Statistiques 1 Moyenne arithmétique 2 Variance

Statistiques
Activité 1 : Séries de notes devoir de mathématiques
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Moyenne arithmétique
* On étudie une série statistique à caractère quantitatif. Chaque valeur xi a pour eectif ni .
Soit la série statistique ci-dessous ou n et p deux entiers naturels non nuls et i un entier naturel compris
entre 1 et p :
Valeurs
Eectifs
x1
n1
x2
n2
......
.....
xp
np
* On note N l'eectif total de la série (ou somme des eectifs) :
N=
p
X
ni = n1 + n2 + n3 + ... + np
i=1
Dénition 1. :
La moyenne arithmétique
de la série, notée x , est un indicateur de tendance centrale :
P
x=
ni xi
n1 x1 + n2 x2 + ... + np xp
=
N
n1 + n2 + n3 + ... + np
Lorsque la série est regroupée en classe, on utilise le centre
des classes
pour le calcul de la moyenne.
Si la série est donnée à l'aide des fréquences f1 , f2 , ..., fp alors x = f1 x1 + f2 x2 + ... + fp xp
xi =
p
X
(fi .xi )
i=1
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Variance et écart type
On appelle variance de la série, et on note V , le réel :
V =
n1 (x1 − x)2 + n2 (x2 − x)2 + ..... + np (xp − x)2
1
= (n1 x21 + n2 x22 + ... + np x2p ) − x2
N
N
(V est la moyenne des carrés des écarts entre les valeurs et la moyenne de la série.)
Dénition 2. :
L'écart type σ
d'une série statistique, est un indicateur de dispersion des valeurs de la série autour de
la moyenne. Il est dénit par :
s
σ=
n1 (x1 − x)2 + n2 (x2 − x)2 + ..... + np (xp − x)2
n1 + n2 + ... + np
√
L'écart type est σ = V
Remarque : Plus l'écart type est grand, plus les valeurs sont dispersées.
1
Activité 2 : Diagramme à moustache, en boîte, de Tukey
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Médiane et écart interquartile
On étudie une série statistique dont les valeurs sont triées par ordre croissant. Le principe est de découper
en listes de même eectif.
Médiane
Dénition 3. :
La médiane m est la
valeur du caractère étudié qui découpe la liste des valeurs rangées par ordre croissant
en deux listes de même eectif.
x
|1
x2
{z
50%
.... m ... xp−1
}
|
{z
50%
xp
}
Quartiles
Les quartiles notés Q1 , Q2 et Q3 sont les valeurs du caractère étudié qui découpent la liste des valeurs
rangées par ordre croissant en quatre listes de même eectif.
x1
|
x2
{z
.... ..
}|
Q1 =25%
..{z ....} ..
|
Q2 =25%
Dénition 4. :
l'écart interquartile
..{z ....} ..
|
Q3 =25%
xp−1
{z
25%
xp
}
est la diérence entre le troisième quartile et le premier quartile : Q3 -Q1
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