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Interrogation n1 - Sujet A
1) Questions de cours :
a) Donner la dénition d'une fonction minorée.
b) Donner la dénition d'une fonction impaire.
c) Donner la dénition d'une fonction dérivable.
d) Que peut-on dire de la courbe représentative d'une fonction T -périodique dans un repère orthonormé
(O;~i, ~j) ?
e) Donner la formule donnant la dérivée de la bijection réciproque d'une bijection.
f) Montrer que la composée de deux fonctions décroissantes est croissante.
2) Exercices :
a) Quel est l'ensemble de dénition de la fonction f (x) =
b) Est-elle majorée ? Minorée ? Bornée sur R ?
sin(x) − 2 cos(x)
?
esin(x)
2 − 3x
c) Soit g la fonction dénie par g(x) = ln
. Après avoir déterminer l'ensemble de dénition de g ,
5+x
montrer qu'il s'agit d'une bijection d'un intervalle de R sur un ensemble à déterminer.
Interrogation n1 - Sujet B
1) Questions de cours :
a) Donner la dénition d'une fonction décroissante.
b) Donner la dénition d'une fonction dérivable.
c) Donner la dénition d'une bijection.
d) Que peut-on dire de la courbe représentative de la fonction x 7→ f (x + a) par rapport à celle de la fontion
f?
e) Donner la formule donnant la dérivée de la composée de deux fonctions.
f) Montrer que la composée de deux fonctions décroissantes est croissante.
2) Exercices :
a) Quel est l'ensemble de dénition de la fonction f (x) =
b) Est-elle majorée ? Minorée ? Bornée sur R ?
s
sin(x) − 2 cos(x)
?
esin(x)
2 − 3x
.. Après avoir déterminer l'ensemble de dénition de g ,
c) Soit g la fonction dénie par g(x) =
5+x
montrer qu'il s'agit d'une bijection d'un intervalle de R sur un ensemble à déterminer.
Interrogation n2
1) Questions de cours :
a) Donner la dénition de la fonction Arcsin.
b) Donner la dénition de la fonction cosinus hyperbolique.
1
x
ln(x)
d) Que valent les limites lim xex et lim
?
x→−∞
x→+∞ x
c) Expliquer pour quoi la dérivée de ln est x 7→ .
π
2
π
= 0?
2
e) Déterminer en justiant, la valeur de Arccos(0). Pourquoi, Arccos(0)6= − alors que cos −
√
f) Montrer que : ∀x ∈ [−1, 1], cos(Arcsin(x)) = 1 − x2 .
2) Exercices :
a)
b)
c)
d)
1 − x2
= 2Arctan(x)
Montrer que : ∀x ∈ R+ , Arccos
1 + x2
1
Résoudre l'équation : sin(x) cos(x) = dans R puis dans [0, π].
4
3
1
= dans R.
Résoudre l'équation : sin(x) −
sin(x)
2
√
Montrer que f (x) = x2 − 4x + 8 est une bijection de [2, +∞[ sur un intervalle à déterminer. Déterminer
sa bijection réciproque.
Interrogation n3
2
en précisant le domaine de validité. On
−1
Z
√
dx
2x
.
b) En eectuant le changement de variable u = 1 + e , en déduire √
1 + e2x
x
2) Déterminer une primitive de x 7→ 2
en précisant le domaine de validité.
x + 2x + 2
1) a) Déterminer une primitive de u 7→
u2
détaillera les calculs.
3) Résoudre les équations diérentielles suivantes :
√
a) 1 − x2 y 0 + y = 1
1
x
b) y 0 + y = √
1
x2
+1
Interrogation n4
1) Déterminer les intégrales suivantes :
a)
Z
0
1
2
Arccos(x)dx
b)
Z
π
cos3 (x) sin(x)dx
0
2) Soit n ∈ N∗ .
a) Donner sous forme exponentielle les racines n-èmes de l'unité.
b) Caluler la somme des racines n-èmes de l'unité.
c) Donner sous forme algébrique les racines nèmes de l'unité pour n ∈ {1, 2, 3, 4}. Placer ces éléments dans le
plan complexe sur 4 gures distinctes.
Interrogation n5
Interrogation n6
1) Donner les formules donnant la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique et d'une suite
géométrique.
2) Soit f : E → F une application, A ⊂ E et B ⊂ F .
a) Comment appelle-t-on f (A) ? Donner sa dénition par compréhension.
b) Comment appelle-t-on f −1 (B) ? Donner sa dénition par compréhension.
3) Donner les diérentes méthodes permettant de montrer qu'une application est bijective. Illustrer chaque
méthode par un exemple sans le démontrer.
4) Déterminer parmi les applications suivantes lesquelles sont injectives, surjectives, bijectives :
a)
f : R2
→ R
(x, y) 7→ x + y
b)
h: N → N
n
7→ 2n + 1
c)
g : R2
→ R2
(x, y) 7→ (x + y, xy)