Rappel : Théorème Soit F : A → B une fonction. La fonction F est bijective si et seulement si il existe une fonction G : B → A telle que F ◦ G = 1B et G ◦ F = 1A . —Cette (unique) "fonction inverse de F " est notée G = F −1 . On a F (a) = b si et seulement si F −1 (b) = a si et seulement si F −1 (b) = {a} (ensemble pré-image). MAT1500 1 of 39 Rappel : Proposition Soient A et B deux ensembles finis. Il existe une fonction bijective F : A → B si et seulement si |A| = |B|. MAT1500 2 of 39 Théorème A et B deux ensembles fini non-vides. Posons n = |A|. Il existe une fonction bijective φ : Fonctions(A, B) → B n . Corollaire A et B deux ensembles fini non-vides. Posons n = |A|. On a |Fonctions(A, B)| = |B n |. Le corollaire est conséquence du théorème et de la proposition précédente. MAT1500 3 of 39 Démonstration. Fixons une liste ordonnée des éléments de A, sans répétitions, disons A = {a1 , a2 , . . . , an }. φ : Fonctions(A, B) → B n φ F = a 1 a 2 a3 . . . an b1 b2 b3 . . . bn !! := (b1 , b2 , b3 , . . . , bn ) ∈ B n . φ a la fonction inverse ψ = φ−1 : ψ : B n → Fonctions(A, B) ψ((b1 , b2 , . . . , bn )) := F = MAT1500 a1 a2 a 3 . . . a n b1 b2 b3 . . . bn ! 4 of 39 Logique Après ce petit introduction à la théorie des ensembles et fonctions nous allons faire une introduction à la logique. Et continuer de faire des constructions avec des ensembles ! MAT1500 5 of 39 Une "proposition (logique)" est un énoncé qui peut être vrai ou faux, mais non les deux à la fois. Un énoncé dans la vraie vie peut être vrai et faux au même temps : dans ce cas ce n’est pas considéré comme une proposition logique. MAT1500 6 of 39 Considérons l’énoncé : "Il fait beau". Un problème de la vraie vie est, qui décide la vérité, et quand et comment ? Supposons qu’il pleut. • Si vous avez un jardin vous dites peut-être : vrai (il fait beau pour mes plantes). • Si vous voulez manger dehors vous dites : faux (je ne veux pas manger sous un parapluie). • On pourrait faire un sondage : 33% vrai, 66% faux, 1% sans opinion ? ? ? ? Ce ne sont pas de problèmes de logique, mais problèmes de la vraie vie. MAT1500 7 of 39 La communauté des mathématiciens décide si une preuve est considérée convaincante, et donc si une proposition est vraie ou fausse ou "pas montrée encore". Mais tout ça reste du travail des humains. Une erreur dans un argument peut être cachée. Et ça arrive, de temps en temps. En plus : on a montré que "il existe des propositions mathématiques vraies, mais impossible de "montrer" ". MAT1500 8 of 39 Exemples : I p1 :="Toronto est la capitale du Canada" (faux) I p2 := "le chat est un animal" (vrai) I p3 :="1 + 1 = 3" (faux) I p4 :="si x ∈ E et E ⊆ F alors x ∈ F " (vrai) I p5 :="Chaque nombre naturel n > 2 pair est la somme de deux nombres premiers" (vrai ou faux, mais inconnu) Pour la dernière proposition p5 on ne connais pas la réponse, mais c’est soit vraie, soit fausse. MAT1500 9 of 39 Considérons l’énoncé composé : P :=""S’il fait beau je vais patiner cet après-midi" et "Il fait beau" et "Je ne vais pas patiner cet après-midi"". On dirait : P est FAUSSE (c’est impossible que les trois énoncés sont tous vrais au même temps). Je suis d’accord. Ça, c’est logique. Ça ne dépend pas de qui décide la vérité de chaque proposition. MAT1500 10 of 39 En mathématiques on évite d’utiliser des énoncés qui ne sont pas des propositions. Et on essaie de formuler des propositions intéressantes et de décider leur vérité. On écrit : Théorème Une certain proposition P si cette proposition P est (incontestablement) vraie. Ou Lemme, Proposition, Corollaire,... C’est accompagné par une "preuve" : un argument pourquoi cette proposition est vraie. MAT1500 11 of 39 Si on a des raisons de croire qu’une proposition soit vraie, mais on ne peut pas le montrer on dit que c’est une conjecture. Par exemple, Goldbach semble avoir proposé : Conjecture (Goldbach) Chaque nombre naturel n > 2 pair est la somme de deux nombres premiers. Donc c’est une proposition qu’on crois d’être vraie, mais qu’on ne peut pas démontrer. MAT1500 12 of 39 Le but des mathématiques : • à partir de quelques hypothèses (des propositions logiques qu’on suppose vraie), • de produire d’autres propositions logiques qui sont aussi vraies (et espérons "intéressantes"). Bâtir une théorie. • En utilisant la logique et la théorie des ensembles. • Et en utilisant ce qui à été montré déjà ! L’hypothèse de base la plus importante est "L’ensemble des entiers N avec ses propriétés élémentaires EXISTE". MAT1500 13 of 39 Logique. Une proposition (logique) est un énoncé qui peut être vrai ou faux, mais non les deux à la fois. Un énoncé dans la vraie vie peut être vrai et faux au même temps : dans ce cas on ne devrait pas le considérer comme une proposition logique. La logique traite la manipulation des propositions logiques. Dans la logique ce n’est pas nécessaire que nous connaissons la vérité des propositions MAT1500 14 of 39 En mathématiques souvent les propositions sont dépendant d’une variable : les fonctions propositionnelles. Le variable varie dans l’univers du discours. disons l’ensemble U. p(n) :="Si n > 10 alors n + 1 > 10" avec univers de discours N. MAT1500 15 of 39 Combinaisons simples. On a le sentiment qu’on pourrait décomposer "si x ∈ E et E ⊆ F alors x ∈ F " comme une combinaison d’autres propositions plus simples. En effet, c’est le cas. Les mots "et", "ou", "si .. alors" et "si et seulement si" sont ses mots clés pour détecter ça. Et aussi, on peut combiner des propositions pour obtenir des propositions plus compliquées. MAT1500 16 of 39 "Bratt Pitt est beau et riche" est une combinaison des deux propositions p :="Bratt Pitt est beau" et q :="Bratt Pitt est riche". MAT1500 17 of 39 Soient p et q deux propositions logiques. La proposition "p et q" est la proposition logique composée, qui est par définition vraie si p est vraie et si aussi q est vraie. Et c’est fausse sinon (c.-à-d. si p est fausse ou si q est fausse (ou toutes les deux sont fausses)). On écrit parfois : p ∧ q. (Parfois on dit la conjonction de p et de q. Mais pas moi.) MAT1500 18 of 39 "Le manuel est bleu" ∧ "Le ciel est vert" = "Le manuel est bleu et le ciel est vert". Utilisé dans la définition : "un élément x est dans U ∩ V " si "x est dans U" ∧ "x est dans Y ." Une définition est une convention : si on écrit x ∈ U ∩ V on veut dire x ∈ U et x ∈ V . MAT1500 19 of 39 Soient p et q deux propositions logiques. La proposition "p ou q" est la proposition logique (dite composée) qui est par définition vraie si p est vraie ou si q est vraie (ou si toutes les deux sont vraies) et c’est fausse sinon (c.-à-d. si p et q sont toutes les deux fausses). On écrit parfois p ∨ q. (Parfois on dit la disjonction de p et de q. Mais pas moi.) MAT1500 20 of 39 "Le manuel est bleu" ∨ "Le ciel est vert" = "Le manuel est bleu ou le ciel est vert". Utilisé dans la définition : "un élément x est dans U ∪ V " si "x est dans U" ∨ "x est dans Y ." MAT1500 21 of 39 Mais dans la vraie vie il y a deux "ou"’s, il faut faire attention. Une conversation dans un resto : "Dans le menu du jour une soupe ou une salade est incluse". "D’accord. Donnez-moi les deux !". "Mais non, monsieur, vous n’avez pas le droit." "Zut. Pourquoi pas, vous avez dites "ou", non ? ! ". MAT1500 22 of 39 La proposition "p ou-strict q" est la proposition logique composée, qui est par définition vraie si p est vraie ou si q est vraie (mais pas si tous les deux sont vraies). Et c’est fausse sinon (c.-à-d. si p et q sont toutes les deux fausses ou toutes les deux vraies). On écrit parfois p ⊕ q. (Parfois on dit la disjonction exclusive de p et de q et xor. Mais pas moi.) Presque jamais utilisé dans les mathématiques ! MAT1500 23 of 39 Convention : Si je dit "ou" se ne sera jamais dans le sense "ou-strict". Et le ou-strict ne sera presque jamais utilisé dans ce cours, mais il faut savoir que ça existe comme définiiton. MAT1500 24 of 39 La proposition "non-p" (ou "pas-p", ou la négation de p.) est la proposition logique qui est par définition vraie si p est fausse et est fausse sinon (c.-à-d. si p est vraie). On écrit parfois ¬ p. MAT1500 25 of 39 ¬ "Le manuel est bleu" = "Le manuel n’est pas bleu". ¬ "Ce n’est pas cher" = "C’est cher". Utilisé dans la définition : "un élément x est dans A" si ¬ "x est dans A" = "x n’est pas dans A" (ici A ⊆ U). MAT1500 26 of 39 On a encore deux autres définitions de propositions composées simples ! Et très importantes pour nous, et il faut bien comprendre que ce sont de définitions, i.e. des conventions et pas plus. Il faut être d’accord avec définitions, sinon il y aura de confusion. MAT1500 27 of 39 La proposition "si p alors q", ou "p implique q" est la proposition logique composée, qui est par définition vraie si (p est vraie et q est vraie) ou (si p est fausse). Et c’est fausse sinon (c.-à-d. uniquement si p est vraie mais q est fausse). On écrit parfois p → q. On dit p est l’hypothèse et q la conclusion de "l’implication p → q" MAT1500 28 of 39 Reste une proposition logique, donc vraie ou faux, ça dépend. Mais seulement faux si l’hypothèse est vraie et la conclusion fausse. p :="Vous avez une note plus haute ou égale à 50", q :="Vous avez réussi le cours". p → q = "Si vous avez une note plus haute ou égale à 50 vous avez réussi le cours". Soit n = 123456789. p :="n est un nombre premier" , q :="n est un nombre impair". p → q ="Si n est un nombre premier alors n est un nombre impair" (Vraie !) MAT1500 29 of 39 Quoi dire de la vérité de p et q si p → q est vraie ? Deux possibilités : (i) p est fausse (et q ? sans importance : "je m’en fous") ou (ii) p et q sont vraies. MAT1500 30 of 39 Quoi dire de la vérité de p et q si p → q est fausse ? Nécessairement : p est vraie et q est fausse. (Et v.v.) "S’il fait beau je vais nager cet après-midi" est fausse seulement si "il fait beau" et "je ne vais pas nager cet après-midi". "S’il ne fait pas beau" alors p → q est vraie, même "si je ne vais pas nager cet après-midi". MAT1500 31 of 39 La proposition "p si et seulement si q" , est la proposition logique, qui est par définition vraie si (p et q sont tous les deux vraies) ou si (p et q sont tous les deux fausses). Et c’est fausse sinon (c.-à-d. une des deux est vraie et l’autre est fausse). On écrit parfois p ↔ q, (On dit aussi "p biconditionnelle q", mais pas moi.) MAT1500 32 of 39 Déjà utilisé : "la fonction f est injective" ↔ "chaque élément de la portée de f a une unique préimage" "A = B" ↔ ("A ⊆ B" et "B ⊆ A"). MAT1500 33 of 39 Tous Pour p V F ces définitions en forme de tableaux (V=vrai, F=faux). la négation : ¬p F V Pour p V V F F les autres définitions : q p∨q p⊕q p∧q V V F V F V V F V V V F F F F F MAT1500 p→q V F V V p↔q V F F V 34 of 39 Maintenant nous pouvons commencer à combiner. Supposons p,q, r sont trois propositions. Alors P := ((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p est aussi une proposition. Vraie pour quelles valeurs de vérité de p, q et r ? Exemple, si p = F , q = F et r = V ? Alors ¬q = V et p ∨ r = V et donc ((¬q) ∧ (p ∨ r ) = V . Mais p = F donc (((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p) = F . Dans cette situation P sera faux. Nous pouvons faire tous les huit possibilités de vérités. MAT1500 35 of 39 Les vérités de ((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p en forme de tableau : p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F ¬q F F V V F F V V p∨r V V V V V F V F (¬q) ∧ (p ∨ r ) F F V V F F V F ((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p V V V V V V F V Alors P est faux si et seulement si (p et q sont faux et r est vraie) si et seulement si ((¬p) ∧ (¬q)) ∧ r ) est vraie. MAT1500 36 of 39 P := ((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p. Conclusion : P est faux si et seulement si ((¬p) ∧ (¬q)) ∧ r ) est vraie. Ou P est vraie si et seulement si ¬ ((¬p) ∧ (¬q)) ∧ r ) est vraie. est vraie. Posons Q := ¬ ((¬p) ∧ (¬q)) ∧ r )). On dit P et Q sont logiquement équivalent, P ⇔ Q. MAT1500 37 of 39 Soit P, Q comme avant. Et soit R = (p ∨ q) ∨ (¬r ). On obtient un nouveau tableau : p q r p ∨ q ¬r R P Q V V V V F V V V V V F V V V V V V F V V F V V V V F F V V V V V F V V V F V V V F V F V V V V V F F V F F F F F F F F F V V V V Conclusion : P, Q et R ont la même vérité, n’importe les valeurs de p, q,r . P, Q et R sont des propositions composées logiquement équivalentes. MAT1500 38 of 39 Reformulation : On devrait voir P = P(p, q, r ), Q = Q(p, q, r ), R = R(p, q, r ) comme trois formules logiques (ou trois fonctions) qui dépendent des propositions logiques p, q, r . Ex : P : {propositions logiques}3 → {propositions logiques} où le triple de propositions (p, q, r ) est envoyé vers la proposition P = P(p, q, r ). MAT1500 39 of 39