Exercices d`arithmétique - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2012-2013 1
Exercices d’arithmétique
Exercice 1 (Une équation diophantienne mignonne)
1. Démontrer que pour tout n∈N,8ne divise pas (3n+ 1).
2. En déduire toutes les solutions (m, n)∈(N∗)2de l’équation 2m−3n= 1.
Exercice 2 Nous sommes le mercredi 6 avril 2011. Quel jour de la semaine serons-nous le 6 avril
2012 ?
Exercice 3 (Un vrai-faux) Soit a, b, u, v, n des entiers.
1. Si au +bv = 5, on peut en déduire que a∧b= 5.
2. Si a=bmod nalors ua=ubmod n.
3. Si u|bc et que bet csont premiers entre eux, alors u|bou u|c.
4. L’équation 51x+ 39y= 1 admet une infinité de couple d’entiers (x, y)solutions.
Exercice 4 Déterminer le chiffre des unités de 7(77).
Exercice 5 Soita, b, c des entiers. Montrer que si 7|a3+b3+c3alors 7|abc.
Exercice 6 Soit n∈NDéterminer le pgcd de n2+net 2n+ 1.
Exercice 7 (Calcul de pgcd par l’algorithme des différences)
1. Soit aet bdes entiers. Démontrer que pgcd(a, b) = pgcd(a−b, b).
2. Soit n∈N. Déterminer le pgcd de 3n+ 2 et 2n+ 1.
3. Écrire en langage français, un algorithme récursif permettant de calculer le pgcd en utilisant
la propriété précédente.
Exercice 8 (Sous-groupes de Z)Soit aet bdes entiers. On note dleur pgcd et mleur ppcm.
Démontrer que
aZ+bZ=dZet aZ∩bZ=mZ.
Exercice 9 Soit p>5un nombre premier. Démontrer que p2−1est divisible par 24.
Exercice 10 Déterminer le nombre de diviseurs de l’entier n= 2a3b4coù a, b et csont des entiers
naturels.
Exercice 11 (Repet-unit) On note ula suite d’entiers 1,11,111,1111, . . ..
1. La suite upeut-elle contenir des carrés parfaits ?
2. Démontrer que si nest composé alors unest composé.
On ignore toujours s’il existe une infinité de repet-units premiers.
Exercice 12 (Racines rationnelles d’un polynôme) Soit P=a0+a1X+. . . +anXnun
polynôme à coefficients entiers avec an6= 0. Soit p
qune racine rationnelle de Pavec (p, q) =
1. Montrer que q|anet p|a0. En déduire une factorisation des polynômes X3−X−1et
3X3−2X2−2X−5.
Exercice 13 (Nombres premiers dans une progression arithmétique) On veut montrer qu’il
existe une infinité de nombres premiers congrus à −1modulo 4. On raisonne par l’absurde, il existe
alors un nombre fini de nombres premiers congrus à −1modulo 4 que l’on note p1, . . . , pk. On pose
alors N= 4p1· · · pk−1.
1. 2divise t-il N?
2. Montrer que Npossède au moins un diviseur premier congru à −1modulo 4. Conclure.
Exercice 14 (Équation diophantienne linéaire) On veut trouver tous les couples d’entiers
(x, y)tels que 62x+ 43y= 1 (E).
1. Déterminer le PGCD dde 62 et 43 en utilisant l’algorithme d’Euclide.
2. Déterminer un couple d’entiers (u, v)tel que d= 62u+ 43v.

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3. Démontrer que si (x, y)et (x0, y0)sont solutions de (E), alors 62 divise (y−y0). En déduire
toutes les solutions de (E).
4. Interpréter graphiquement votre résultat. On pourra parler d’équation homogène et de solu-
tion particulière.
5. Résoudre l’équation diophantienne 744x+ 516y= 12.
Exercice 15 (Petit théorème de Fermat) Soit pun nombre premier. On veut montrer que
pour tout a∈N, si (a, p)=1, alors ap−1≡1 mod (p).
1. Soit k∈ {1, . . . , p −1}, démontrer que p|p
k. En déduire que pour tout entier aon a
(a+ 1)p≡ap+ 1 mod (p).
2. En déduire par récurrence que pour tout a∈N, on a ap≡amod (p).
3. En déduire le petit théorème de Fermat.
Exercice 16 (Chiffrement affine) On numérote les lettres de l’alphabet de 0à 25. On va coder
ces nombres à l’aide d’une fonction de chiffrement. On pose A={0,...,25}, si x∈A, on note
f(x)le reste de 17x+ 22 dans la division euclidienne par 26 (ou f(x)≡17x+ 22 mod (26)). Cela
définit ainsi une application fde Adans A.
1. Chiffrer le mot BAC.
2. Déterminer un entier utel que 17u≡1 mod 26. En déduire que l’application fest inversible,
déterminer son inverse.
3. Déchiffrer alors le mot BEC.
Exercice 17 (Rationnels tout puissants) Déterminer tous les rationnels atels que pour tout
n∈N, il existe un rationnel btel que a=bn.
Exercice 18 (Une équation diophantienne) oit n>2un entier. Chercher tous les entiers x
et yvérifiant xn+yn= 1 (on pourra remarquer que a−bdivise an−bn).
Exercice 19 (Une équation diophantienne) Ssoit pun nombre premier. Chercher tous les
entiers xet yvérifiant xp+yp=p(on pourra remarquer que a−bdivise an−bnou utiliser le
petit théorème de Fermat).