Nombres premiers - IMJ-PRG

UFR DE MATHÉMATIQUES
Licence STS — mention mathématiques Année 2005/2006
A2. NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS, CONGRUENCES.
PERMUTATIONS
Feuille de travaux dirigés no4 : Nombres premiers
1. Généralités
EXERCICE 1
Ce nombre s’écrit avec 8 chiffres en base 2 et 6 chiffres en base 3. Quel est-il ? Ah, j’oubliais, c’est un nombre
premier.
EXERCICE 2
1Si tous les facteurs premiers pd’un entier nvérifient p≡1 (mod 4), montrer que l’on a n≡1 (mod 4).
2Si n>4, en déduire qu’au moins un facteur premier de n!−1 est congru à −1 modulo 4, puis qu’il existe une
infinité de nombres premiers de la forme 4n+3.
3Montrer de même qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 6n+5.
EXERCICE 3
1Montrer qu’aucun des entiers n!+2,..., n!+nn’est un nombre premier.
2En s’inspirant de la question précédente, montrer qu’il existe des suites d’entiers consécutifs arbitrairement
longues telles qu’aucun d’entre eux ne soit la puissance d’un nombre premier (Olympiades internationales de
mathématiques, 1989).
EXERCICE 4
1Soit pun nombre premier et soit xun entier tel que x2≡1 (mod p). Montrer que l’on a x≡1 (mod p) ou x≡−1
(mod p).
2Calculer 2140 (mod 561). En déduire que 561 n’est pas un nombre premier.
EXERCICE 5
On définit une suite (un) par u0=0 et un+1=(un)2−3/2. Montrer que l’on a un6=umpour n6= m. (Montrer par
récurrence que pour tout n>1, 22n−1unest un nombre entier impair.)
EXERCICE 6
1Montrer que pour tout entier n>1, il existe un unique entier ttel que 2t6n<2t+1. On le note tn.
2Si n>1, on pose
Hn=1+1
2+···+ 1 n.
Montrer par récurrence sur n>2 qu’il existe des entiers impairs anet bntels que Hn=an/2tnbn. En déduire
que pour n>2, Hnn’est pas un nombre entier.
1

EXERCICE 7
Soit nun entier strictement positif ; on note n=
r
Q
i=1pni
isa décomposition en facteurs premiers, les pisont des
nombres premiers deux à deux distincts, les nides entiers >1.
1Montrer qu’un entier d>0 divise nsi et seulement si il existe des entiers mi, 0 6mi6nitel que d=
r
Q
i=1pmi
i.
2Montrer que le nombre de diviseurs strictement positifs de nest égal à r
Q
i=1(1+ni).
3Calculer en fonction des piet des nila somme des diviseurs positifs de n.
EXERCICE 8
1Décomposer en facteurs premiers les entiers a=46848, b=2379, c=8633, d=4183.
2En déduire pgcd(a,b) et pgcd(c,d). Calculer ppcm(a,b) et ppcm(c,d).
3Comparer avec l’algorithme d’Euclide.
EXERCICE 9
1Décomposer 51 et 216 en facteurs premiers ; calculer pgcd(51,216). Déterminer toutes les expressions de 216
comme le produit de deux entiers naturels premiers entre eux.
2Soit aet bdes entiers >0 tels que a+b=51, a<bet ppcm(a,b)=216. Montrer que d=pgcd(a,b) di-
vise pgcd(51,216).
3Montrer que a0=a/det b0=b/dsont premiers entre eux. Que vaut ppcm(a0,b0) ? En déduire la liste des couples
(a,b) possibles.
EXERCICE 10
1Soit pun nombre premier. Combien y a-t-il d’entiers m∈{1,...,n} multiples de p? de pkpour k>1 ? En déduire
que
ordp(n!) =X
k>1bn/pkc.
(La somme est finie car les termes pour pk>nsont nuls.)
2Combien y a-t-il de 0 à la fin du développement décimal de 1000! ? Vérifier avec MAPLE.
2. Nombres premiers de Fermat, de Mersenne
EXERCICE 1
Soit nun nombre entier et posons Mn=2n−1 (nombre de Mersenne).
1Si Mnest un nombre premier, montrer que nest premier.
2Trouver le plus petit nombre premier ntel que Mnne soit pas premier.
2

EXERCICE 2
Pour n>0, on pose Fn=22n+1 (nombre de Fermat).
1Montrer que F0,F1,...,F4sont des nombres premiers.
2Si kn’est pas une puissance de 2, 2k+1 n’est pas un nombre premier. (Si k=ab , avec aimpair, montrer que
2b+1 divise 2k+1.)
3Montrer que F5n’est pas un nombre premier (Euler), contrairement à une affirmation de Fermat que tous les Fn
sont des nombres premiers. Précisément, montrer que 641 divise F5. (Écrire 232 +1=16(27)4+1 et remarquer
que 16 =641−625.)
4Démontrer que n−1
Q
k=0Fk=Fn−2. Si m6= n, en déduire que Fnet Fmsont premiers entre eux.
EXERCICE 3
1Si pest un nombre premier impair, 2p−1−1 est multiple de p.
2Montrer que pour tout entier n>0, 2Fn−1−1 est multiple de Fn, où Fn=22n+1 désigne le n-ième nombre de
Fermat.
3Cela entraîne-t-il que Fnest un nombre premier?
EXERCICE 4
Soit pun nombre premier et soit aun entier premier à p.
1Montrer qu’il existe b∈{1,..., p−1} tel que ab ≡1 (mod p).
2Soit kle plus petit entier >0 tel que ak≡1 (mod p). On va montrer que kdivise p−1.
Soit d=pgcd(k,p−1) et soit u,vdes entiers relatifs tels que d=uk +v(p−1). Si u>0 et v60, calculer
auk b−v(p−1) (mod p). En déduire que ad≡1 (mod p), puis que d=k.
3Traiter les autres cas de manière analogue.
EXERCICE 5
On rappelle que Fn=22n+1 désigne le n-ième nombre de Fermat.
1Soit pun facteur premier de Fn. Montrer que 22n≡ −1 (mod p), puis que 2n+1est le plus petit entier d>0 tel
que 2d≡1 (mod p). À l’aide de l’exercice ??, montrer que p≡1 (mod 2n+1).
2On suppose que 322n−1≡ −1 (mod Fn). Soit pun facteur premier de Fn. Montrer que le plus petit entier dtel
que 3d≡1 (mod p) est égal à 22n.
3Déduire de l’exercice ?? que 22ndivise p−1, puis que p≡1 (mod 22n). Montrer enfin que p=Fn, autrement dit
que Fnest premier (critère de Pépin).
3. Nombres premiers et congruences
EXERCICE 1
Soit nun nombre entier qui n’est multiple ni de 2, ni de 3, ni de 5. Montrer que n4≡1 (mod 240).
EXERCICE 2
1Soit aet bdes entiers >1 et soit n=ab . Si n>5, démontrer que ab divise (n−1)!. (C’est facile si a6= b; si
a=b, montrer que 2a2divise (n−1)! .)
2Inversement, si nest un nombre premier, alors nne divise pas (n−1)!.
EXERCICE 3
Soit aet bdeux entiers tels que a2+b2soit multiple de 7. Montrer que aet bsont multiples de 7.
3

EXERCICE 4
Pour quelles valeurs de l’entier n,
1le nombre 4n+2n+1 est-il divisible par 7 ?
2le nombre 9n+3n+1 est-il divisible par 13 ?
3le nombre 25n+5n+1 est-il divisible par 31 ?
EXERCICE 5
1Calculer les restes modulo 13 des entiers 5206 , 5381 , 5883 , puis 5npour tout entier n∈N.
2Calculer les restes modulo 13 des entiers 1617206 , 1617381 , 1617883 , 1617n, pour n∈N.
EXERCICE 6
Soit aet bdes entiers ; on pose A=11a+2bet B=18a+5b.
1Montrer que si 19 divise l’un des deux entiers Aou B, il divise l’autre.
2On suppose que aet bsont premiers entre eux. Montrer que Aet Bne peuvent avoir d’autre diviseur commun
que 1 et 19.
EXERCICE 7
Trois entiers a,b,cvérifient a2=b2+c2.
1Montrer que l’un au moins de bet cest multiple de 3.
2Montrer que l’un au moins de a,b,cest multiple de 5.
3Montrer que l’un au moins de bet cest multiple de 4.
EXERCICE 8
Soit x,y,zdes entiers >0, premiers entre eux dans leur ensemble, tels que x2+y2=z2(triplet pythagoricien).
1Soit d=pgcd(x,y). Montrer que ddivise z. En déduire que x,y,zsont premiers entre eux deux à deux.
2Montrer que de xet y, l’un des deux est pair et l’autre est impair. On supposera dans la suite que xest pair.
3Montrer que pgcd(z−y,z+y)=2. En utilisant que x2=z2−y2=(z−y)(z+y), montrer qu’il existe des entiers u
et vtels que x=2uv ,z+y=2u2et z−y=2v2.
4Inversement, si uet vsont premiers entre eux, le triplet (x,y,z)=(2uv,u2−v2,u2+v2) est un triplet pythagori-
cien.
EXERCICE 9
Soit pun nombre premier >2.
1Soit aun entier tel que a2≡−1 (mod p). Déduire du petit théorème de Fermat que (p−1)/2 est pair, donc que
p≡1 (mod 4).
2Soit x∈{1,...,p−1} ; montrer qu’il existe un unique entier y∈{1,..., p−1} tel que x y ≡1 (mod p). Montrer que
y6=x, sauf si x=1 ou x=p−1.
3En regroupant les entiers compris entre 1 et p−1 deux par deux, comme dans la question précédente, montrer
que (p−1)! ≡−1 (mod p). (théorème de Wilson).
4On suppose que p≡1 (mod 4) et on pose a=¡p−1
2¢!. Montrer a2≡ −1 (mod p). (Dans (p−1)!, regrouper iet
p−i.)
4

EXERCICE 10
1Soit pun nombre premier ; pour tout entier k>0, on pose Sk=1k+2k+···+(p−1)k. Calculer S0,S1,Sp−1,Sp
modulo p. Montrer que Sk≡Sm(mod p) si k≡m(mod p−1).
2Si k∈N, on pose bk(x)=x(x−1)...(x−k+1) ; c’est un polynôme de degré k, à coefficients entiers et de coefficient
dominant 1. (On a b0=1, b1=x,b2=x(x−1), etc.)
Pour tout couple (k,n) d’entiers, calculer n
P
i=1bk(x).
3Si pest un nombre premier et kun entier, en déduire la valeur de
b0(1)+···+b0(p−1) (mod p).
4Montrer par récurrence sur nque pour tout polynôme Pà coefficients entier, de degré n, il existe des entiers
a0,...,antels que
P(x)=a0b0(x)+a1b1(x)+···+anbn(x).
5Calculer Sk(mod p) en fonction de k.
EXERCICE 11
Soit pun nombre premier et soit P(x) le polynôme P(x)=xp−x. D’après l’exercice ??, il existe des entiers
a0,...,aptels que P(x)=a0b0(x)+a1b1(x)+···+apbp(x).
1Montrer que par récurrence sur nque anest multiple de psi 0 6n<p. (Calculer P(0) (mod p), puis P(1)
(mod p),...)
2Montrer que
x(x−1)...(x−p+1) ≡xp−x(mod p).
4. Théorème de Tchebychev et postulat de Bertrand
EXERCICE 1
Démontrer l’équivalent li(x)∼x/log(x).
Les trois exercices ci-dessous fournissent des renseignements sur la répartition des nombres premiers. Le premier
montre que la somme des inverses de tous les nombres premiers est +∞. Le second démontre le résultat de Tcheby-
chev : π(x)est compris entre deux multiples de x/log(x). Le dernier démontre le « postulat de Bertrand » : pour tout
entier n , il existe un nombre premier p tel que n <p<2n .
EXERCICE 2
Soit p1=2, p2=3, p3=5, etc. la suite des nombres entiers, en ordre croissant. On va montrer que les sommes
(1/p1)+(1/p2)+···+(1/pn) sont arbitrairement grandes. Supposons par l’absurde que ce ne soit pas vrai et qu’il
existe un réel Atel que 1
p1+1 p2+···+ 1 pn
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pour tout entier n>1.
1Montrer qu’il existe un entier itel que
1
pi+1+1 p2+···+ 1 pi+n
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pour tout entier n>0.
2Soit N(x) le nombre d’entiers n6xqui ne sont divisibles que par p1, ..., pi. On écrit n=km2où kest sans
facteur carré. Montrer qu’il n’y a que 2ichoix pour ket au plus pxpour m. En déduire que N(x)62ipx.
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