statistiques ii

ENS 2014-2015
2eme année
Dr. Aicha. Lazraq Khlass
Mathématiques
Statistiques (II)
Caractères statistiques
Dans ce chapitre, a…n d’approfondir l’analyse d’une série statistque, on va
dé…nir les caractéristques de position , de dispersion et de concentration d’une
telle série.
.
II. I. Caractéristiques de position.
Elles résument la série par sa valeur centrale.
.
II. I. i). Le mode.
* Cas discret.
Le mode est la valeur de la variable qui a l’e¤ectif le plus élevé.
Exemple :
Résultats obtenus à la dernière évaluation dans une classe de 35 élèves :
Note xi3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Total
E¤ectifs ni1 1 2 3 1 3 4 6 7 2 1 1 0 2 1 35
E¤ectifs cumulés
croissants 1247811152128303132323435
Dans ce tableau le mode est la valeur 12.
A l’issue d’une course êtes vous arrivé dans le 1er groupe, dans le 3egroupe
ou avec le peloton de coureurs. Le mode représente le peloton.
.
* Cas continu.
La classe madale correspond à l’e¤ectif corrigé ni
aile plus élevé. C’est aussi
la classe correspondant au rectangle le plus élevé dans l’histogramme. Une
distribution statistique peut être bimodale, trimodale et mulitimodale.
Classes [1000;2000[ [2000;3000[ [3000;5000[ [5000;7000[ [7000;10000[
E¤ectifs ni
amplitudes ai
E¤ectifs corrigés ni
ai
200
1000
0;2
150
1000
0;15
300
2000
0;15
250
2000
0;125
100
3000
0;033
La classe madale est [1000;2000[ :
.
II. I. ii). La médiane.
La médiane est la valeur de la variable qui partage la série classée par
ordre croissant en deux parties de même e¤ectif. On a, donc F() = 0;5, où F
est la fonction de répartition.
A l’issue d’une course êtes vous arrivé dans la 1er moitié ou dans la seconde?
*Cas discret.
1

On range les modalités par ordre croissant la médiane se trouve alors au
milieu de la série.
* Cas continue.
Classes [1000;2000[ [2000;3000[ [3000;5000[ [5000;7000[ [7000;10000[
E¤ectifs ni
fréquences fi
Fréquences cumulées
200
0;2
0;2
150
0;15
0;35
300
0;3
0;65
250
0;25
0;9
100
0;1
1
F(1000) = 0
F(2000) = 0;2
F(3000) = 0;35
F(5000) = 0;65
F(7000) = 0;9
F(1000) = 1
.
.
.
.
.
.
.
.
On a : F() = 0;5donc 3000 5000
On cherche l’équation de la droite y=ax +bqui passe par les points :
A(3000; 0;35) et B(5000; 0;65):On trouve, y= 0;00015x0;1:Donc 0;5 =
0;000150;1:Ainsi = 4000
Conclusion :
*50% des salariés touchent au moins 4000 Dhs
*50% des salariés touchent au plus 4000 Dhs
.
II. I. iii). Les quartiles.
Les quartiles sont les valeurs Q1,Q2,Q3de la variable qui partagent l’e¤ectif
en même e¤ectif. Chaque ensemble contient 25% de l’e¤ectif.
A l’issue d’une course êtes vous arrivé dans le 1er /quart , le 2e/quart, le
3e/quart?
Exemples : Voir travaux dirigés.
.
II. I. iii). La moyenne arithmétique.
* Dé…nition.
Soit Xune variable statistique, de la modalité xi, d’e¤ectif niet de fréquance
fi:
La moyenne arithmétique pondérée de Xpermet de relativiser la variable
par l’e¤ectif. Elle est obtenu par la formule suivante : X=nixi
ni
=Pfixi:
A l’issue d’une course avez vous mis plus ou moins que le temps moyen?
Dans le cas continu, chaque classe est représentée par son centre ci. On a
alors : X=nici
ni
=Pfici:
2

.
* Exemples.
- Le cas discret.
Dans l’exemple précédent, X=3+5+12+21+8+27+40+66+84+26+14+15+34+18
35 =
10;66
La note moyenne de la classe est : 10;66
.
-Exemple dans le cas continu.
Population : Les salariés d’une entreprise.
Caractère :salaire mensuel net en Dhs.
Classes [1000;2000[ [2000;3000[ [3000;5000[ [5000;7000[ [7000;10000[ Total
E¤ectifs ni200 150 300 250 100 1000
On a : X=2001500+1502500+3004000+2506000+1008500
1000 = 4225
Le salaire moyen dans l’entreprise est de 4225 Dhs.
.
*Propriétés.
i) La somme des écarts des valeurs par rapport à la moyenne arithmétique
est toujours nulle : Pni(xiX) = 0
ii) Changement de variable a¢ ne :
Si Y=X +(2R;2R), alors Y=X +
iii) Sous population :
Soit une population Pconstitué de deux sous populations :
P1d’e¤ectif N1et de moyenne X1
P2d’e¤ectif N2et de moyenne X2
Alors la moyenne arithmétique Xrelative à l’ensemble de la population P
est donnée par :
X=N1X1+N2X2
N1+N2
Dans le cas où la population Pest constituée de ksous populations, on a :
X=N1X1+:::+NkXk
N1+:::+Nk
Exemple.
Une entreprise est constituée de 150 hommes et 100 femmes. Le salaire
moyen des hommes est de 4000 Dhs et le salaire moyen des femmes est de 3500
Dhs. Le salaire moyen des salariés de l’entreprise est : X=4000150+3500100
250 =
3800
Le salaire moyen dans l’entreprise est de 3800 Dhs.
.
II. II . Caractéristiques de dispersion.
II. II. 1. Introduction.
Considérant les deux séries statistiques suivantes :
(X) : 8;8;9;9;10;10;10;11;11;12;12
(Y) : 1;1;10;2;10;2;10;19;19;18;18
Ces deux séries statistiques ont les mêmes caractéristiques de disposition :
La moyenne : X=Y= 10
Le mode : 10
La médiane : 10
3

Mais elles sont di¤érentes car les valeurs de (X)sont conentrées autour de la
moyenne Xet les valeurs de (Y)sont dispersées autour de cette même moyenne
Y : C’est pourquoi on dé…nit les caractéristiques de dispersion.
.
II. II. 2. L’étendue.
L’étendue, notée E(X), représente la di¤érence entre les valeurs extrêmes
de la distribution : E(X) = xmax xmin:
Dans les deux exemples précédents :
E(X) = xmax xmin = 12 8 = 4
E(Y) = xmax xmin = 19 1 = 18
.
II. II. 3. L’intervalle interquartile.
L’intervalle interquartile, noté I, est la di¤érence entre les deux quartiles Q3
et Q1:I=Q3Q1:Cet intervalle contient 50% de la population en en élimi-
nant 25% à chaque extrémité. Cette caractéristique est nettement meilleure que
l’étendue car ce dernier ne dépend que des valeurs extrêmes qui sont exeption-
nelles.
.
II. II. 4. L’écart absolu moyen.
On a montré que la somme des écarts entre les modalités et la moyenne est
nulle : P
1in
ni(xiX) = 0:On remplace la somme des écarts par la somme
des valeurs absolues des écrats pour dé…nir l’écart absolu moyen de la variable
statistique (X) :
eam(X) = 1
NP
1in
nixiX:
En reprenant les deux exemples précédents :
eam(X) = 1
NP
1in
nixiX=12
11 = 1;09
eam(Y) = 1
NP
1in
niyiY=68
11 = 6;02
On a : eam(Y)> eam(X), donc (Y)est plus dispersé que (X):
.
II. II. 5. La variance.
C’est la caractéristique de dispersion la plus utilisée avec l’écart quadratique
moyen.
V(X) = 1
NP
1in
nixiX2
Dans le cas d’une variable statistique continue, xireprésente le centre de la
ième classe.
La variance est donc toujours positive ou nulle. Les formules ci-dessus im-
posent de calculer les di¤érences xiX2. Pour faciliter le calcul, on peut
utiliser le théorème de Koenig :
.
Théorème de KOENIG :
On a aussi :
4

V(X) = 1
NP
1in
nix2
i!X2= P
1in
fix2
i!X2
Preuve :
V(X) = 1
NP
1in
nixiX2=1
NP
1in
nix2
i1
NP
1in
ni2xiX+1
NP
1in
niX2
=1
NP
1in
nix2
i2X1
NP
1in
nixi+X21
NP
1in
ni
=1
NP
1in
nix2
i2X2+X2:
=1
NP
1in
nix2
iX2:
.
II. II. 6. Écart quadratique moyen.
L’écart quadratique moyen d’une série statistique est la racine carrée de la
variance pV(X). On le note X:
A la di¤érence de la variance qui correspond à un carré, l’écart quadratique
moyen est homogène à la variable statistique et s’exprime dans les mêmes unités.
Il permet de mesurer la dispersion de la distribution statistique autour de sa
valeur moyenne.
.
II. II. 7. Coe¢ cient de variation.
L’écart type comme la moyenne s’expriment dans la même unité que la
variable statistique. Mais, on peut avoir à comparer la dispersion de deux
distributions qui ne s’expriment pas dans la même unité par exemple dispersion
des revenus dans 2pays di¤érents. Dans ce cas, on fait recour à une mesure
de dispersion relative : le coe¢ cient de variation qui est le rapport entre l’écart
quadratique moyen et la moyenne :
C:V (X) = X
X:
.
II. II. 8. Exemple.
Cas discret : Le nombre d’enfants par ménage :
xi01 2 34567Total
ni971295602 50
On a :
X=90+71+122+93+45+56+60+72
50 = 2;44
V(X) = 902+712+1222+932+542+652+062+272
50 (2;44)2= 3;3264
X=pV(X) = p3;3264 = 1;82
.
Cas continu :
Classes [1000;2000[ [2000;3000[ [3000;5000[ [5000;7000[ [7000;10000[ Total
ni200 150 300 250 100 1000
On a :
X=2001500+1502500+3004000+2506000+1008500
1000 = 4225
V(X) = 20015002+15025002+30040002+25060002+10085002
1000 (4225)2= 4561875
X=pV(X) = p4561875 = 2136
.
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