Théorème

Rappel :
Théorème
Soit F : A → B une fonction.
La fonction F est bijective
si et seulement si
il existe une fonction G : B → A telle que
F ◦ G = 1B et G ◦ F = 1A .
—Cette (unique) "fonction inverse de F " est notée
G = F −1 .
On a F (a) = b si et seulement si F −1 (b) = a si et seulement si
F −1 (b) = {a} (ensemble pré-image).
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Rappel :
Proposition
Soient A et B deux ensembles finis.
Il existe une fonction bijective F : A → B si et seulement si
|A| = |B|.
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Théorème
A et B deux ensembles fini non-vides. Posons n = |A|. Il existe une
fonction bijective φ : Fonctions(A, B) → B n .
Corollaire
A et B deux ensembles fini non-vides. Posons n = |A|. On a
|Fonctions(A, B)| = |B n |.
Le corollaire est conséquence du théorème et de la proposition
précédente.
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Démonstration.
Fixons une liste ordonnée des éléments de A, sans répétitions,
disons A = {a1 , a2 , . . . , an }.
φ : Fonctions(A, B) → B n
φ F =
a 1 a 2 a3 . . . an
b1 b2 b3 . . . bn
!!
:= (b1 , b2 , b3 , . . . , bn ) ∈ B n .
φ a la fonction inverse ψ = φ−1 :
ψ : B n → Fonctions(A, B)
ψ((b1 , b2 , . . . , bn )) := F =
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a1 a2 a 3 . . . a n
b1 b2 b3 . . . bn
!
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Logique
Après ce petit introduction à la théorie des ensembles et fonctions
nous allons faire une introduction à la logique.
Et continuer de faire des constructions avec des ensembles !
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Une "proposition (logique)" est un énoncé qui peut être vrai ou
faux, mais non les deux à la fois.
Un énoncé dans la vraie vie peut être vrai et faux au même temps :
dans ce cas ce n’est pas considéré comme une proposition logique.
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Considérons l’énoncé : "Il fait beau".
Un problème de la vraie vie est, qui décide la vérité, et quand et
comment ?
Supposons qu’il pleut.
• Si vous avez un jardin vous dites peut-être : vrai (il fait beau
pour mes plantes).
• Si vous voulez manger dehors vous dites : faux (je ne veux pas
manger sous un parapluie).
• On pourrait faire un sondage : 33% vrai, 66% faux, 1% sans
opinion ? ? ? ?
Ce ne sont pas de problèmes de logique, mais problèmes de la vraie
vie.
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La communauté des mathématiciens décide si une preuve est
considérée convaincante, et donc si une proposition est vraie ou
fausse ou "pas montrée encore".
Mais tout ça reste du travail des humains. Une erreur dans un
argument peut être cachée.
Et ça arrive, de temps en temps.
En plus : on a montré que "il existe des propositions
mathématiques vraies, mais impossible de "montrer" ".
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Exemples :
I
p1 :="Toronto est la capitale du Canada" (faux)
I
p2 := "le chat est un animal" (vrai)
I
p3 :="1 + 1 = 3" (faux)
I
p4 :="si x ∈ E et E ⊆ F alors x ∈ F " (vrai)
I
p5 :="Chaque nombre naturel n > 2 pair est la somme de
deux nombres premiers" (vrai ou faux, mais inconnu)
Pour la dernière proposition p5 on ne connais pas la réponse, mais
c’est soit vraie, soit fausse.
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Considérons l’énoncé composé :
P :=""S’il fait beau je vais patiner cet après-midi"
et "Il fait beau" et
"Je ne vais pas patiner cet après-midi"".
On dirait : P est FAUSSE (c’est impossible que les trois énoncés
sont tous vrais au même temps).
Je suis d’accord. Ça, c’est logique. Ça ne dépend pas de qui décide
la vérité de chaque proposition.
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En mathématiques on évite d’utiliser des énoncés qui ne sont pas
des propositions.
Et on essaie de formuler des propositions intéressantes et de
décider leur vérité.
On écrit :
Théorème
Une certain proposition P
si cette proposition P est (incontestablement) vraie. Ou Lemme,
Proposition, Corollaire,...
C’est accompagné par une "preuve" : un argument pourquoi cette
proposition est vraie.
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Si on a des raisons de croire qu’une proposition soit vraie, mais on
ne peut pas le montrer on dit que c’est une conjecture. Par
exemple, Goldbach semble avoir proposé :
Conjecture (Goldbach)
Chaque nombre naturel n > 2 pair est la somme de deux nombres
premiers.
Donc c’est une proposition qu’on crois d’être vraie, mais qu’on ne
peut pas démontrer.
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Le but des mathématiques :
• à partir de quelques hypothèses (des propositions logiques qu’on
suppose vraie),
• de produire d’autres propositions logiques qui sont aussi vraies
(et espérons "intéressantes"). Bâtir une théorie.
• En utilisant la logique et la théorie des ensembles.
• Et en utilisant ce qui à été montré déjà !
L’hypothèse de base la plus importante est "L’ensemble des entiers
N avec ses propriétés élémentaires EXISTE".
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Logique.
Une proposition (logique) est un énoncé qui peut être vrai ou faux,
mais non les deux à la fois.
Un énoncé dans la vraie vie peut être vrai et faux au même temps :
dans ce cas on ne devrait pas le considérer comme une proposition
logique.
La logique traite la manipulation des propositions logiques.
Dans la logique ce n’est pas nécessaire que nous connaissons la
vérité des propositions
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En mathématiques souvent les propositions sont dépendant d’une
variable : les fonctions propositionnelles.
Le variable varie dans l’univers du discours. disons l’ensemble U.
p(n) :="Si n > 10 alors n + 1 > 10" avec univers de discours N.
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Combinaisons simples.
On a le sentiment qu’on pourrait décomposer
"si x ∈ E et E ⊆ F alors x ∈ F "
comme une combinaison d’autres propositions plus simples.
En effet, c’est le cas.
Les mots "et", "ou", "si .. alors" et "si et seulement si" sont ses
mots clés pour détecter ça.
Et aussi, on peut combiner des propositions pour obtenir des
propositions plus compliquées.
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"Bratt Pitt est beau et riche" est une combinaison des deux
propositions
p :="Bratt Pitt est beau"
et
q :="Bratt Pitt est riche".
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Soient p et q deux propositions logiques.
La proposition "p et q" est la proposition logique composée, qui
est par définition vraie si p est vraie et si aussi q est vraie.
Et c’est fausse sinon (c.-à-d. si p est fausse ou si q est fausse (ou
toutes les deux sont fausses)).
On écrit parfois :
p ∧ q.
(Parfois on dit la conjonction de p et de q. Mais pas moi.)
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"Le manuel est bleu" ∧ "Le ciel est vert" = "Le manuel est bleu et
le ciel est vert".
Utilisé dans la définition : "un élément x est dans U ∩ V " si "x est
dans U" ∧ "x est dans Y ."
Une définition est une convention : si on écrit x ∈ U ∩ V on veut
dire x ∈ U et x ∈ V .
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Soient p et q deux propositions logiques.
La proposition "p ou q" est la proposition logique (dite composée)
qui est par définition vraie si p est vraie ou si q est vraie (ou si
toutes les deux sont vraies) et c’est fausse sinon (c.-à-d. si p et q
sont toutes les deux fausses).
On écrit parfois
p ∨ q.
(Parfois on dit la disjonction de p et de q. Mais pas moi.)
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"Le manuel est bleu" ∨ "Le ciel est vert" = "Le manuel est bleu ou
le ciel est vert".
Utilisé dans la définition : "un élément x est dans U ∪ V " si "x est
dans U" ∨ "x est dans Y ."
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Mais dans la vraie vie il y a deux "ou"’s, il faut faire attention.
Une conversation dans un resto :
"Dans le menu du jour une soupe ou une salade est incluse".
"D’accord. Donnez-moi les deux !".
"Mais non, monsieur, vous n’avez pas le droit."
"Zut. Pourquoi pas, vous avez dites "ou", non ? ! ".
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La proposition "p ou-strict q" est la proposition logique composée,
qui est par définition vraie si p est vraie ou si q est vraie (mais pas
si tous les deux sont vraies).
Et c’est fausse sinon (c.-à-d. si p et q sont toutes les deux fausses
ou toutes les deux vraies).
On écrit parfois
p ⊕ q.
(Parfois on dit la disjonction exclusive de p et de q et xor. Mais
pas moi.)
Presque jamais utilisé dans les mathématiques !
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Convention : Si je dit "ou" se ne sera jamais dans le sense
"ou-strict".
Et le ou-strict ne sera presque jamais utilisé dans ce cours, mais il
faut savoir que ça existe comme définiiton.
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La proposition "non-p" (ou "pas-p", ou la négation de p.) est la
proposition logique qui est par définition vraie si p est fausse et est
fausse sinon (c.-à-d. si p est vraie).
On écrit parfois
¬ p.
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¬ "Le manuel est bleu" = "Le manuel n’est pas bleu".
¬ "Ce n’est pas cher" = "C’est cher".
Utilisé dans la définition : "un élément x est dans A" si
¬ "x est dans A" = "x n’est pas dans A"
(ici A ⊆ U).
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On a encore deux autres définitions de propositions composées
simples !
Et très importantes pour nous, et il faut bien comprendre que ce
sont de définitions, i.e. des conventions et pas plus.
Il faut être d’accord avec définitions, sinon il y aura de confusion.
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La proposition "si p alors q", ou "p implique q" est la proposition
logique composée, qui est par définition vraie si (p est vraie et q
est vraie) ou (si p est fausse).
Et c’est fausse sinon (c.-à-d. uniquement si p est vraie mais q est
fausse).
On écrit parfois
p → q.
On dit p est l’hypothèse et q la conclusion de "l’implication p → q"
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Reste une proposition logique, donc vraie ou faux, ça dépend.
Mais seulement faux si l’hypothèse est vraie et la conclusion
fausse.
p :="Vous avez une note plus haute ou égale à 50", q :="Vous
avez réussi le cours".
p → q = "Si vous avez une note plus haute ou égale à 50 vous
avez réussi le cours".
Soit n = 123456789.
p :="n est un nombre premier" , q :="n est un nombre impair".
p → q ="Si n est un nombre premier alors n est un nombre impair"
(Vraie !)
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Quoi dire de la vérité de p et q si p → q est vraie ?
Deux possibilités :
(i) p est fausse (et q ? sans importance : "je m’en fous")
ou
(ii) p et q sont vraies.
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Quoi dire de la vérité de p et q si p → q est fausse ?
Nécessairement :
p est vraie et q est fausse.
(Et v.v.)
"S’il fait beau je vais nager cet après-midi" est fausse seulement si
"il fait beau" et "je ne vais pas nager cet après-midi".
"S’il ne fait pas beau" alors p → q est vraie, même "si je ne vais
pas nager cet après-midi".
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La proposition "p si et seulement si q" , est la proposition logique,
qui est par définition vraie si
(p et q sont tous les deux vraies) ou si (p et q sont tous les deux
fausses).
Et c’est fausse sinon (c.-à-d. une des deux est vraie et l’autre est
fausse).
On écrit parfois
p ↔ q,
(On dit aussi "p biconditionnelle q", mais pas moi.)
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Déjà utilisé :
"la fonction f est injective" ↔ "chaque élément de la portée de f a
une unique préimage"
"A = B" ↔ ("A ⊆ B" et "B ⊆ A").
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Tous
Pour
p
V
F
ces définitions en forme de tableaux (V=vrai, F=faux).
la négation :
¬p
F
V
Pour
p
V
V
F
F
les autres définitions :
q p∨q p⊕q p∧q
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
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p→q
V
F
V
V
p↔q
V
F
F
V
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Maintenant nous pouvons commencer à combiner.
Supposons p,q, r sont trois propositions.
Alors
P := ((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p
est aussi une proposition.
Vraie pour quelles valeurs de vérité de p, q et r ?
Exemple, si p = F , q = F et r = V ?
Alors ¬q = V et
p ∨ r = V et donc
((¬q) ∧ (p ∨ r ) = V . Mais p = F donc
(((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p) = F .
Dans cette situation P sera faux.
Nous pouvons faire tous les huit possibilités de vérités.
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Les vérités de ((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p en forme de tableau :
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
¬q
F
F
V
V
F
F
V
V
p∨r
V
V
V
V
V
F
V
F
(¬q) ∧ (p ∨ r )
F
F
V
V
F
F
V
F
((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p
V
V
V
V
V
V
F
V
Alors P est faux si et seulement si
(p et q sont faux et r est vraie) si et seulement si
((¬p) ∧ (¬q)) ∧ r ) est vraie.
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P := ((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p.
Conclusion : P est faux si et seulement si ((¬p) ∧ (¬q)) ∧ r ) est
vraie.
Ou P est vraie si et seulement si ¬ ((¬p) ∧ (¬q)) ∧ r ) est vraie.
est vraie.
Posons Q := ¬ ((¬p) ∧ (¬q)) ∧ r )).
On dit P et Q sont logiquement équivalent, P ⇔ Q.
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Soit P, Q comme avant. Et soit R = (p ∨ q) ∨ (¬r ).
On obtient un nouveau tableau :
p q r p ∨ q ¬r R P Q
V V V
V
F V V V
V V F
V
V V V V
V F V
V
F V V V
V F F
V
V V V V
F V V
V
F V V V
F V F
V
V V V V
F F V
F
F F F F
F F F
F
V V V V
Conclusion : P, Q et R ont la même vérité, n’importe les valeurs
de p, q,r .
P, Q et R sont des propositions composées logiquement
équivalentes.
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Reformulation :
On devrait voir
P = P(p, q, r ), Q = Q(p, q, r ), R = R(p, q, r )
comme trois formules logiques (ou trois fonctions) qui dépendent
des propositions logiques p, q, r .
Ex :
P : {propositions logiques}3 → {propositions logiques}
où le triple de propositions (p, q, r ) est envoyé vers la proposition
P = P(p, q, r ).
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