Paramètres de dispersion - ac

Paramètres de dispersion
I - Approche :
Considérons les deux séries de 8 notes représentées dans le tableau suivant :
Notes 9 10 11 12 13
SERIE 1
Effectif 2 1 1 2 2
Notes 7 8 9 11 13 15 17
SERIE 2
Effectif 1 1 2 1 1 1 1
L’observation des deux séries montre que la série 1 est « plus centrée » ou qu’elle a une « plus
faible dispersion » que la série 2.
II - Etendue d’une série :
L’étendue d’une série est la différence entre les deux valeurs extrêmes.
exemple : - étendue de la série 1 : 13 - 9 = 4
- étendue de la série 2 : 17 - 7 = 10
III - Quartiles :
1° - Définition :
On en distingue 3 :
- le premier quartile Q1 : C’est la valeur du caractère telle que le quart des
observations soit inférieur à Q1, les trois quarts à Q1 .
- le second quartile Q2 : C’est la valeur de la médiane M de la série .
- le troisième quartile Q3 : C’est la valeur du caractère telle que le quart des
observations soit supérieur à Q3 et les trois quarts inférieurs à Q3 . L’intervalle interquartile est la
différence entre les quartiles extrêmes. Il a pour valeur : Q3 - Q1
La détermination des quartiles s’effectue comme celle de la médiane.

2° - Exemple :
Considérons la série des tailles de 500 élèves d’un lycée:
tailles ( cm) [ 160 - 164 [ [ 164 - 168 [ [ 168 - 172 [ [ 172 - 176 [ [ 176 - 180 [
effectifs ni 25 50 200 175 50
effectifs
cumulés
............... ................ .............. ............... .................
effectifs cumulés
500 -
-
450 -
-
400 -
-
350 -
-
300 -
-
250 -
-
200 -
-
150 -
-
100 -
-
50 -
-
-
160 164 168 172 176 180 tailles
(cm)
Le premier quartile Q1 correspond à la ..................................................... observation, soit Q1 =............
Le second quartile Q2 correspond à la médiane soit la ................................. observation, soit Q2 =............
Le troisième quartile Q3 correspond à la ...................................................... observation,soit Q3 = ...........
L’intervalle interquartile Q3 - Q1 = ................
L’intervalle interquartile caractérise la dispersion de la série, il contient la moitié des effectifs.
Dans notre exemple, l’étendue de cette série est de 20 cm ; soit 50% des observations se trouvent dans
l’intervalle [ Q1 , Q3 ] d’amplitude :....................................................................................................

IV - Ecart moyen :
On appelle écart entre deux nombres, la valeur de la différence entre ces deux nombres.
( exemple: écart entre 17 et 9 : |17 - 9 | = | 9 - 17 | = 8 )
Pour caractériser la dispersion des valeurs autour de la moyenne :
- on calcule l’écart de chaque valeur autour de la moyenne
- on effectue la moyenne arithmétique de tous ces écarts
Le nombre obtenu est appelé écart moyen « e »
ΣΣ |x i -
x
|
×
n i x = moyenne
e =
N N = effectif total
V - Ecart type :
Pour caractériser la dispersion des valeurs autour de la moyenne:
- on calcule le carré de l’écart de chaque valeur par rapport à la moyenne
- on effectue la moyenne arithmétique de ces carrés des écarts.
Le nombre obtenu est appelé variance « v » .
L’écart type est la racine carrée de la variance.
ΣΣ n i
×
| x i -
x
|2
v = ó = V
N
VI - Exercice :
Reprenons l’exemple du III . Déterminons l’écart moyen et l’écart type .
tailles
(cm)
effectif n i
centre des
classes x i
x i x n i Ecart
|x i - x|
|xi - x|2 n i x |xi - x| ni x|xi - x|2
[160 ; 164[
[164 ; 168[
[168 ; 172[
[172 ; 176[
[176 ; 180[
1° - La moyenne de la série est : ....................................................................................................................
2° - l’écart moyen est : ....................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
3° - La variance de la série est :......................................................................................................................
4° - l’écart type de la série est : .......................................................................................................................

TRAVAUX DIRIGES
EXERCICE 1 :
Une boutique de confection a relevé le montant mensuel de ses ventes :
Montant des
ventes ( F )
[ 0 ; 300 [ [ 300 ; 600 [ [ 600 ; 900 [ [ 900 ; 1 200 [ [1 200 ;1500 [ [ 1500 ;1800 [
Effectifs 127 82 90 48 33 20
1° - Déterminer le montant moyen des ventes.
2° - Déterminer l’écart moyen.
3° - Déterminer l’écart type.
EXERCICE 2 :
On note dans un tableau les rémunérations brutes mensuelles des
employés d’une entreprise.
Salaires bruts
( F )
[4000 ; 5000 [ [ 5000 ; 6000 [ [ 6000 ; 8000 [ [ 8000 ; 10000 [ [10000 ;12000 [ [12000 ;20000 [
Effectifs 15 35 42 27 19 12
1° - Tracer l’histogramme de cette série.
2° - Déterminer la rémunération moyenne.
2° - Déterminer l’écart moyen.
3° - Déterminer l’écart type.