Théorème

Rappel :
Théorème
Soit F :A→B une fonction.
La fonction F est bijective
si et seulement si
il existe une fonction G :B→A telle que
F◦G=1Bet G◦F=1A.
—-
Cette (unique) "fonction inverse de F" est notée
G=F−1.
On a F(a) = bsi et seulement si F−1(b) = asi et seulement si
F−1(b) = {a}(ensemble pré-image).
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Rappel :
Proposition
Soient A et B deux ensembles finis.
Il existe une fonction bijective F :A→B si et seulement si
|A|=|B|.
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Théorème
A et B deux ensembles fini non-vides. Posons n =|A|. Il existe une
fonction bijective φ:Fonctions(A,B)→Bn.
Corollaire
A et B deux ensembles fini non-vides. Posons n =|A|. On a
|Fonctions(A,B)|=|Bn|.
Le corollaire est conséquence du théorème et de la proposition
précédente.
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Démonstration.
Fixons une liste ordonnée des éléments de A, sans répétitions,
disons A={a1,a2,...,an}.
φ:Fonctions(A,B)→Bn
φ F= a1a2a3. . . an
b1b2b3. . . bn!!:= (b1,b2,b3,...,bn)∈Bn.
φa la fonction inverse ψ=φ−1:
ψ:Bn→Fonctions(A,B)
ψ((b1,b2,...,bn)) := F= a1a2a3. . . an
b1b2b3. . . bn!
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Logique
Après ce petit introduction à la théorie des ensembles et fonctions
nous allons faire une introduction à la logique.
Et continuer de faire des constructions avec des ensembles !
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