une réunion se fait avec des ensembles disjoints. Pour
n
⊔
une partition de E, on notera donc E =
An . Mais ceci n’a aucun caractère
i=1
obligatoire.
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Probabilités et tests d’hypothèses
2. Produit d'ensembles
Dans ce paragraphe, E et F sont deux ensembles quelconques.
Définition. Le produit E × F est l’ensemble des couples (x, y) lorsque x décrit
E et y décrit F .
Exemples
– Si E = {a, b, c} et F = {1, 2},
alors E × F = { (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }.
– Le produit R × R est l’ensemble des couples (x, y) de réels. C’est le plan.
– Z × Z est l’ensemble des couples (n, m) d’entiers relatifs, à savoir les points
du plan dont les deux coordonnées sont des entiers.
Cette définition se généralise au produit de n ensembles E1 , E2 , · · · , En : c’est l’ensemble
des n−uplets (e1 , e2 , · · · , en ) où ei est un élément quelconque de Ei .
Souvent, on fait le produit n fois de suite du même ensemble. On le note E n au lieu
de E × E × · · · × E.
Par exemple, si E = {0, 1}, alors
E 3 = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0) }
3. Cardinal d'un ensemble
Le cardinal d’un ensemble désigne le nombre de ses éléments. . .Ceci pose un problème
lorsque l’ensemble est infini. Nous n’entrerons pas dans ce cas de figure.
Dans la suite du chapitre, E désigne un ensemble fini : cela veut dire que l’on peut
numéroter ses éléments sous la forme e1 , e2 , · · · , em où m est un entier naturel.
Le cardinal de E, à savoir cet entier m, se note |E|.
Voici les quelques propriétés importantes sur les cardinaux. Nous travaillons toujours
avec des parties d’un certain ensemble E donné.
1. Si A et B sont disjointes, alors |A ∪ B| = |A| + |B|.
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Chapitre 1
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Dénombrements dans un ensemble fini
2. Plus généralement, si A1 , A2 , · · · An sont disjoints, alors le cardinal de la réunion
des Ai est égal à la somme des cardinaux des Ai .
n
∑
3. En particulier, si A1 , A2 , · · · , An est une partition de E, alors |E| =
|Ai |.
i=1
4. |A × B| = |A| × |B|. En effet, si A = {a1 , · · · , an } et B = {b1 , · · · , bm }, l’ensemble
produit A × B = {(ai , bj ) } compte n × m éléments.
5. En particulier, si |E| = n, alors le cardinal de E p est np . En effet, dans une suite
(e1 , e2 , · · · , ep ) de p éléments de E, on a n choix pour e1 , n choix pour e2 et ainsi
de suite. Il y a donc np choix au total.
6. La dernière propriété est plus délicate et fondamentale. Elle mérite un encadré
spécial
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Pour A et B quelconques
En effet, quand on fait la somme |A| + |B|, on compte une fois chaque élément
de A ne se trouvant pas dans B, une fois chaque élément de B ne se trouvant pas
dans A, mais deux fois chaque élément se trouvant à la fois dans A et dans B. Il
faut donc enlever une fois ces éléments communs comptés en double.
Il existe une généralisation de cette formule à la réunion de n ensembles. Mais elle est
vite pénible. Pour trois ensembles, on a
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |C ∩ A| + |A ∩ B ∩ C|
Exemple
Combien a-t-on d’entiers compris entre 1 et 300 inclus, qui sont divisibles par 5
mais qui ne sont ni divisibles par 4, ni divisibles par 7 ?
• On se place dans l’ensemble E des entiers de 1 à 300 qui sont divisibles par
5 : ils sont de la forme 5k avec 1 ≤ k ≤ 60, ce qui en fait |E| = 60.
• Soit A (respectivement B) le sous-ensemble de E formé des entiers divisibles
par 4 (respectivement 7). On cherche A ∪ B. On calcule le cardinal de A ∪ B.
• A est l’ensemble des entiers de 1 à 300 divisibles par 5 et 4, i.e. par 20. Ils
sont de la forme 20k avec 1 ≤ k ≤ 15, et |A| = 15.
• B est l’ensemble des entiers de 1 à 300 divisibles par 5 et 7, i.e. par 35. Ils
sont de la forme 35k avec 1 ≤ k ≤ 8, et |B| = 8.
• A ∩ B est l’ensemble des entiers de 1 à 300 divisibles par 5 et 4 et 7, i.e. par
140. Il y en a deux (140 et 280), et |A ∩ B| = 2.
• On a donc |A ∪ B| = 15 + 8 − 2 = 21. Dans E, il reste 60 − 21 = 39 entiers
comme on le souhaite.
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Probabilités et tests d’hypothèses
4. Permutations
On se donne un ensemble E = {e1 , e2 , · · · , en } à n éléments. Pour simplifier les notations, on va travailler sur E = {1, 2, · · · , n}.
4.1 Exemple
Dans un ensemble, il n’y a pas d’ordre, et l’ensemble E = {1, 2, 3} est identique à
l’ensemble {2, 1, 3}. Par contre, on peut s’intéresser aux suites de trois éléments distincts
formées avec les éléments de E. Dans le mot suite, il y a un ordre sous- entendu, c’està-dire qu’il y a un premier terme, un deuxième terme et un troisième terme. Les suites
possibles de 3 termes construites à partir de E sont au nombre de six, et elles sont
toutes distinctes :
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)
Chacune de ces suites s’appelle une permutation des éléments de E.
4.2 Définition
On appelle permutation des éléments d’un ensemble E toute suite ordonnée des
éléments de E, chaque élément de E intervenant une et une seule fois.
Si E possède n éléments, une permutation de E est donc une suite contenant aussi n
éléments.
L’exemple ci-dessus nous donne toutes les permutations de E = {1, 2, 3}.
4.3 Nombre de permutations d'un ensemble
à n éléments
Théorème et définition.
avec
Un ensemble à n éléments compte n! permutations,
n! = n × (n − 1) × · · · × 1
Le nombre n! est le produit de tous les entiers compris entre 1 inclus et n inclus.
Ce nombre se lit « factorielle n ».
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Chapitre 1
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Dénombrements dans un ensemble fini
En effet, nous avons n choix possibles du premier terme de la permutation. Pour le
second terme, il reste seulement n − 1 choix possibles. Pour le troisième, il reste n − 2
choix possibles, et ainsi de suite. Pour le dernier terme, il y a un unique choix possible.
Au total, nous faisons le produit n × (n − 1) × (n − 2) · · · × 2 × 1 de tous ces nombres
de choix.
On a 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120 · · ·. Cette suite tend vers l’infini très
vite.
• Par convention, on pose 0! = 1, ce qui sera très pratique.
• la suite des factorielles vérifie la relation de récurrence n! = n × (n − 1)!, avec
l’initialisation 0! = 1.
4.4 Quelques exemples
Exemple 1
Cherchons le nombre d’anagrammes du prénom ALICE. Un anagramme est une
permutation quelconque des lettres d’un mot, que cela ait un sens en français ou
non. Ici, nous avons 5 lettres différentes, et les 5! permutations des cinq lettres
nous donnent 5! = 120 anagrammes distincts.
Exemple 2
Cherchons le nombre d’anagrammes du prénom EMILE. Il y a aussi cinq lettres,
mais on a deux fois la lettre E. Il est donc faux de dire qu’il y a 5! anagrammes.
Si les deux lettres E étaient distinctes (une en bleu, l’autre en rouge), on aurait
bien 5! anagrammes, mais MEILE avec le premier E rouge et le second en bleu,
est le même anagramme que MEILE avec le premier E en bleu et le second en
rouge. Chaque anagramme est trouvé deux fois, et la vraie réponse est donc
5!
= 60.
2
Exemple 3
Cherchons le nombre d’anagrammes de « constitutionnel ». Si les 15 lettres
étaient distinctes, il y aurait 15! anagrammes (permutations possibles). Mais
on rencontre trois fois la lettre « t », par exemple. En les considérant comme
distincts, nous avons compté 3! fois chaque anagramme : si l’on peint les trois
« t » de couleurs différentes, il y a 3! façons de les permuter entre elles, mais cela
donne le même anagramme. Il faut donc diviser notre 15! par 3! pour le « t ». Il
faut aussi le diviser par 3! (pour le « n »), par 2! (pour le « i ») et par 2! encore
15!
pour le « o ». On obtient 2 2 anagrammes.
2! 3!
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Probabilités et tests d’hypothèses
Exemple 4
Cinq garçons et quatre filles vont au cinéma, et s’assoient sur la même rangée.
• Ils ont 9! façons possibles de s’asseoir.
• S’ils veulent que chaque fille soit à côté d’un garçon, les cinq places des garçons
sont imposées (les numéros 1, 3, 5, 7, 9) et celles des filles le sont aussi. Les
filles ont donc 4! façons de se répartir sur les places qui leur sont réservées, et
les garçons en ont 5!. Il y a donc 4! × 5! possibilités d’avoir cette alternance
fille-garçon.
5. Arrangements de n objets p à p
5.1 Exemple
Soit E = {1, 2, 3, 4}. Regardons les suites ordonnées de deux éléments distincts pris
dans E : ce sont donc les suites (a, b), avec a et b distincts dans E, et la suite (b, a) est
différente de la suite (a, b). On obtient
(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3)
Une telle petite suite s’appelle arrangement des quatre éléments de E deux à deux.
5.2 Définition
Un arrangement de n éléments p à p est une suite ordonnée de p éléments choisis
parmi ces n éléments de départ.
On fera très attention à la notion d’ordre qui existe ici.
Exemple 1
Soit E = {a, b, c, d, e} un ensemble à cinq éléments. {a, b, d} , {a, d, b} ou {c, e, a}
sont des arrangements de ces cinq éléments trois à trois. On fera attention que
{a, b, d} est différent de {a, d, b}.
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Exemple 2
Prenons une course hippique avec 20 partants. Un quinté est un arrangement de
ces 20 chevaux 5 à 5. La notion d’ordre est fondamentale, un seul est gagnant !
Dans le langage courant, on parle de quinté dans le désordre pour désigner une
permutation du quinté gagnant.
5.3 Calcul du nombre d'arrangements
Théorème. Il y a Apn = n(n − 1) · · · (n − p + 1) arrangements de n objets p à p.
En effet, il y a n choix possibles pour le premier terme de la suite. Pour le deuxième, il
y en a seulement n − 1. Pour le dernier, comme p − 1 éléments ont été utilisés, il reste
le choix parmi les n − (p − 1) = n − p + 1 éléments restants. On fait ensuite le produit
de tous ces nombres de choix.
Exemple 1
Il y a A35 = 5 × 4 × 3 = 60 arrangements possibles de cinq objets trois à trois.
Exemple 2
Pour n = p, on on obtient les suites ordonnées de tous les n éléments de l’ensemble, à savoir les permutations de l’ensemble. On a Ann = n!, ce que la formule
de calcul redonne bien.
Exemple 3
Soient n lecteurs et m ≥ n livres. Le nombre de façons de distribuer des livres
pour que chaque personne est exactement un livre est le nombre Anm d’arrangements de ces m livres n à n.
L’expression de Apn est relativement facile à retenir : on fait le produit des p entiers
décroissants à partir de n.
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Probabilités et tests d’hypothèses
6. Combinaisons de n objets p à p
6.1 Exemple
Soit E = {1, 2, 3, 4} ensemble à 4 éléments. Intéressons-nous aux « paquets » de 2
objets pris dans cet ensemble, paquets sans ordre. Il s’agit donc, autre formulation, de
trouver les sous-ensembles de E à 2 éléments. On obtient
(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)
et c’est tout. Le paquet (4, 2) est identique au paquet (2, 4) et est bien dans la liste.
Un tel paquet s’appelle une combinaison des quatre éléments de E deux à deux.
6.2 Définition
Une combinaison de n objets p à p est un ensemble de p objets pris parmi les n en
question.
En termes ensemblistes, c’est un sous-ensemble à p éléments d’un ensemble à n
éléments
Dans la notion de combinaison, l’ordre disparaît. C’est différent de l’arrangement, où
nous avons un ordre.
6.3 Calcul du nombre de combinaisons
Chaque combinaison de n objets p à p donne naissance à p! arrangements : on permute
de toutes les façons possibles les p éléments de la combinaison.
On a donc une relation
( )
n
simple entre le nombre d’arrangements et le nombre
de combinaisons :
p
Apn
( )
n
= p!
p
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Théorème. Le nombre de combinaisons de n objets p à p est donné par
( )
n(n − 1) · · · (n − p + 1)
n
=
p
p!
( )
n
♠ Il existe une autre notation plus ancienne :
se note aussi Cnp . Cette anp
cienne notation sera très utilisée dans ce cours, surtout dans les formules un peu
« lourdes », car elle prend moins de place sur la page.
Pour le calcul numérique, l’expression encadrée ci-dessus est la plus rapide et la plus
simple à retenir :
( )
le produit des p entiers décroissants à partir de n
n
=
p
p!
Exemple 1
( )
5×4×3
5
=
= 10.
3
3!
Exemple 2
On se donne un sac avec n boules rouges et n blanches. On tire sans remise trois
boules.
( )
2n
tirages
• Un tirage est une combinaison de 2n éléments 3 à 3 : il y a
3
possibles.
• On ne confondra pas ce nombre de tirages possibles avec la nature du tirage :
on obtient {B,B,B} ou {B,B,R} ou {B,R,R} ou {R,R,R}. Il y a quatre natures
de tirages possibles.
• Le nombre de tirages où l’on obtient uniquement
( ) du rouge est le nombre de
n
combinaisons des n boules rouges 3 à 3, i.e.
.
3
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Probabilités et tests d’hypothèses
( )
n
6.4 Expression de
avec les factorielles
p
Sachant que n(n − 1) · · · (n − p + 1) =
n!
, on a aussi la formule classique
(n − p)!
( )
n!
n
=
p
p!(n − p)!
qui n’est pas très rapide pour le calcul numérique, mais très utile dans les exercices
théoriques.
Cette expression permet par exemple de voir facilement que l’on a
( )
(
)
n n−1
n
=
pour 1 ≤ p ≤ n
p
p p−1
7. Les formules classiques avec les
combinaisons
( )
n
Les
jouent un tel rôle dans la vie qu’elles méritent un paragraphe particulier.
p
Voici, sans ordre spécial d’importance relative, un certain nombre de formules intéressantes.
7.1 Valeurs aux bornes
On a clairement
( ) ( )
n
n
=
= 1,
0
n
( )
n
= n,
1
( )
n(n − 1)
n
=
2
2
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7.2 Une forme de symétrie
Quand on fait un paquet de p objets parmi n, il en reste exactement n − p. Le nombre
de combinaisons de n objets p à p est donc égal au nombre de combinaisons de ces n
objets n − p à n − p :
( ) (
)
n
n
=
p
n−p
Cette égalité est d’ailleurs évidente sur la formule
( )
n!
n
=
.
p
p!(n − p)!
7.3 Le triangle de Pascal
Prenons un élément dans nos n éléments, et mettons-lui un noeud rouge. Il y a deux
sortes de paquets de p objets pris parmi ces n :
• Ceux qui ne contiennent pas le noeud
rouge
: on doit prendre p éléments parmi
(
)
n−1
les n − 1 restants, ce qui donne
possibilités.
p
• Ceux qui contiennent ce noeud rouge
( : on) doit lui ajouter p − 1 éléments pris
n−1
possibilités.
parmi les n − 1 restants. Cela fait
p−1
Le nombre total de combinaisons p à p est la somme de ces deux éventualités. On
obtient la formule immensément importante
) (
)
( ) (
n
n−1
n−1
=
+
p
p−1
p
Pour 1 ≤ p ≤ n − 1,
On peut donc calculer les combinaisons suivant le procédé suivant, appelé triangle de
Pascal :
n=1
n=2
n=3
n=4
1
n=5
1
n=6 1
6
1
2
1
1
3
4
5
1
3
6
10
15
1
4
10
20
1
5
15
1
6
1
15
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 16 — #31
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maths
Probabilités et tests d’hypothèses
Dans chaque ligne, un élément est égal à la somme des deux qui sont au-dessus de
( lui
)
7
(un à gauche et un à droite) dans la ligne du dessus. Pour ajouter la ligne des
p
dans le triangle amorcé ici, on ajoute la ligne composée de
1
1+6=7
6 + 15 = 21
15 + 20 = 35
20 + 15 = 35
15 + 6 = 21
6+1=7
1
7.4 La formule du binôme de Newton
Il est vital de la connaître par coeur !
n
(a + b) =
n ( )
∑
n
p=0
p
ap bn−p
Les premières formules sont importantes à savoir directement
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
Les coefficients de (a + b)n se lisent directement sur la ligne numéro n du triangle
de Pascal.
Cette formule peut se démontrer par récurrence. On peut aussi la montrer directement
de façon combinatoire :
Pour obtenir ap bn−p , on doit, parmi les n termes a + b, en choisir p où l’on prend
le
( )
n
terme a et l’on prend ensuite b dans les n − p termes qui restent. Il y a donc
p
façons de le faire.
( ) ( )
( )
n
n
n
7.5 La somme
+
+ ··· +
0
1
n
Quand on fait a = b = 1 dans le binôme de newton, on obtient la célèbre somme
( ) ( )
( )
n
n
n
+
+ ··· +
= 2n
0
1
n
Cette relation donne une démonstration du résultat suivant :
16
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 17 — #32
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Chapitre 1
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Dénombrements dans un ensemble fini
Un ensemble à n éléments contient 2n sous-ensembles, y compris lui-même et
l’ensemble vide.
( )
( )
n
n
En effet, un tel ensemble E admet
partie à zéro élément (le vide),
parties
0
1
( )
( )
n
n
à un élément,
parties à deux éléments, . . .,
parties à p éléments, jusqu’à
2
p
( )
n
partie à n éléments (lui-même). En faisant la somme, on obtient le nombre total
n
de sous-ensembles de E.
7.6 D'autres sommes du même style
En faisant a = −b, on obtient la relation
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
n
n
n
n
n
n
p
n
−
+
−
+ · · · + (−1)
+ · · · + (−1)
=0
0
1
2
3
p
n
un peu plus délicate à manipuler, car la parité de n intervient.
En cherchant le coefficient de ap bn+m−p dans (a + b)n+m = (a + b)n × (a + b)m , on peut
obtenir d’autres relations, comme par exemple
)
(
∑ (n)(m)
n+m
=
j
i
p
i+j=p
8. Dérangements de n éléments
Ce paragraphe est donné à titre de culture générale seulement.
Exemple
Pour Noël, n personnes viennent chacune avec un cadeau. Les cadeaux sont
répartis de façon que personne ne reparte avec le cadeau qu’il a amené. On fait
donc une permutation des cadeaux, mais de telle sorte que personne ne garde
son cadeau.
On dit que l’on a fait un dérangement des cadeaux.
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 18 — #33
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maths
Probabilités et tests d’hypothèses
Un dérangement de n éléments est une permutation où aucun élément ne garde sa
place.
Cette définition est simple, mais elle sous-entend que l’on impose au départ un ordre
dans l’ensemble, pour que l’on puisse parler de la « place de chaque élément ».
Exemple
(2, 3, 5, 6, 4, 1) est un dérangement de (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Il est peut-être plus rigoureux de donner la définition suivante :
Un dérangement d’un ensemble E est une application f de E dans lui-même possédant
les deux propriétés :
• Si x ̸= y, alors f (x) ̸= f (y).
• f (x) ̸= x, pour tout x ∈ E.
Il existe une formule explicite donnant le nombre de dérangements de [1..N ] :
Le nombre de dérangements de [1..n] est donné par
(
1
1
1)
dn = n! × 1 − + − · · · + (−1)n
1! 2!
n!
18
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 19 — #34
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Chapitre 1
i
Dénombrements dans un ensemble fini
Exercices
( )
n
Nous utilisons soit la notation
soit la notation ancienne Cnp pour représenter le
p
nombre de combinaisons de n objets p à p. L’ancienne notation a l’unique avantage
typographique de prendre moins de place !
▶ Exercice 1 On se donne une urne contenant 10 boules rouges et 10 boules noires.
On tire deux boules sans remise.
1. Quel est le nombre de tirages possibles ?
2. Quel est le nombre de tirages possibles où les boules sont de couleurs différentes ?
3. Quel est le nombre de tirages où les deux boules sont rouges ? Où les deux boules
sont de même couleur ?
4. A partir des questions 2 et 3, retrouver le résultat de la question 1.
5. On tire ces deux boules de la façon suivante : on tire une première boule (que l’on
ne remet pas dans l’urne) et dont on note la couleur, puis une seconde boule dont on
note aussi la couleur.
a) Quel est le nombre de tirages où la première boule est rouge et la seconde est
noire ? Où la première boule est noire et la seconde est rouge ?
b) Comment peut-on retrouver ainsi le résultat de la question 2 ?
6. Hormis le petit souci apparent de la question 5, que faut-il garder en mémoire dans
cet exercice, et plus généralement dans tout tirage où il y a plusieurs boules de même
couleur ?
Corrigé
2
1. C’est le nombre de combinaisons des 20 boules deux à deux, soit C20
=
20×19
2
= 190.
2. Nous avons 10 choix possibles pour la boule rouge, et de même pour la noire. Cela
fait 102 = 100 tirages possibles.
3. Nous tirons deux boules parmi les dix boules rouges, sans ordre, ce qui donne une
2
combinaison. Nous avons donc C10
= 10×9
= 45 tirages possibles. On a le même
2
résultat pour deux boules noires. Le nombre de tirages où les deux boules sont de
même couleur est donc la somme 45 + 45 = 90.
4. Un tirage donne soit deux boules de couleurs différentes (question 2), soit deux
boules de même couleur (question 3). Le nombre total de tirages est donc la somme
du nombre de tirages avec deux boules différentes et du nombre de tirages avec deux
boules de même couleur. On obtient ainsi 100 + 90 = 190, et l’on retrouve le résultat
de la question 1.
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 20 — #35
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maths
Probabilités et tests d’hypothèses
5. a) Nous avons 10 choix pour la première boule rouge et aussi 10 pour la seconde
boule, noire. Cela donne 102 = 100 tirages possibles. Il en va de même pour
l’ordre inverse des couleurs.
b) La première idée est la suivante : tirer deux boules de couleur différentes revient à
tirer d’abord une rouge puis une noire, ou bien tirer d’abord une noire et ensuite
une rouge. Ces deux situations sont disjointes, et il faut donc faire la somme
100 + 100 = 200 possibilités. On ne retrouve pas le résultat de la question 2.
Cette méthode est donc fausse ! L’erreur est la suivante : tirer d’abord rouge puis
noire ou bien d’abord noire puis rouge donne le même résultat, i.e. deux boules
de couleur différentes. Chaque tirage bicolore est donc compté deux fois avec le
raisonnement que nous venons de faire ! Il faut donc diviser ce total de 200 par 2,
pour retrouver la vraie valeur de 100.
6. Nous considérons l’urne comme un ensemble à 20 éléments, ce qui sous-entend que
ces éléments sont distincts. Moralement, nous avons donc numéroté les boules rouges
pour les rendre distinctes (par exemple de 1 à 10) et de même pour les boules noires
(par exemple de 11 à 20).
▶ Exercice 2
Combien d'anagrammes des mots suivants peut-on former :
(a) CHIEN
(b) POISON
(c) POISSONS
(d) ASSASSINATS
Corrigé
(a) Les cinq lettres sont différentes, et il y a donc 5! façons de les permuter.
(b) Si l’on distinguait les deux « O », il y aurait 6! anagrammes possibles. Mais il y a
6!
anagrammes.
2! façon de permuter ces deux « O » entre eux. Cela donne donc
2!
(c) Comme il y a huit lettres, mais deux fois le « O » et le trois fois le « S », cela donne
8!
anagrammes.
2! × 3!
(d) Comme le « A » intervient trois fois et le « S » cinq fois dans ce mot de 11 lettres,
11!
on aura
anagrammes.
3! × 5!
▶ Exercice 3
Trouver le nombre de mots de deux voyelles et trois consonnes que l'on
peut former avec six voyelles et vingt consonnes, sachant que les mots ne peuvent pas
contenir trois consonnes consécutives.
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 21 — #36
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Chapitre 1
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Dénombrements dans un ensemble fini
Corrigé
• Déterminons les configurations possibles, i.e. la place des voyelles et des consonnes.
A priori, il faut fixer les deux places de voyelles parmi cinq places, ce qui donne
C52 = 10 configurations possibles. Mais comme trois consonnes ne peuvent pas
être consécutives, il faut éliminer les trois configurations vvccc, vcccv et cccvv. Il
reste sept configurations possibles.
• Pour chaque configuration possible, il y a 62 possibilités pour les deux voyelles et
203 pour les trois consonnes.
On obtient 7 × 62 × 203 mots possibles.
▶ Exercice 4
Une course hippique compte 20 partants. Les chevaux sont identifiés
par leur numéro entre 1 et 20 bien sûr. On appelle tiercé la liste ordonnée des trois
premiers chevaux arrivant. On s'intéresse particulièrement au numéro Huit.
1. Combien
2. Combien
troisième ?
3. Combien
4. Combien
différentes.
a-t-on de tiercés possibles ?
a-t-on de tiercés où le 8 est gagnant ? Où le 8 est second ? Où le 8 est
a-t-on de tiercés où figure le 8 ?
a-t-on de tiercés où le 8 ne figure pas ? On donnera deux démonstrations
Corrigé
1. Un tiercé est un arrangement des 20 chevaux 3 à 3, puisqu’il y a un ordre à l’arrivée.
On en a donc A32 = 20 × 19 × 18.
2. Avec le 8 en tête du tiercé, il reste 19 choix possibles pour le second et 18 pour
le troisième. Cela donne 19 × 18 possibilités. On a le même raisonnement et le même
résultat pour les deux autres cas.
3. C’est la réunion des trois ensembles disjoints « le 8 est premier », « le 8 est second »,
« le 8 est troisième ». On fait donc la somme des trois cardinaux, ce qui donne 3×19×18.
4. Comme il y a 20 × 19 × 18 tiercés possibles et 3 × 19 × 18 tiercés contenant le 8, il
reste 20 × 19 × 18 − 3 × 19 × 18 = 17 × 19 × 18 tiercés où le 8 ne figure pas. On peut
aussi dire la chose suivante : les tiercés sans le 8 sont les arrangements des 19 chevaux
autres que le 8, pris 3 à 3. Cela fait A319 = 19 × 18 × 17.
▶ Exercice 5
On utilise un dé non truqué. On lance quatre fois de suite le dé, et on
note le numéro sorti à chaque fois. On appelle jeu la suite de ces quatre lancers. Pour
0 ≤ k ≤ 4, on note Ak le nombre de jeux où le 6 est sorti exactement k fois.
1. Combien a-t-on de jeux possibles ? Combien en a-t-on où le 6 ne sort jamais ? Où
seul le 6 est sorti ?
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 22 — #37
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maths
Probabilités et tests d’hypothèses
2. Plus généralement, combien a-t-on de jeux possibles avec :
(a) le 6 sort exactement une fois.
(b) le 6 sort exactement deux fois.
(c) le 6 sort exactement trois fois.
3. Quelle relation a-t-on entre tous ces nombre de jeux calculés ? Donner une formule
générale pour Ak .
4. Combien a-t-on de jeux où le 6 est sorti au moins deux fois ?
Corrigé
1. Il y a 6 possibilités pour chacun des quatre lancers, ce qui donne 64 = 1296 jeux
possibles.
Le 6 ne sort jamais si et seulement si c’est l’une des faces de 1 à 5 qui sort à chaque
fois. Il y a 5 faces possibles à chaque fois, ce qui donne A0 = 54 = 625.
Il y a une seule possibilité pour que le 6 sorte à chaque fois. On a A4 = 1.
2. (a) Pour avoir exactement une fois le 6, on doit avoir exactement trois fois l’une
des cinq autres faces. Si, par exemple, le 6 sort en premier, cela donne 1 × 53 jeux
possibles. Mais le 6 peut sortir aussi bien au lancer 2 ou 3 ou 4, ce qui fait au total
A1 = 4 × 53 = 500 jeux possibles.
(b) Fixons les deux positions de sortie du 6 : il reste cinq possibilités pour chacun des
deux autres lancers, ce qui fait 52 jeux possibles. Comptons combien il y a de façons
de choisir les
de façon de combiner 4 objets deux à
( deux
) sorties du 6 : c’est le (nombre
)
4
4
deux, soit
. On a finalement A2 =
× 52 = 6 × 52 = 150.
2
2
( )
4
(c) Le même principe nous donne A3 =
× 5 = 4 × 5 = 20.
3
3. La somme
4
∑
Ak est évidemment égale à 64 , le nombre total de jeux.
k=0
Montrons que l’on a Ak =
( )
4
× 54−k :
k
( )
4
• Il y a
façons de placer les k sorties du 6 parmi les 4 lancers.
k
• Pour chaque position des 6, il y a 54−k sorties possibles pour les 4 − k autres
lancers.
( )
( )
( )
4
4
4
2
4. C’est A2 + A3 + A4 =
5 +
5+
50 = 171.
2
3
4
▶ Exercice 6 On a un conseil municipal formé de 56 conseillers dont 20 vont voter
pour le candidat A et 36 pour le candidat B lors de l'élection du maire.
On prend un échantillon de 15 conseillers.
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 23 — #38
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Chapitre 1
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Dénombrements dans un ensemble fini
1. Combien a-t-on d’échantillons possibles ?
2. Combien a-t-on d’échantillons où tout le monde va voter A ?
3. Soit 0 ≤ k ≤ 15. Combien a-t-on d’échantillons où k personnes vont voter A et les
autres B ?
Corrigé
(
)
56
.
15
( )
20
2. Les 15 personnes sont à prendre parmi les 20 partisans de A. Il y a
tels
15
échantillons.
( )
20
3. Il faut choisir k personnes parmi les 20 partisans de A, ce qui fait
possibilités,
(
)k
36
et 15 − k personnes parmi les 36 partisans de B, ce qui fait
possibilités. Au
15
−k
( ) (
)
20
36
total, cela nous donne
×
échantillons possibles.
k
15 − k
1. Un échantillon est une combinaison des 56 personnes 15 à 15 : il y en a
▶ Exercice 7
Une urne contient 10 boules rouges, 5 noires, 3 jaunes et 2 vertes. On
tire quatre boules sans remise.
1. Combien a-t-on de tirages possibles ?
2. Combien a-t-on de tirages avec une boule de chaque couleur ?
3. Combien a-t-on de tirages avec exactement 2 boules rouges ?
4. Combien a-t-on de tirages sans aucune boule rouge ?
5. Combien a-t-on de tirages avec au moins une boule rouge ?
Corrigé
(
1. Un tirage est un paquet sans ordre de 4 boules parmi 20 : il y en a
)
20
.
4
2. Il y a 10 choix possibles pour la boule rouge, et ainsi de suite pour les autres couleurs.
Cela donne donc 10 × 5 × 3 × 2 tirages possibles.
3. Il y a 10 boules rouges
( )et 10 boules non rouges. Il faut tirer 2 boules parmi les
10
rouges, ce qui donne
possibilités, et 2 boules parmi les 10 non rouges, ce qui
2
( )
10
donne aussi
possibilités. Le nombre total de choix est le produit des deux, soit
2
( )2
10
.
2
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 24 — #39
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maths
Probabilités et tests d’hypothèses
(
)
10
4. Toutes les boules sont à tirer parmi les 10 non rouges, soit
possibilités.
4
5. Le contraire de « au moins une rouge » est « aucune rouge ». Notre ensemble est
donc le complémentaire (dans l’ensemble de tous les tirages
) ( de)la question 1)
( possibles
20
10
.
de l’ensemble défini en question 4. Son cardinal est donc
−
4
4
▶ Exercice 8
Une urne contient 10 boules rouges, 5 noires, 3 jaunes et 2 vertes. On
tire quatre boules les unes après les autres, et on les range les unes derrière les autres
dans leur ordre de sortie. On appellera tirage la liste ordonnée des couleurs obtenues.
1. Combien a-t-on de tirages possibles ?
2. Combien a-t-on de tirages avec une boule de chaque couleur ?
3. Combien a-t-on de tirages avec exactement 2 boules rouges et deux noires ?
4. Combien a-t-on de tirages avec exactement 2 boules rouges, une jaune et une verte ?
Corrigé
1. Un tirage est maintenant un arrangement des 20 boules 4 à 4, puisque l’ordre de
sortie intervient. On en a donc A420 = 20 × 19 × 18 × 17.
2. Pour un ordre bien précis de sortie (par exemple R,N,J,V dans cet ordre), il y a
évidemment 10 choix possibles de la boule rouge, 5 de la noire et ainsi de suite. Cela
donne donc 10 × 5 × 3 × 2 choix possibles. Mais il faut tenir compte de tous les ordres
possibles de sortie : leur nombre correspond aux permutations des quatre couleurs, et
il y en a donc 4!. Finalement, on a 4! × 10 × 5 × 3 × 2 tirages possibles.
3. Le tirage sera parfaitement défini lorsque :
• Nous aurons fixé les deux positions des boules rouges. Les deux boules noires
occuperont les deux places restantes. Il s’agit de choisir 2 places, sans ordre puisque
les deux boules à mettre sont de même couleur, parmi 4 : cela donne C42 = 6
possibilités.
• Nous aurons tiré les deux boules rouges. Comme elles sont de même couleur, il
2
s’agit de choisir un paquet sans ordre de 2 boules parmi 10, ce qui donne C10
possibilités.
• Nous aurons tiré les deux boules noires. Comme elles sont de même couleur, il
s’agit de choisir un paquet sans ordre de 2 boules parmi 5, ce qui donne C52
possibilités.
2
Au final, cela fait C42 × C10
× C52 tirages possibles.
4. Le tirage sera parfaitement défini lorsque :
• Nous aurons fixé les deux positions des boules rouges. Il s’agit de choisir 2 places,
sans ordre puisque les deux boules à mettre sont de même couleur, parmi 4 : cela
donne C42 = 6 possibilités.
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Chapitre 1
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Dénombrements dans un ensemble fini
• Nous aurons fixé la place de la boule jaune. Il reste deux places possibles, une fois
placées les rouges.
• Nous aurons tiré les deux boules rouges. Comme elles sont de même couleur, il
2
s’agit de choisir un paquet sans ordre de 2 boules parmi 10, ce qui donne C10
possibilités.
• Nous aurons tiré la boule jaune : 3 choix possibles.
• Nous aurons tiré la boule verte : 2 choix possibles.
2
Au total, cela donne C42 × 2 × C10
× 3 × 2 tirages.
▶ Exercice 9
On dispose d'un jeu de 52 cartes (♠, ♡, ♣, ♢) non truqué. On appelle
jeu le tirage au hasard de quatre cartes sans remise. Cet exercice reprend en partie un
exemple donné dans le cours, mais il est tellement important qu'il faut savoir le faire
et le refaire.
1. Combien a-t-on de jeux possibles ?
2. Combien a-t-on de jeux possibles pour chacun des cas suivant :
(a) contenant une carte de chaque couleur (b) contenant exactement un as
(c) ne contenant aucun as
(d) contenant au moins un as
(e) contenant exactement deux piques
(f) formés de 2 piques et 2 coeur
(g) 2 cartes d’une couleur et 2 d’une autre (h) un jeu bicolore
Corrigé
4
paquets de quatre cartes dans le jeu. Paquet signifie « sans ordre » parmi
1. Il y a C52
ces quatre cartes.
1
= 13 choix possibles de la carte trèfle et ainsi de suite. On veut un trèfle
2. (a) Il y a C13
et un carreau et un coeur et un pique : ces « et » se traduisent par des multiplications.
4 4
On obtient (C13
) jeux possibles.
(b) L’as est à prendre parmi quatre cartes, soit C41 choix possibles, et les trois cartes
3
restantes sont à prendre parmi les 48 cartes autres que les as, ce qui fait C48
. Finalement,
1
3
on obtient C4 × C48 jeux possibles.
4
(c) Les quatre cartes sont à prendre parmi les 48 « non as », ce qui donne C48
jeux.
(d) Les deux possibilités (c) et (d) sont complémentaires l’une de l’autre. La somme
4
4
4
des deux nombres de jeux donne donc le C52
initial. On obtient ainsi C52
− C48
jeux
ayant au moins un as.
2
2
(e) C13
choix possibles des deux piques et C39
choix possibles des deux atres cartes à
2
2
prendre parmi les 52 − 13 = 39 « non pique ». Cela donne C13
× C39
jeux.
2
2
(f) On obtient C13 × C13 .
2 2
(g) Quand les deux couleurs sont fixées, on obtient (C13
) jeux. Il faut ensuite fixer ces
2
deux couleurs, deux à choisir parmi quatre, soit C4 = 6 choix possibles. On a finalement
2 2
C42 × (C13
) jeux.
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 26 — #41
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maths
Probabilités et tests d’hypothèses
(h) On a soit une carte d’une couleur et trois d’une autre, soit deux cartes d’une
couleur et deux d’une autre. Le second cas vient d’être calculé. Pour le premier, on fixe
la couleur à une carte (soit C41 ), on fixe la couleur à trois (soit C31 ), on fixe la carte
1
3
unique (soit C13
) et les trois cartes de même couleur (soit C13
). Le premier cas nous
1 1 1
3
1 1 1
3
2 2
donne le produit C4 C3 C13 C13 . Finalement, on obtient C4 C3 C13 C13
+C42 ×(C13
) jeux.
▶ Exercice 10 On a une table rectangulaire permettant d'asseoir quatre personnes
sur chacun des grands côtés. Quatre hommes et quatre femmes s'y assoient. Il n'y a
personne sur les petits côtés.
1. Combien ont-ils de façons possibles de s’asseoir ?
2. Combien ont-ils de façons de s’asseoir pour que chaque homme soit en face d’une
femme ?
3. Combien ont-ils de façons de s’asseoir pour que chaque personne soit en face et à
côté d’une personne du sexe opposé ?
Corrigé
1. Il y a huit personnes discernables et huit places discernables. Il y a donc 8! façons
de faire.
2. a) Voici une solution privilégiant les personnes. Les femmes s’assoient en premier.
• La première femme a 8 places possibles. La deuxième en a seulement 6, la troisième
2 et la dernière une seule. Cela fait 8 × 6 × 4 × 2 façons.
• Il reste quatre places imposées pour les quatre hommes, qui se permutent entre
ces places. Il y a 4! façons de faire.
Au total, cela fait 8 × 6 × 4 × 2 × 4! = 9216 façons de faire.
b) Voici une solution privilégiant les places à table, que je numérote
1 3 5 7
2 4 6 8
• Je remplis les places 1 et 2. J’ai
façons de les asseoir.
• Je remplis les places 3 et 4. J’ai
façons de les asseoir.
• Je remplis les places 5 et 5. J’ai
façons de les asseoir.
• Je remplis les places 7 et 8. J’ai 1
4 femmes possibles, 4 hommes possibles et 2
3 femmes possibles, 3 hommes possibles et 2
2 femmes possibles, 2 hommes possibles et 2
femme, 1 homme et 2 façons de les asseoir.
On fait le produit de tout cela, qui nous donne 4! × 4! × 24 , et redonne la même valeur
que précédemment.
3. Reprenons la méthode avec les places. Mais attention, une fois que les places 1 et 2
sont occupées, les places des femmes et celles des hommes sont fixées. Dans le calcul
précédent, il faut donc enlever le « 2 façons de les asseoir » à partir des places 3 et 4.
26
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 27 — #42
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Chapitre 1
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Dénombrements dans un ensemble fini
• Je remplis les places 1 et 2. J’ai 4 femmes possibles, 4 hommes possibles et 2
façons de les asseoir.
• Je remplis les places 3 et 4. J’ai 3 femmes possibles, 3 hommes possibles et 1 façon
de les asseoir.
• Je remplis les places 5 et 5. J’ai 2 femmes possibles, 2 hommes possibles et 1 façon
de les asseoir.
• Je remplis les places 7 et 8. J’ai 1 femme, 1 homme et 1 façon de les asseoir.
On fait le produit de tout cela, qui nous donne 4! × 4! × 2 façons de faire.
▶ Exercice 11 On se promène sur la grille du plan formée par les points à coordon-
nées entières. On reste avec abscisse et ordonnées positives ou nulles. On peut passer
du point (n, m) au point (n + 1, m) (avance horizontale) ou au point (n, m + 1) (avance
verticale). On ne peut pas reculer, ni aller en oblique.
1. Combien a-t-on de chemins possibles pour aller du point (0, 0) au point (p, q) ? On
commencera par regarder le nombre de trajets horizontaux et le nombre de trajets
verticaux dans un tel chemin.
2. Au point (n, m) (avec 0 ≤ n ≤ p et 0 ≤ m ≤ q) il y a un gâteau. Combien a-t-on de
chemins pour arriver en (p, q) en ayant mangé le gâteau ?
2 bis. Reprendre la question 4 en remplaçant le gâteau par une bouteille de champagne
à vider !
Corrigé
1. On effectue au total p + q petites avances, dont obligatoirement p horizontales et
q verticales. Le chemin est complètement déterminé par la donnée des p avances horizontales parmi les p(+ q. Il )s’agit, parmi les p + q petits trajets, de fixer les p trajets
p+q
façons de le faire.
horizontaux : il y a
p
2. Il s’agit de compter le nombre de chemins allant de (0, 0) à (p, q) en passant
par
(
)
n+m
(n, m). C’est le produit du nombre de chemin allant de (0, 0) à (n, m), soit
n
(d’après la question 1) et du nombre de chemins allant de (n, m) à (p, q).
A une translation près, le deuxième nombre
est égal au nombre de chemin
( de chemins )
p+q−n−m
allant de (0, 0) à (p − n, q − m), soit
. Notre nombre de chemins
p−n )
(
) (
n+m
p+q−n−m
gourmands est donc de
×
.
n
p−n
2 bis. Pas loin de zéro, il y a des chances, vu que l’on a perdu le sens des réalités !
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 28 — #43
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maths
Probabilités et tests d’hypothèses
▶ Exercice 12 On cherche le nombre wn de suites de longueur n formée de la lettre
F ou de la lettre P , et telles que l'on ait au moins trois F ou trois P consécutifs. On
notera An l'ensemble de toutes les suites de longueur n formées de F ou P , sans aucune
condition, et En la partie de An formée de celles vérifiant la condition donnée. On
notera enfin En le complémentaire de En dans An , i.e. l'ensemble des suites n'ayant
jamais trois F ou trois P consécutifs. On note un le cardinal de En .
1. Que vaut un + wn ?
2. Calculer u2 , u3 , u4 .
3. Justifier que le nombre de listes appartenant à En+2 et commençant par P F ou par
F P est égal à un+1 .
4. Justifier que le nombre de listes appartenant à En+2 et commençant par P P ou F F
est égal à un .
5. En déduire l’expression de un+2 en fonction de un et un+1 .
√
√
2 [( 1 + 5 )n+1 ( 1 − 5 )n+1 ]
6. Montrer que, pour n ≥ 1, on a un = √
−
.
2
2
5
Corrigé
1. On a un + wn = |An |. Chaque élément de An a 2 choix possibles pour chacun de ses
n termes, ce qui fait 2n éléments dans An . On a donc un + wn = 2n .
2. Pour n = 1, les deux listes [F ] et [P ] conviennent, et u1 = 2. Pour n = 2, les quatre
listes possibles [F F ], [F P ], [P P ], [P F ] conviennent, et u2 = 4. Pour n = 3, on a 23 = 8
listes possibles, mais il faut enlever [F F F ] et [P P P ], et il en reste u3 = 6 seulement.
Pour n = 4, il y a 24 = 16 listes possibles. Il faut enlever :
• Les deux listes monochromes.
• Les deux listes comportant F F F , à savoir [F F F P ] et [P F F F ]. Et les deux analogues avec P au lieu de F .
Cela en fait 6 à enlever, et il en reste u4 = 10.
3. Toute liste de En+1 donne naissance à une seule liste de En+2 commençant par
P F ou F P . Si elle commence par F , on ajoute P en tête, et si elle commence par P ,
on ajoute F en tête. Aucun risque d’avoir ainsi F F F ou P P P dans la liste agrandie.
Réciproquement, en enlevant le premier élément d’une liste de En+2 commençant par
P F ou F P , on obtient une liste de En+1 commençant soit par F soit par P , à savoir une
liste quelconque dans En+1 . Les deux ensembles comptent le même nombre d’éléments.
4. Toute liste de En commençant par P P ou par F F donne naissance à une seule
liste de En+2 : si elle commence par F F , on ajoute P en tête, et si elle commence par
F F , on ajoute P en tête. Réciproquement, si on enlève les deux premiers termes d’une
liste de En+2 commençant par P P ou F F , on obtient une liste quelconque de En :
elle commence par F si la grande liste commençait par P P et inversement. Les deux
ensembles ont exactement le même nombre d’éléments.
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Chapitre 1
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Dénombrements dans un ensemble fini
5. En+2 est la réunion disjointe de l’ensemble de ses éléments commençant par P F ou
F P , et de l’ensemble de ses éléments commençants par P P ou F F . On fait donc la
somme des deux cardinaux. On a donc un+2 = un + un+1 . On reconnaît une suite dite
de Fibonacci.
6. On procède par récurrence. La formule est vraie pour n = 1 et n = 2, même si c’est
un peu lourd à vérifier pour n = 2. L’hypothèse Hn de récurrence est
√
√
2 [( 1 + 5 )k+1 ( 1 − 5 )k+1 ]
« pour tout entier 1 ≤ k ≤ n, on a uk = √
».
−
2
2
5
On est obligé de prendre cette hypothèse lourde, car on a besoin de savoir l’expression
de un−1 et celle de un pour calculer un+1 .
Supposons que Hn est vraie, et montrons que Hn+1 est encore vraie. On sait que
√
√
2 [( 1 + 5 )n+1 ( 1 − 5 )n+1 ]
un = √
,
−
2
2
5
√
√
2 [( 1 + 5 )n ( 1 − 5 )n ]
√
un−1 =
−
2
2
5
On en déduit la somme
√
√
) ( 1 − √5 )n ( 1 − √5
)]
2 [( 1 + 5 )n ( 1 + 5
un + un−1 = √
+1 −
+1
2
2
2
2
5
√
√
√
( 1 + 5 )2
( 1 − √5 )2
1+ 5
1− 5
et on remarque que
+1=
et
+1=
.
2
2
2
2
La propriété est vraie pour n = 2, et héréditaire à partir de n = 2. Elle est donc vraie
pour tout n ≥ 2, ce qui signifie que l’expression de un est vraie pour tout n ≥ 1.
▶ Exercice 13 On se promène sur les points à coordonnées entières du quart de plan
x ≥ 0. Au départ, on est en un point qui sera précisé dans chaque question. On passe
d'un point à un autre uniquement en diagonale, et en allant vers la droite : on peut
passer uniquement de (a, b) à (a + 1, b + 1) ou bien à (a + 1, b − 1). L'abscisse augment
donc strictement à chaque étape, mais l'ordonnée peut augmenter ou diminuer. Tous
les chemins considérés arrivent au point F (p+q, p−q) où p et q sont des entiers naturels
fixés tels que p > q .
1. On part de (0, 0). Que représentent les entiers p et q vis à vis du nombre de fois où
l’on « monte » et du nombre de fois où l’on « descend » ? (
)
p+q
2. En déduire que le nombre de chemins possibles est égal à
.
p
3. a) En déduire, sans nouveau calcul, le nombre de chemins partant du point (1, 1).
On pourra considérer que ce point est la nouvelle origine du repère.
b) En déduire, sans nouveau calcul, le nombre de chemins partant du point (1, −1).
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 30 — #45
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maths
Probabilités et tests d’hypothèses
4. Montrer que le nombre de chemins partant de (1, 1) et franchissant ou touchant
l’axe horizontal est égal au nombre de chemins partant de (1, −1). On considérera le
premier point où un chemin partant de (1, 1) touche l’axe horizontal, et on effectuera
une symétrie de ce début de chemin par rapport à cet axe.
5. En déduire le nombre de chemins partant de (1, 1) et ne touchant jamais l’axe. Quel
est le nombre de chemins partant de (0, 0) et ne touchant jamais de nouveau l’axe ?
Corrigé
1. Soient m et d les nombres de fois où l’on monte et on descend. La somme p + q
représente le nombre de trajets élémentaires effectués, et on a donc m + d = p + q. En
montant m fois et en descendant d fois, on passe du niveau 0 au niveau p − q, ce qui
donne m − d = p − q. On en déduit que m = p et d = q.
2. Parmi les p + q petits trajets élémentaires,
est complètement déterminé
( le chemin
)
p+q
par la position des p fois où l’on monte. Il y a
façons de choisir ces p positions.
p
Cette combinaison est donc le nombre de trajets de (0, 0) à (p + q, p − q).
3. a) Effectuons une translation de l’origine au point (1, 1). Un chemin arrivant toujours
en F est maintenant constitué seulement de p + q − 1 trajets élémentaires. Mais on
« monte » seulement p − 1 fois : dans le nouveau repère, l’ordonnée du point d’arrivée
F est seulement p+q −1. On est donc ramené à la question précédente, mais en partant
de (0, 0) et )en arrivant en (p + q − 1, p − 1 − q) dans ce nouveau repère. On a donc
(
p+q−1
chemins possibles.
p−1
b) Effectuons une translation de l’origine au point (1, −1). (Les coordonnées du point
)
F dans ce repère sont (p + q − 1, p − q + 1), que l’on écrit p + (q − 1), p − (q − 1) .
On monte donc p fois et on descend q − 1 seulement (ce qui est(logique, puisque
l’on
)
p+q−1
est déjà desendu une fois pour arriver en (1, −1)). Il y a donc
chemins
p
possibles.
4. Soit H(h, 0) le premier point où un chemin partant de (1, 1) touche l’axe horizontal.
Prenons les symétriques par rapport à cet axe de chaque point d’abscisse 1, · · · h − 1
du chemin, et gardons les autres points. On obtient ainsi un chemin partant de (1, −1)
et arrivant toujours en F . Réciproquement, prenons un chemin partant de (1, −1) et
arrivant en F . Comme il passe d’une ordonnée négative à une ordonnée positive, il
franchit l’axe horizontal au moins une fois. Soit H(h, 0) le premier point où il franchit
cet axe : en effectuant de même une symétrie des points du chemin dont l’abscisse est
comprise entre 1 et h − 1, et en gardant les autres, on obtient un chemin partant de
(1, −1) et arrivant en F .
Il y a donc une bijection entre l’ensemble des chemins partant de (1, 1) et touchant (ou
franchissant) l’axe horizontal, et l’ensembles des chemins partant de (1, −1).
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Chapitre 1
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Dénombrements dans un ensemble fini
Le chemin partant de (1, 1) touche une première fois l’axe en H. En trait plus gras, on
voit le symétrique du début de ce chemin, qui nous donne un chemin allant de (1, −1)
vers F . A partir de H, il reprend le chemin initial issu de A.
5. Le nombre de chemins partant de (1, 1) et ne touchant jamais l’axe est égal au
nombre total de chemins partant de (1, 1) moins le nombre de ceux qui touchent ou
franchissent l’axe. D’après les questions précédentes, il vient donc
) (
)
(
(
)
p−q p+q
p+q−1
p+q−1
−
=
p−1
p
p
p+q
Un chemin partant de (0, 0) et ne touchant jamais de nouveau l’axe horizontal est
un chemin
partant
de (1, 1) et ne touchant jamais cet axe. Il y en a donc toujours
(
)
p−q p+q
.
p
p+q
▶ Exercice 14 Soit p ≥ n deux entiers naturels. On appelle En,p l'ensemble des
n-uplets y = (y1 , y2 , · · · , yn ) formés d'entiers strictement croissants et compris entre
1 inclus et p inclus : on a 1 ≤ y1 < y2 < · · · < yn−1 < yn ≤ p.
1. Montrer qu’un élément y de En,p est défini de façon unique par la donnée d’une
partie à n éléments de 1..p.
2. En déduire le nombre d’éléments de En,p .
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maths
Probabilités et tests d’hypothèses
On appelle Fn,p l’ensemble des n-uplets (x1 , x2 , · · · , xn ) composées d’entiers compris
au sens large entre 0 et p tels que x1 + x2 + · · · + xn ≤ p.
A partir d’une telle suite (x1 , · · · , xn ), on construit la suite
y1 = 1 + x1 , y2 = 2 + x1 + x2 , · · · , yn = n + x1 + x2 + · · · + xn
3. a) Montrer que l’on définit ainsi un élément (y1 , · · · , yn ) de En,n+p .
b) Exprimer les entiers x1 , x2 , · · · , xn en fonction de y1 , y2 , · · · , yn .
c) En déduire qu’il existe une bijection de Fn,p sur En,n+p . En déduire le nombre
d’éléments de Fn,p .
4. En déduire que le nombre de suites (x1 , x2 , · · · ,(xn ) composées
) d’entiers compris
n+p−1
entre 0 et p tel que x1 + x2 + · · · + xn = p est égal à
. On comparera Fn,p
p
et Fn,p−1 .
Corrigé
1. Les entiers y1 , · · · , yn sont deux à deux distincts et forment donc une partie à n
éléments de 1..p. Réciproquement, soit A un ensemble quelconque de n entiers compris
entre 1 et p. On ordonne les éléments de A dans l’ordre croissant a1 < a2 < · · · < an ,
et on définit y par yk = ak pour tout 1 ≤ k ≤ n.
2. Il y a donc une bijection entre l’ensemble des parties à n éléments de 1..p
( et
) l’enp
semble En,p . Ces deux ensembles ont le même nombre d’éléments, à savoir
.
n
3. a) Comme on ajoute 1 puis 2. . .à chaque fois, on a clairement 1 ≤ y1 < y2 < · · · <
yn ≤ n + p. On définit ainsi un n-uplet d’entiers compris entre 1 et n + p, et strictement
croissant.
b) On a aisément
x1 = y1 − 1, x2 = y2 − y1 − 2, x3 = y3 − y2 − 1 · · · , xn = yn − yn−1 − 1
On a des entiers xi tous compris entre 0 et n + p − n = p, puisque n + p ≥ yi > yi−1 .
On a
x1 + x2 + · · · + xn
=
(y1 − 1) + (y2 − y1 − 1) + (y3 − y2 − 1) + · · · + (yn − yn−1 − 1)
=
yn − n ≤ n + p − n ≤ p
c) L’application qui à chaque suite (x1 , x2 , · · · , xn ) associe la suite (y1 , y2 , · · · , yn ) est
donc une bijection de l’ensemble Fn,p sur l’ensemble En,n+p , puisque chaque suite
(y1 , y2 , · · · , yn ) strictement croissante est l’image d’une et d’une seule suite (x1 , x2 , · · · , xn ).
Cette bijection implique que
d’éléments de Fn,p est égal au nombre d’élé( le nombre
)
n+p
ments de En,n+p , à savoir
.
n
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 33 — #48
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Chapitre 1
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Dénombrements dans un ensemble fini
4. L’ensemble Fn,p est la réunion disjointe de l’ensemble Fn,p−1 et de l’ensemble des
suites (x1 , x2 , · · · , xn ) vérifiant exactement la relation x1 +x2 +· · ·+xn = p. Le nombre
de suites vérifiant cette égalité est donc donné par
(
) (
)
n+p
n+p−1
CardFn,p − cardFn,p−1 =
−
n
n
Un remplacement par l’expression d’une combinaison en fonction des factorielles nous
donne
)
(
) (
)
(n + p − 1) ( n + p
1
n+p
n+p−1
−
=
−
n
n
n!
p!
(p − 1)!
(
)
(n + p − 1)!
n+p−1
=
=
p
p!(n − 1)!
▶ Exercice 15 Un mot de Catalan de longueur m + 1 est une suite a0 , a1 , · · · am
d'entiers naturels tels que a0 = am = 0, et |ai+1 − ai | = 1, pour tout 0 ≤ i ≤ m − 1.
1. Montrer que m est un entier pair : un mot de Catalan contient donc nécessairement
un nombre impair de nombres.
On notera cn le nombre de mots de Catalan de longueur 2n + 1, et sn le nombre de
mots de Catalan de longueur 2n + 1 qui ne contiennent aucun zéro (hormis le premier
et le dernier). On posera c0 = 1.
2. Ecrire tous les mots de Catalan de longueur 3, 5, puis 7. Calculer c1 , c2 , c3 .
3. Montrer que sn = cn−1 : on établira une bijection entre l’ensemble des mots de
Catalan « sans zéro » de longueur 2n+1 et l’ensemble des mots de Catalan de longueur
2n − 1.
n−1
∑
4. Montrer que cn =
ck cn−1−k : on fera une partition de l’ensembles des mots de
k=0
longueur 2n + 1 suivant la position du premier 0 (à partir de a2 , bien sûr). La suite
de l’exercice demande la connaissance des séries entières. On rappelle que, lorsque les
réels an et bn sont tous positifs ou nuls, on a, pour tout x > 0 :
∞
(∑
an xn
∞
)( ∑
n=0
On considère la série entière
∞ (∑
n
) ∑
)
ak bn−k xn
bn xn =
n=0
n=0
+∞
∑
k=0
cn xn .
n=0
5. Montrer que cn ≤ 4n , et en déduire que le rayon de convergence de cette série entière
est supérieur ou égal à 1/4. On note f (x) la somme de cette série.
6. En utilisant le rappel, vérifier que xf (x)2 = f (x) − 1.
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 34 — #49
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maths
Probabilités et tests d’hypothèses
1−
√
1 − 4x
7. En déduire que f (x) =
.
2x
(
)
∫
+∞
∑
dt
1
1 x
2n
√
8. Sachant que
xn = √
, montrer que f (x) =
. En
n
x 0
1 − 4x
1 − 4t
n=0
( )
1
2n
déduire que cn =
.
n+1 n
Corrigé
1. On a
m−1
∑
(ai+1 − ai ) = am − a0 = 0. On a une suite de m nombres valant tous 1 ou
i=0
−1, et dont la somme est nulle : il y a obligatoirement autant de nombres 1 et de −1,
ce qui implique qu’il y a un nombre pair de nombres. L’entier m = 2n est pair.
2. Les mots de Catalan de longueur 3 sont (0, 1, 0) uniquement, et c1 = 1. Ceux de
longueur 5 sont (0, 1, 2, 1, 0) et (0, 1, 0, 1, 0), ce qui donne c2 = 2. Ceux de longueur 7
sont
(0, 1, 2, 3, 2, 1, 0), (0, 1, 2, 1, 2, 1, 0), (0, 1, 2, 1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1, 2, 1, 0), (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0)
et c3 = 5.
3. A tout mot de Catalan de longueur 2n − 1, on peut associer un mot de Catalan
de longueur 2n + 1 sans zéro en ajoutant 1 partout, et en mettant un 0 en tête et en
queue :
(0, a1 , a2 , · · · , a2n−3 , 0) 7→ (0, 1, a1 + 1, a2 + 1, · · · , a2n−3 + 1, 1, 0)
Cette application est bijective, l’application réciproque consistant à enlever le 0 de tête
et de queue, et à soustraire 1 à tous les autres :
(0, b1 , b2 , · · · , b2n−2 , b2n−1 , 0) 7→ (0, b2 − 1, · · · , b2n−2 − 1, 0)
On a donc autant de mots de longueur 2n − 1 et de mots sans zéro de longueur 2n + 1,
soit sn = cn−1 .
4. On effectue une partition de Cn suivant la position p du premier zéro (autre que
celui de tête). Comme il faut avoir, avant, autant de 1 que de −1 dans les différences
a1 − a0 , a2 − a1 , · · · , ap − ap−1 , il faut que k soit un nombre pair. On le prend de la
forme p = 2k avec 1 ≤ k ≤ n − 1, en ajoutant k = 0 quand le mot ne comporte pas
de 0 :
• k = 0 : le nombre de mots est sn , soit cn−1 .
• k = 1 : la suite (a0 , a1 , a2 ) est un mot de Catalan sans 0 de longueur 3 (ce qui
fait s1 possibilités), et la suite (a2 , a3 , · · · , a2n ) est un mot de Catalan de longueur
2n − 1 (ce qui fait cn−1 possibilités). Il y a s1 cn−1 = c0 cn−1 choix possibles.
• Pour un indice k quelconque, la suite (a0 , a1 , · · · , a2k ) est un mot sans 0 de longueur 2k + 1 (ce qui fait sk = ck−1 possibilités), et la suite (a2k , · · · , a2n ) est un
mot de Catalan quelconque de longueur 2n − 2k + 1 (ce qui en fait cn−k ). Il y a
donc ck−1 cn−k tels mots.
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 35 — #50
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Chapitre 1
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Dénombrements dans un ensemble fini
En faisant la somme de toutes ces possibilités, on obtient
cn = cn−1 +
n−1
∑
ck−1 cn−k
k=1
En changeant k en k + 1 et en utilisant c0 = 1, on obtient
cn = cn−1 +
n−2
∑
ck cn−k−1 = cn−1 cn−(n−1)−1 +
k=0
n−2
∑
ck cn−k−1 =
k=0
n−1
∑
ck cn−k−1
k=0
5. Les 2n − 1 entiers ai+1 − ai (pour 1 ≤ i ≤ 2n − 1) valent ±1. Cela donne donc
22n−1 < 4n choix possibles, au maximum. Il y a donc au maximum 4n mots de Catalan
de longueur 2n + 1.∑
En pratique, il y en a beaucoup moins. La majoration cn < 4n
montre que la série
cn xn converge au moins lorsque |x| < 1/4.
6. Quand on effectue le produit de la série entière
de xn est égal à
n
∑
∞
∑
ci xi par elle-même, le coefficient
i=0
ck cn−k , à savoir à cn+1 : on a f (x)2 =
k=0
Cela s’écrit xf (x)2 =
∞
∑
∞
∑
cn+1 xn =
n=0
∞
∑
cn xn−1 .
n=1
cn xn = f (x) − 1.
n=1
√
1 ± 1 − 4x
, l’unique
7. La résolution de l’équation du second degré donne f (x) =
2x
√
1 − 1 − 4x
possibilité étant en fait f (x) =
compte tenu de l’existence de f (0).
2x
∫
1 x
dt
√
8. Un calcul formel de primitive donne f (x) =
. On a donc
x 0
1 − 4t
f (x) =
) n
)
∞ (
∞ (
∑
1 ∑ 2n xn+1
x
2n
=
x n=0 n n + 1 n=0 n n + 1
1
L’identification des coefficients donne cn =
n+1
(
)
2n
.
n
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 36 — #51
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 37 — #52
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Chapitre 2
Probabilités
sur un ensemble fini
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Univers mathématique fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le lancer d'un dé : modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Univers associé à une expérience aléatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Premiers exemples de modélisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le cas fondamental de l'équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résolution plus élémentaire des exemples précédents . . . . . . . .
Probabilités conditionnelles et évènements indépendants . . . .
Evènements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple fondamental de modélisation dans le cas de
non-équiprobabilité : lancers successifs d'une pièce truquée .
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Nous définissons ici la notion de probabilité sur un ensemble fini. Nous
commençons par une description purement mathématique (et même physique, puisque nous employons provisoirement le terme de « poids »),
puis nous regarderons comment chaque situation probabiliste conduit à
construire un modèle mathématique possédant les propriétés décrites dans
ce premier paragraphe.
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 38 — #53
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maths
Probabilités et tests d’hypothèses
1. Univers mathématique fini
1.1 Description de la situation
Considérons un ensemble E = {e1 , e2 , · · · , en } contenant n éléments. Rappelons qu’il
n’y a aucun ordre dans un ensemble, et que les éléments sont deux à deux distincts.
A chaque élément ek , nous associons ce que nous appelons provisoirement un « poids
élémentaire », à savoir un nombre réel p(ek ) strictement compris entre 0 et 1, et dont
la somme totale est égale à 1 :
p(e1 ) + p(e2 ) + · · · + p(en ) = 1
Il n’y a aucun intérêt à donner un poids élémentaire nul à un élément : cet élément ne
servirait à rien, et autant ne pas le mettre dans l’ensemble E. Donner à un élément
un poids élémentaire égal à 1 impliquerait que tous les autres éléments sont de poids
élémentaires nul, et notre ensemble n’aurait aucun intérêt non plus.
1.2 Poids d'une partie de E
Une partie A de E est formée de certains des éléments de E. Il est naturel d’associer
à cette partie la somme des poids élémentaires des éléments qu’elle contient.
Définition. soit A une partie de E. Le poids de A, noté P (A), est la somme des
poids élémentaires des éléments constituant A : on a toujours 0 ≤ P (A) ≤ 1.
La partie vide a un poids nul : P (∅) = 0. L’ensemble tout entier a un poids égal
à 1.
Exemple
Soit E = {e1 , e2 , e3 }, et p1 , p2 , p3 les poids élémentaires des trois éléments. Cet
ensemble admet 23 = 8 parties. Voici la liste de ces parties, et les poids qui
seront attibuées à chacune. La partie vide a un poids nul : autant il est inutile
de mettre dans E un élément de poids nul, autant l’ensemble vide est utile
maintenant, même si son poids est nul. Le poids d’une partie sera notée avec un
« P majuscule ».
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 39 — #54
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Chapitre 2
∅
A = {e1 }
B = {e2 }
C = {e3 }
D = {e1 , e2 }
F = {e2 , e3 }
G = {e1 , e3 }
E = {e1 , e2 , e3 }
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Probabilités sur un ensemble fini
P (∅) = 0
P (A) = p1
P (B) = p2
P (C) = p3
P (D) = p1 + p2
P (F ) = p2 + p3
P (G) = p1 + p3
P (E) = p1 + p2 + p3 = 1
1.3 Propriétés du poids d'une partie
L’interprétation physique a l’avantage d’être facile à comprendre.
♠ Si deux parties A et B de E sont disjointes, à savoir n’ont aucun élément en
commun, le poids de la réunion A ∪ B est évidemment la somme des poids de A
et de B.
♠ Prenons deux parties non nécessairement disjointes, et contenant donc des éléments en commun : si l’on fait la somme P (A) + P (B), on compte une fois les
éléments de A qui ne sont pas dans B, une fois les éléments de B qui ne sont pas
dans A, mais on compte deux fois les éléments de A ∩ B. Pour avoir le poids de
A ∪ B, on fait donc la somme des poids de A et de B, et on enlève une fois le
poids de A ∩ B.
Pour deux parties A et B disjointes, on a P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
Le poids total est la somme des deux poids. On peut aussi dire que l’aire totale est la
somme des deux aires.
Plus généralement, on a P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
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“ProHyp” — 2014/2/18 — 11 :50 — page 40 — #55
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maths
Probabilités et tests d’hypothèses
Maintenant, il faut enlever une fois le poids de l’intersection, car il a été compté deux
fois dans P (A) + P (B).
La première formule se généralise sans problème à un nombre quelconque de parties
disjointes :
Si A1 , · · · , Ak sont deux à deux disjointes, alors P (A1 ∪ · · · ∪ Ak ) = P (A1 ) + · · · +
P (Ak ).
Il existe une généralisation de la seconde formule à k parties quelconques de E, mais
elle est compliquée et ne présente pas une utilité phénoménale.
On peut visualiser cette notion de poids d’une partie d’une autre façon : c’est (d’une
certaine façon) la surface de la partie A, à l’intérieur de l’ensemble E dont la surface
est égale à 1.
La surface d’une réunion disjointe de parties est évidemment égale à la somme des
surfaces des parties.
Quand on fait la somme des surfaces de deux parties quelconques A et B, on compte
deux fois la surface commune, à savoir la surface de A ∩ B. Pour avoir la surface de la
réunion A ∪ B, on prend donc la somme des surfaces, et on enlève une fois la surface
de l’intersection.
Cette interprétation en terme de surface est claire quand on représente les ensembles
par des diagrammes de Venn, couramment appelés « pommes de terre ». . ., et dont
deux exemples sont dessinés ci-dessus.
1.4 Un peu de sophistication
Peut-être sauté en première lecture
La formule générale P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) se déduit de la première
formule concernant deux parties disjointes :
– A ∪ B est la réunion disjointe de A et de B \ A, à savoir les éléments de B qui ne
sont pas dans A.
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LMD
Les notions sont présentées de façon simple et claire, pour pouvoir être accessibles
à tous les publics, tout en restant rigoureuses. Certaines notions, comme les germes
de probabilité et les notions fines sur les lois continues, réservées au public de
mathématiciens, sont clairement indiquées.
L’ouvrage fait la liaison avec la classe terminale et peut même être abordé par les élèves
de TS un peu curieux. Les chapitres de niveau supérieur sont regroupés en fin d’ouvrage,
pour être abordés uniquement si nécessaire. La loi normale, par contre, est introduite
assez tôt, car elle est vite indispensable. Le lecteur biologiste ou médecin a ainsi
rapidement une présentation complète mais simple des lois classiques et sophistiquées
permettant d’effectuer les tests sur les moyennes, les variances et l’homogénéité des
échantillons.
Chaque notion est illustrée par des exemples dans le cours et de nombreux exercices
corrigés en fin de chapitre. Les chapitres s’adressant au niveau L3 restent aussi
parfaitement accessibles, car aucune connaissance fine de la théorie de la mesure n’est
requise.
+Les « plus »
} De nombreux exemples viennent éclairer la théorie
} De nombreux exercices corrigés en fin de chapitre
François Cottet-Emard Directeur d’Études pour la Licence en mathématiques à l’Université de
Paris-Sud, jusqu’en 2011, Maître de Conférences Hors-Classe.
www.deboeck.com
ISBN 978-2-8041-8466-7
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Dans le cadre du nouveau Système Européen de
Transfert des Crédits (ECTS), ce manuel couvre les
niveaux :
en France : Licence 2, 3 et Master 1.
en Belgique : Baccalauréat 2, 3 et Master 1.
en Suisse : Baccalauréat 2, 3 et Master 1.
au Canada : Baccalauréat 2, 3 et Master 1.
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Cet ouvrage regroupe les probabilités et les tests d’hypothèse enseignés dans les
trois premières années universitaires, aussi bien dans les filières mathématiques que
biologiques ou appliquées.
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Un cours écrit comme il a été donné, simple et clair,
partant toujours des exemples concrets pour arriver à
une formulation rigoureuse.
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Probabilités et tests d’hypothèse
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François Cottet-Emard
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Licence de mathématiques
et de biologie
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