5 - Université Bretagne Sud

Université de Bretagne Sud Premier semestre 2014/2015
L1 MIS
Mathématiques approfondies - TD n°5
Exercice 1. Le PPCM de deux nombres est 216. L’un des nombres est 72. Quel sont les valeurs
possibles pour l’autre nombre ?
Exercice 2.
Montrer que le PGCD de deux entiers naturels est le même que celui de leur somme et de leur
PPCM. En déduire deux entiers naturels connaissant leur somme 68 et leur PPCM 240.
Exercice 3. Résoudre dans Zle système x≡1 mod 27
x≡13 mod 17
Exercice 4.
Rappeler l’énoncé complet du petit théorème de Fermat.
1. Soit pun nombre premier impair.
(a) Montrer qu’il existe un entier naturel k, non nul, tel que 2k≡1 [p].
(b) Soit kun entier naturel non nul tel que 2k≡1 [p]et soit nun entier naturel. Montrer
que, si kdivise n, alors 2n≡1 [p].
(c) Soit btel que 2b≡1 [p], b étant le plus petit entier naturel non nul vérifiant cette
propriété. Montrer, en utilisant la division euclidienne de npar b, que si 2n≡1 [p],
alors bdivise n.
2. Soit qun nombre premier impair et le nombre A= 2q−1. Soit pun facteur premier de A.
(a) Justifier que : 2q≡1 [p].
(b) Montrer que pest impair.
(c) Soit btel que 2b≡1 [p], b étant le plus petit entier non nul vérifiant cette propriété.
Montrer, en utilisant 1. que bdivise q. En déduire que b=q.
(d) Montrer que qdivise p−1, puis montrer que p≡1 [q].