1.1 Le Th´eor`eme de Cantor et le Th´eor`eme de
Cantor-Bernstein
L’existence d’une fonction injective / surjective / bijective entre deux en-
sembles sera utilis´ee comme moyen pour comparer leur «taille ». Nous com-
men¸cons avec deux premiers r´esultats qui vont dans ce sens.
Th´eor`eme 1.1.1 (Cantor).Soit Aun ensemble. Il n’existe pas de surjection
de Asur P(A).
D´emonstration. Soit f:A→ P(A) une appliction. On consid`ere l’ensemble
B={x∈A|x6∈ f(x)}.
Pour tout x∈Aavec f(x) = B, on a x∈Bsi et seulement si x6∈ B. Donc B
n’est pas dans l’image de f.
Th´eor`eme 1.1.2 (Cantor-Bernstein).Soient Aet Bdeux ensembles, f:A→
Bet g:B→Adeux injections. Alors il existe une bijection h:B→A.
D´emonstration. On peut supposer que Aest une partie de Bet que l’application
fest donn´ee par l’inclusion. (Il suffit de remplacer gpar f◦get Apar f(A).)
Soit C={gn(x)|n∈N, x ∈B\A}. On pose h(c) = g(c) pour c∈Cet
h(x) = xpour x∈B\C.
D´efinition. Soient Xet Ydeux ensembles. On dit que Xet Ysont ´equipotents,
not´e X∼Y, s’il existe une bijection entre Xet Y; on dit que Xest subpotent
`a Y, not´e X4Y, s’il existe une injection de Xdans Y.
Dans cette terminologie, le th´eor`eme de Cantor-Bernstein dit que si X4Y
et Y4X, alors X∼Y.
Exercice 1.1.3. Montrer qu’il existe une bijection entre Ret P(N).
1.2 Notions d’ordre
D´efinition. Un ordre partiel <sur un ensemble Xest une relation binaire (c.-
`a-d. donn´ee par une partie de X×X) qui est transitive (si x<yet y < z alors
x<z) et antir´eflexive (x6< x). Si de plus <est une relation connexe (pour tout
x, y ∈Xon a x<y,x=you y < x) on dit que <est un ordre total.
On note x≤ypour x<you x=y, puis x>ypour y < x, et x≥ypour
y≤x.
Si Y⊆X,y∈Yest un plus petit ´el´ement si pour tout y0dans Y,y≤y0.
C’est un ´el´ement minimal si pour tout y0dans Y,y06< y. On d´efinit de mˆeme un
plus grand ´el´ement et un ´el´ement maximal. Un minorant de Yest un ´el´ement
de Xqui est ≤`a tous les ´el´ements de Y. Une borne inf´erieure de Yest un plus
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