I. Algèbre linéaire A. Matrices 1. Définition Une

I. Algèbre linéaire
A. Matrices
1. Définition
Une matrice est un nombre rectangulaire de nombres.
Une matrice est dénotée Anxp où n représente le nombre de rangées et p le
nombre de colonnes dans la matrice.
Les éléments de la matrice sont dénotés aij où i indique la rangée et j la colonne
où est retrouvé l’élément.
11 12 13
23 21 22 23 x
a a a
Aa a a
2. Multiplication par un scalaire
Lorsqu’on multiplie une matrice par un scalaire, on doit multiplier chaque
élément dans la matrice par le scalaire.
Si
11 12
21 22
aa
Aaa
alors
11 12
21 22
ka ka
kA ka ka
3. Addition et soustraction de matrices
Lorsqu’on additionne des matrices, elle doit avoir le même format nxp. Chaque
élément semblable (ayant la même rangée et colonne) est additionné à l’autre
élément semblable.
Si
11 12
21 22
aa
Aaa
et
11 12
21 22
bb
Bbb
alors
11 11 12 12
21 21 22 22
a b a b
AB a b a b
L’addition de matrices est associative : A+B+C = (A+B)+C = A+(B+C)
L’addition de matrices est commutative : A+B = B+A
La multiplication par un scalaire est distributive par rapport à l’addition :
k(A+B) = kA+kB
4. Multiplication de matrices
Pour que deux matrices soient compatibles pour la multiplication, le nombre de
colonnes de la première matrice doit être le même que le nombre de rangée de
la deuxième. Donc, si A3x2 et B2x4, les matrices sont compatibles pour la
multiplication.
Dans la multiplication : AmxnBjxk n doit être égal à j et la matrice résultante sera
de format mxk.

Pour déterminer la valeur d’un élément, par exemple l’élément c11, nous
faisons la somme des produits des éléments de la première rangée de la matrice
A et de la première colonne de la matrice B.
1
B. Résolution de systèmes d’équations
1. par substitution
2. par élimination
C. La méthode Gauss-Jordan
La méthode Gauss-Jordan est semblable à la résolution de systèmes d’équations par
élimination par contre il faut transformer le système d’équations en matrice en
premier.
Une fois qu’on a la matrice, nous transformons celle-ci en matrice identité. Les
transformations des lignes possibles sont :
a. on peut multiplier une ligne par un scalaire
b. on peut échanger les lignes de place
c. on peut soustraire ou additionner deux lignes
D. Les matrices inverses
Étant donné une matrice A, la matrice inverse est dénotée A-1.
Si deux matrices, A et B, sont inverses l’une de l’autre, alors :
AB = BA = I
Nous pouvons aussi utiliser la matrice inverse afin de résoudre un système
d’équations.
Prenons les matrices A et X.
A représente la matrice des coefficients des variables, B représente la matrice des
égalités des systèmes d’équations et X la matrice de variables.
AX = B
AA-1X = A-1B
1
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IX = A-1B
X = A-1B
Pour trouver l’inverse, nous mettons la matrice dont nous voulons trouver l’inverse
à côté de la matrice identité. Nous transformons la matrice originale en matrice
identité. Pour chaque transformation sur la matrice originale, nous appliquons la
même transformation à la matrice identité.
E. Systèmes d’équations sans solution
1. Déterminer les solutions possibles
2. Effet sur l’inversibilité de la matrice
F. Les déterminants
Un système d’équations a une solution si le déterminant de la matrice est non nul.
1. Les matrices 2x2
2. Les matrices 3x3
a. la formule générale
3
3
32
2
21
1
1det)1(det)1(det)1(det i
i
ii
i
ii
i
iAaAaAaA
Aij est la sous-matrice qui est obtenue de A en enlevant les rangées et
colonnes i et j.
b. la règle de Sarrus
detA = aei + bfg + cdh – ceg – afh – dbi
c. l’algorithme de Gauss
Si une matrice de 3x3 possède un triangle de zéros inférieur ou supérieur, le
déterminant de la matrice peut être déterminé en multipliant la diagonale.

G. Les comatrices et les matrices transposées
1. Définition de comatrice
T
ij
ji BcomatA det1
Bij est la sous-matrice qui est obtenue de A en enlevant les rangées et colonnes i
et j.
2. Définition de matrice transposée
Une matrice transposée est celle où les rangées et les colonnes sont échangées.
3. L’inverse d’une matrice en fonction des comatrices et matrices transposées
A
comatA
Adet
1
A comatA = detA(I)
H. La règle de Cramer
bcomatA
detA
1
x
bA x
b Ax
1-
A
A
xj
jdet
det
où Aj est la matrice obtenue en remplaçant la colonne j par b.

II. Nombres complexes
1. Définition
Prenons x2+1=0. Étant donné que x2=-1, il n’y aura pas de solution réelle. Nous
avons donc dénoté i2=-1 où i est un nombre imaginaire ou dans le domaine
complexe.
Un nombre complexe, z, consiste d’une partie réelle et d’une partie imaginaire.
z=a+bi où a est réel et b est imaginaire
2. Représentation graphique
Nous représentons les nombres complexes sur un plan cartésien où l’axe des
abscisses représente la droite numérique des nombres réels et l’axe des ordonnées
la partie imaginaire du nombre complexe.
3. Le module d’un nombre complexe
Le module indique la distance d’un nombre complexe par rapport au point zéro;
soit la partie réel et imaginaire sont tous deux zéro.
Le module peut être calculé de la même façon d’une distance sur un plan
cartésien :
22
| | | |z a bi a b
4. L’addition de nombres complexes
Étant donné deux nombres complexes : a+bi et c+di
Si nous additionnons (a+bi) + (c+di), les parties réelles s’additionnent et les
parties imaginaires s’additionnent pour donner :
( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i
S’il s’agit d’une égalité, les parties réelles sont égales l’une à l’autre ainsi que
pour les parties imaginaires :
a bi c di
alors, a=c et b=d
5. Le complexe conjugué
Le conjugué d’un nombre complexe est pareil que le conjugué d’un nombre
radical.
Étant donné
z a bi
le conjugué sera donc
z a bi
(z barre)