XMP 2013-2014 POLYNÔMES 1. a. Factoriser 5 7 20 11 3

XMP 2013-2014 POLYNÔMES
1. a. Factoriser 5720113 234  XXXXP sachant que ce polynôme possède des racines rationnelles.
b. Factoriser 51563 234  XXXXP sachant que ce polynôme possède deux racines dont le produit vaut 5.
c. Factoriser 1082161716713 2345  XXXXXP sachant que ce polynôme possède une racine triple.
d. Déterminer les racines complexes du polynôme
1
234
X
X
X
X
(on pourra poser x xy 1  ). En déduire
la valeur de 5
2
cos .
2. Quel est le reste de la division euclidienne de 1)1(  nn XX par
1
2
X
X
?
3. Quelles sont les fonctions polynômes de
dans
qui sont bijectives ?
4. L'application 3 3 :
( ) ( , , )
f
x,y,z x y z xy xz yz xyz
 est-elle injective ?
Si non, à quelle partie de
3
peut-on la restreindre pour la rendre injective ?
5. a. Prouver que pour tout polynôme P de
[ ]
X
, le polynôme XXP )( divise le polynôme XXPP ))(( .
b. Résoudre dans l'équation : 0483)13( 222  zzzz
6. Déterminer les polynômes complexes P tels que
P
divise P (prouver qu’alors,
P
divise
P
).
7. a. Montrer qu'il existe P et Q uniques dans 1
[ ]
n
X
tels que 1)1(  QXPX nn .
b. Montrer que )1()( XPXQ  .
c. Montrer l'existence d'un scalaire  tel que 1
)1(  n XnPPX , et en déduire P.
(8). Trouver tous les polynômes complexes P tels que )1()()( 2 XPXPXP (on commencera par prouver que leurs
racines ne peuvent qu'être nulles ou de module 1).
9. Soit P un polynôme non constant à coefficients non entiers.
a. Prouver que pour tout entier n et tout entier k, )(nP divise ))(( nkPnP .
b. En déduire qu'il n'existe (hélas !) pas de polynôme non constant P à coefficients entiers tel que )(nP soit un
nombre premier pour tout entier n (NB : le polynôme
41
2
X
X
P
possède la particularité de ne donner que des
résultats premiers pour 40,,0
n
).
10. Soient P et Q deux polynômes à coefficients rationnels. Prouver que leur pgcd est toujours le même, qu’ils soient
considérés comme polynômes à coefficients dans , , ou .
Application : Prouver qu’un polynôme irréductible de
[ ]
X
ne peut avoir de racine multiple dans .
11. Soit P un polynôme à coefficients réels dont toutes les racines sont réelles et deux à deux distinctes.
a. Prouver que le polynôme dérivé
P
a toutes ses racines réelles et deux à deux distinctes.
b. Prouver que le polynôme 2 PPPQ   est négatif (indication : c'est le numérateur de quoi, ce truc là ?)
c. En déduire que les coefficients de P vérifient les inégalités : 2
11 kkk aaa   .
12. Soient deux entiers strictement positifs a et b. On effectue leur division euclidienne : rbqa  avec br . En
écrivant 1)1(1  rbqra XXXX , déterminer le pgcd de
1
a
X
et de
1
b
X
.