Paramètres de dispersion - ac
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Paramètres de dispersion I - Approche : Considérons les deux séries de 8 notes représentées dans le tableau suivant : Notes 9 10 11 12 13 Effectif 2 1 1 2 2 SERIE 1 Notes 7 8 9 11 13 15 17 Effectif 1 1 2 1 1 1 1 SERIE 2 L’observation des deux séries montre que la série 1 est « plus centrée » ou qu’elle a une « plus faible dispersion » que la série 2. II - Etendue d’une série : L’étendue d’une série est la différence entre les deux valeurs extrêmes. exemple : - étendue de la série 1 : 13 - 9 = 4 - étendue de la série 2 : 17 - 7 = 10 III - Quartiles : 1° - Définition : On en distingue 3 : - le premier quartile Q1 : C’est la valeur du caractère telle que le quart des observations soit inférieur à Q1 , les trois quarts à Q1 . - le second quartile Q2 : C’est la valeur de la médiane M de la série . - le troisième quartile Q3 : C’est la valeur du caractère telle que le quart des observations soit supérieur à Q3 et les trois quarts inférieurs à Q3 . L’intervalle interquartile est la différence entre les quartiles extrêmes. Il a pour valeur : Q3 - Q1 La détermination des quartiles s’effectue comme celle de la médiane. 2° - Exemple : Considérons la série des tailles de 500 élèves d’un lycée: tailles ( cm) [ 160 - 164 [ [ 164 - 168 [ [ 168 - 172 [ [ 172 - 176 [ [ 176 - 180 [ effectifs ni 25 50 200 175 50 effectifs cumulés ............... ................ .............. ............... ................. 172 176 effectifs cumulés 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 160 164 168 180 tailles (cm) Le premier quartile Q1 correspond à la ..................................................... observation, soit Q1 =............ Le second quartile Q2 correspond à la médiane soit la ................................. observation, soit Q2 =............ Le troisième quartile Q3 correspond à la ...................................................... observation,soit Q3 = ........... L’intervalle interquartile Q3 - Q1 = ................ L’intervalle interquartile caractérise la dispersion de la série, il contient la moitié des effectifs. Dans notre exemple, l’étendue de cette série est de 20 cm ; soit 50% des observations se trouvent dans l’intervalle [ Q1 , Q3 ] d’amplitude :.................................................................................................... IV - Ecart moyen : On appelle écart entre deux nombres, la valeur de la différence entre ces deux nombres. ( exemple: écart entre 17 et 9 : |17 - 9 | = | 9 - 17 | = 8 ) Pour caractériser la dispersion des valeurs autour de la moyenne : - on calcule l’écart de chaque valeur autour de la moyenne - on effectue la moyenne arithmétique de tous ces écarts Le nombre obtenu est appelé écart moyen « e » Σ |x i - x | × n i x = moyenne e= N N = effectif total V - Ecart type : Pour caractériser la dispersion des valeurs autour de la moyenne: - on calcule le carré de l’écart de chaque valeur par rapport à la moyenne - on effectue la moyenne arithmétique de ces carrés des écarts. Le nombre obtenu est appelé variance « v » . L’écart type est la racine carrée de la variance. Σ n i × | x i - x |2 v= ó = V N VI - Exercice : Reprenons l’exemple du III . Déterminons l’écart moyen et l’écart type . tailles (cm) effectif n i centre des classes x i xi x ni Ecart |x i - x| |x i - x|2 n i x |x i - x| ni x|x i - x|2 [160 ; 164[ [164 ; 168[ [168 ; 172[ [172 ; 176[ [176 ; 180[ 1° - La moyenne de la série est : .................................................................................................................... 2° - l’écart moyen est : .................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 3° - La variance de la série est :...................................................................................................................... 4° - l’écart type de la série est : ....................................................................................................................... TRAVAUX DIRIGES EXERCICE 1 : Une boutique de confection a relevé le montant mensuel de ses ventes : Montant des ventes ( F ) Effectifs [ 0 ; 300 [ [ 300 ; 600 [ [ 600 ; 900 [ [ 900 ; 1 200 [ 127 82 90 48 [1 200 ;1500 [ [ 1500 ;1800 [ 33 20 1° - Déterminer le montant moyen des ventes. 2° - Déterminer l’écart moyen. 3° - Déterminer l’écart type. EXERCICE 2 : On note dans un tableau les rémunérations brutes mensuelles des employés d’une entreprise. Salaires bruts (F) [4000 ; 5000 [ [ 5000 ; 6000 [ [ 6000 ; 8000 [ [ 8000 ; 10000 [ [10000 ;12000 [ [12000 ;20000 [ Effectifs 15 35 42 27 19 12 1° - Tracer l’histogramme de cette série. 2° - Déterminer la rémunération moyenne. 2° - Déterminer l’écart moyen. 3° - Déterminer l’écart type.
