XMP 2013-2014 POLYNÔMES 1. a. Factoriser 5 7 20 11 3

XMP 2013-2014 POLYNÔMES
1. a. Factoriser 5720113 234 XXXXP sachant que ce polynôme possède des racines rationnelles.
b. Factoriser 51563 234 XXXXP sachant que ce polynôme possède deux racines dont le produit vaut 5.
c. Factoriser 1082161716713 2345 XXXXXP sachant que ce polynôme posde une racine triple.
d. Déterminer les racines complexes du polynôme
1
234
X
X
X
X
(on pourra poser x
xy 1
). En déduire
la valeur de 5
2
cos .
2. Quel est le reste de la division euclidienne de 1)1( nn XX par
1
2
X
X
?
3. Quelles sont les fonctions polynômes de
dans
qui sont bijectives ?
4. L'application 3 3
:
( ) ( , , )
f
x,y,z x y z xy xz yz xyz
 
 
est-elle injective ?
Si non, à quelle partie de
3
peut-on la restreindre pour la rendre injective ?
5. a. Prouver que pour tout polynôme P de
[ ]
, le polynôme XXP )( divise le polynôme XXPP ))(( .
b. Résoudre dans
l'équation : 0483)13( 222 zzzz
6. Déterminer les polynômes complexes P tels que
P
divise P (prouver qu’alors,
P
divise
P
).
7. a. Montrer qu'il existe P et Q uniques dans 1
[ ]
n
X
tels que 1)1( QXPX nn .
b. Montrer que )1()( XPXQ .
c. Montrer l'existence d'un scalaire tel que 1
)1(
n
XnPPX , et en déduire P.
(8). Trouver tous les polynômes complexes P tels que )1()()( 2XPXPXP (on commencera par prouver que leurs
racines ne peuvent qu'être nulles ou de module 1).
9. Soit P un polynôme non constant à coefficients non entiers.
a. Prouver que pour tout entier n et tout entier k, )(nP divise ))(( nkPnP .
b. En duire qu'il n'existe (hélas !) pas de polynôme non constant P à coefficients entiers tel que )(nP soit un
nombre premier pour tout entier n (NB : le polynôme
41
2
X
X
P
possède la particularité de ne donner que des
résultats premiers pour 40,,0
n
).
10. Soient P et Q deux polynômes à coefficients rationnels. Prouver que leur pgcd est toujours le même, qu’ils soient
considérés comme polynômes à coefficients dans
,
, ou
.
Application : Prouver qu’un polynôme irréductible de
[ ]
X
ne peut avoir de racine multiple dans
.
11. Soit P un polynôme à coefficients réels dont toutes les racines sont réelles et deux à deux distinctes.
a. Prouver que le polynôme dérivé
P
a toutes ses racines réelles et deux à deux distinctes.
b. Prouver que le polynôme 2
PPPQ
est négatif (indication : c'est le numérateur de quoi, ce truc là ?)
c. En déduire que les coefficients de P vérifient les inégalités : 2
11 kkk aaa
.
12. Soient deux entiers strictement positifs a et b. On effectue leur division euclidienne : rbqa avec br . En
écrivant 1)1(1 rbqra XXXX , déterminer le pgcd de
1
a
X
et de
1
b
X
.
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