Équations et inéquations

Équations et inéquations
1
Page 1
Rappel sur la résolution d’une équation à une inconnue du 1er
degré
Rappels
Méthode. Pour résoudre une équation du 1er degré à une inconnue, la méthode vue en 4˚
consiste à isoler l’inconnue dans un membre à l’aide des propriétés suivantes.
Propriétés. Une équation a les mêmes solutions que toutes les équations obtenues :
• en ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux membres de l’égalité ;
• en multipliant ou en divisant par un même nombre non nul les deux membres de l’égalité.
Exemple. Résolvons l’équation 3x + 7 = 2(1 − x).
3x + 7
=
2(1 − x)
3x + 7
=
2 − 2x
On développe le membre de droite ;
5x + 7
=
2
On ajoute 2x aux deux membres de l’égalité ;
5x
=
−5
On retranche 7 aux deux membres de l’égalité ;
x
=
−1
On divise par 5 les deux membres de l’égalité.
On conclut : “−1 est la solution de l’équation” OU “L’équation 3x + 7 = 2(1 − x) admet une
solution : −1”.
Équation produit
Rappel. On appelle “équation produit nul” une équation de la forme a × b = 0.
Propriété. Si l’un des facteurs d’un produit est nul, alors ce produit est nul. Réciproquement,
si un produit est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul.
Les solutions de l’équation a × b = 0 sont donc les solutions des équations a = 0 et b = 0.
Exemple. Résolvons l’équation (2x + 6)(x + 2) = 0.
Résoudre cette équation revient à résoudre :
(2x + 6) = 0
et
2x = −6
(x + 2) = 0
x = −2
x = −3
On conclut : “−2 et −3 sont les solutions de l’équation”.
Mathématiques
http://www.devoirdemaths.com
Cours 3˚
Équations et inéquations
Page 2
Mise en équation d’un problème
Problème. Un père de 40 ans a une fille de 14 ans. Dans combien d’années l’âge du père
sera-t-il le double de l’âge de sa fille ?
Méthode.
1. Choix de l’inconnue : Soit x le nombre d’années recherché.
2. Mise en équation du problème :
âge actuel du père : 40
âge actuel de la fille : 14
dans x années : 40 + x
dans x années : 14 + x
La question posée conduit donc à résoudre l’équation 40 + x = 2(14 + x).
3. Résolution de l’équation :
40 + x
=
2(14 + x)
40 + x
=
28 + 2x
40 − 28
=
2x − x
x
=
12
4. Interprétation du résultat : L’âge du père sera le double de l’âge de sa fille dans 12 ans.
Attention. L’interprétation du résultat doit bien évidemment répondre à la question !
Ainsi, si la question avait été “Quel sera l’âge du père lorsque ce dernier aura le double de
l’âge de sa fille ?”, la réponse aurait été “Le père aura 52 ans lorsqu’il aura le double de l’âge de
sa fille”.
2
Inégalités et opérations
Rappel. On appelle “inégalité” une expression de la forme a 6 b.
Règle 1. Additions
Si on ajoute ou si on soustrait un même nombre aux deux membres d’une inégalité, on ne
change pas le sens de l’inégalité.
Autrement dit, a, b, c désignant des réels, si a < b alors a + c < b + c.
Exemple. 1 < 3 et 1 + 2 < 3 + 2 soit 3 < 5.
Règle 2. Multiplication par un nombre positif
Si on multiplie ou si on divise les deux membres d’une inégalité par un même nombre positif,
on ne change pas le sens de l’inégalité.
Autrement dit, a, b, c désignant des réels, si a < b et c > 0 alors ac < bc.
Exemple. 2 < 5 et 7 > 0, donc 2 × 7 < 5 × 7 soit 14 < 35.
Règle 3. Multiplication par un nombre négatif
Si on multiplie ou si on divise les deux membres d’une inégalité par un même nombre négatif,
on change le sens de l’inégalité.
Autrement dit, a, b, c désignant des réels, si a < b et c < 0 alors ac > bc.
Exemple. 5 < 12 et −2 < 0 donc 5 × (−2) > 12 × (−2) soit −10 > −24.
Mathématiques
http://www.devoirdemaths.com
Cours 3˚
Équations et inéquations
3
Page 3
Inéquation à une inconnue du 1er degré
Résolution d’une inéquation
Définition. Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs numériques que l’on
peut donner à x pour que l’inégalité soit vérifiée.
Ces valeurs numériques sont appelées les solutions de l’inéquation.
Pour cela, la méthode consiste à isoler x dans un membre à l’aide des règles énoncées dans
la partie 2.
Exemple. Résolvons l’inéquation 3x − 7 < 5.
3x − 7
<
5
3x
<
12
On ajoute 7 aux deux membres de l’inégalité ;
x
<
4
On divise par 3 > 0 les deux membres de l’inégalité.
Les nombres strictement inférieurs à 4 sont donc les solutions de l’inéquation 3x − 7 < 5.
0
4
Le crochet est vers l’extérieur :
les solutions sont strictement inférieurs à 4
Mise en équation et résolution
Problème. Un rectangle a un côté qui mesure 7 cm.
Quelle doit être la longueur de l’autre côté pour que le périmètre soit inférieur ou égal à 32
cm ?
Méthode.
1. Choix de l’inconnue : Soit n la mesure de l’autre côté. On a n > 0 car il représente une
longueur.
2. Mise en équation du problème : Le périmètre du rectangle est 2(n + 7) d’où l’inéquation
2(n + 7) 6 32.
3. Résolution de l’équation :
2(n + 7)
6
32
2n + 14
6
32
2n
6
18
n
6
9
4. Interprétation du résultat : La longueur de l’autre côté du rectangle doit être inférieure
ou égale à 9 cm.
Mathématiques
http://www.devoirdemaths.com
Cours 3˚
Équations et inéquations
4
Page 4
Système de deux équations à deux inconnues
Définition. On appelle “système de deux équations à deux inconnues” un ensemble formé
par deux équations de la forme ax + by = c (en troisième . . .)où a, b, c sont des nombres fixés et
x et y les inconnues.
Résoudre un système, c’est déterminer les couples (x; y) qui vérifient en même temps les
deux égalités.
Un tel couple est appelé “solution du système”.

 2x + 3y = 1
Exemple. Le système
est un système de deux équations à deux inconnues.
 4x − y = −5
Le couple (−1; 1) est la solution du système car :
2 × (−1) + 3 × 1 = −2 + 3 = 14 × (−1) − 1 = −4 − 1 = −5.
Résolution d’un problème par la mise en système d’équations
Problème. Lors de l’achat de ses fournitures, Maxime a acheté un classeur et deux paquets
de feuilles. Il a payé 5 euros.
Dans le même magasin, Julie a acheté 2 classeurs et 3 paquets de feuilles. Elle a payé 8, 50
euros.
Déterminez le prix d’un classeur et le prix d’un paquet de feuilles.
Méthode.
1. Choix des inconnues : Soient x le prix d’un classeur et y celui d’un paquet de feuilles.
2. Mise en équations du problème :
Données
Équations
1 classeur / 2 paquets de feuilles pour 5 euros
x + 2y = 5
2 classeurs / 3 paquets de feuilles pour 8, 50 euros 2x + 3y = 8, 5

 x + 2y = 5
Ainsi, le problème revient à résoudre le système
 2x + 3y = 8, 5
3. Résolution du système :
• Méthode de résolution par substitution.
a) On choisit une des équations et on exprime l’une des deux inconnues en fonction de
l’autre.
x + 2y = 5 ⇔ x = 5 − 2y;
b) On remplace x dans la deuxième équation par l’expression que l’on vient de trouver.
2x + 3y = 8, 5 ⇔ 2(5 − 2y) + 3y = 8, 5 ⇔ 10 − y = 8, 5;
c) On résout l’équation à une inconnue ainsi obtenue.
10 − y = 8, 5 ⇔ −y = −1, 5 ⇔ y = 1, 5;
d) On remplace y dans l’équation initiale par la valeur précédemment trouvée.
x = 5 − 2y ⇔ x = 5 − 2 × (1, 5) ⇔ x = 5 − 3 ⇔ x = 2.
Mathématiques
http://www.devoirdemaths.com
Cours 3˚
Équations et inéquations
Page 5
• Méthode de résolution par combinaison.
a) On multiplie les deux membres de la première équation par −2 pour éliminer les x
en additionnant membre à membre.
x + 2y = 5 ⇔ −2x − 4y = −10;
b) On additionne membre à membre les deux équations du système.
−2x + 2x − 4y + 3y = −10 + 8, 5 ⇔ −y = −1, 5 ⇔ y = 1, 5;
c) On remplace y par 1, 5 dans l’une des deux équations pour déterminer x.
x + 2y = 5 ⇔ x + 3 = 5 ⇔ x = 2.
• Conclusion. Le couple de nombres (2; 1, 5) est la solution de ce système.
4. Interprétation du résultat : Un classeur coûte 2 euros et un paquet de feuilles coûte 1, 5
euros.
Mathématiques
http://www.devoirdemaths.com
Cours 3˚