1 Distributions de probabilité discrètes
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GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil Chapitre 5 Distributions de probabilité discrètes par Pierre F. Lemieux, ing., professeur Département de génie civil Université de Sherbrooke Tél. : (819) 821-8000 (poste 2938) Télécopieur : (819) 821-7974 Courriel : [email protected] Révision : 25 juin 2003 GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 1 Table des matières 1. Distribution uniforme [Diapo 3] 2. Loi binomiale [Diapo 6] 3. Loi géométrique et binomiale négative [Diapo 13] 4. Loi de Poisson [Diapo 15] 5. Exemples d’application [Diapo 17] 6. Loi hypergéométrique [Diapo 22] GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 2 1 1. Distribution uniforme Distribution uniforme d’une VAD : p( x ; k) = 1 k pour x = x1 , x2 , … , xk Notation pour indiquer que la fonction dépend du paramètre k Moyenne de X : 1 ∑ xi k ∀x i µ X = E ( X ) = ∑ xi p ( xi ; k ) = ∀ xi Variance de X : σ X2 = E ( X − µ X ) = 2 1 2 ( xi − µ X ) ∑ k ∀ xi GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 3 Cas des événements équiprobables. Exemple 1 : Dé à 6 faces classique. Le dé n’est pas lancé. Valeurs possibles xi 1 2 3 4 5 6 Probabilité p(xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Jeu de hasard - Le dé à 6 faces F(x) p(x) 1 5/6 2/3 1/2 1/3 1/6 1/6 0 1 2 3 4 5 P ( 3 ≤ X ≤ 5) = 6 x 0 1 2 3 4 5 6 x ∑ p ( xi ) = 1 / 6 + 1 / 6 + 1 / 6 = 1 / 2 3≤ xi ≤ 5 GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 4 2 Exemple 2 : Hydrologie appliquée Hypothèse : le nombre de jours de pluie dans une semaine dans une certaine région durant une certaine période de l’année est équiprobable d’être 0, 1, 2, …, 7 jours; alors la fonction massique de probabilité de X (nombre de jours de pluie) devient p ( xi ) = µX = 1 8 pour xi = 0,1, 2, … , 7 1 ( 0 + 1 + 2 + … + 7 ) = 3, 5 jours 8 1 2 2 2 σ X2 = ( 0 − 3, 5 ) + (1 − 3, 5 ) + … + ( 7 − 3, 5 ) = 5, 25 jours2 σX 8 = 2, 29 jours GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 2. Loi binomiale 5 [LRS, p. 150] [B, p. 171-179] Propriétés : 1. Chaque essai n’a que 2 possibilités : succès ou échec. 2. La probabilité p d’un succès demeure la même pour chaque essai. La probabilité d’un échec est alors q = (1 - p). 3. Il y a n essais, avec n = constante fixée à l’avance. 4. Les essais sont indépendants les uns des autres. Les expériences qui vérifient ces propriétés sont des essais de Bernoulli. En génie civil, on identifie en général un succès à un dépassement par rapport à un seuil critique ou de référence. Exemples : 1. En hydrologie, si un débit maximum annuel QMAX a une fréquence d’occurrence d’une fois dans 100 ans, alors P(Q > QMAX). 2. Lors d’un séisme, la probabilité que ce séisme dépasse 5 à l’échelle Richter. 3. Lors d’un vent, la probabilité que sa vitesse dépasse 100 km/h. GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 6 3 La loi binomiale s’applique s’il s’agit d’essais de Bernoulli. Nomenclature : n = le nombre d’essais p = probabilité de succès q = 1- p = probabilité d’échec x = le nombre de succès dans l’échantillon (X = 0, 1, 2, …, n) P(X = x |n, p) = probabilité que X = x pour n et p. P ( X = x | n; p ) = n! p x q n− x x !( n − x )! Combien d’arrangements de x succès sont possibles n n! Cnx = = x x !( n − x )! Probabilité d’obtenir exactement x succès d’un échantillon de n essais (Loi de Bernoulli) b ( X = x | n ; p ) = p x q n− x Coefficients du binôme de Newton GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) Moyenne de la loi binomiale : 7 [LRS, p. 154] [B, p. 174] µX = n p Écart-type de la loi binomiale : [LRS, p. 155] [B, p. 174] σ X = np (1 − p ) GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 8 4 Exemple d’application : Un site de développement et de construction d’un projet s’étale sur une période de 3 ans. Or, pour des raisons économiques, il faut se protéger contre tout événement pluvieux ayant une période de récurrence de 100 ans ou moins. On accepte le risque pour tout événement de plus grande importance. Pour ce faire, on désire connaître les probabilités suivantes : 1. La probabilité qu’il y ait un événement pluvieux d’occurrence égale ou supérieure à 100 ans la première année seulement. 2. La probabilité qu’il y ait un événement pluvieux d’occurrence égale ou supérieure à 100 ans la troisième année seulement. 3. La probabilité qu’il y ait un événement pluvieux d’occurrence égale ou supérieure à 100 ans une année quelconque pendant ces 3 années. 4. La probabilité qu’il n’y ait pas d’événement pluvieux d’occurrence égale ou supérieure à 100 ans pendant ces 3 ans. 5. Quel est le risque encouru que cet événement pluvieux se produise pendant ces 3 ans ? GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 9 Solution : La probabilité p de dépassement est données par : p= 1 1 = = 0, 01 T 100 1. La probabilité qu’il y ait un événement pluvieux d’occurrence égale ou supérieure à 100 ans la première année seulement. L’événement se produit la 1ère année mais pas les 2 autres. Dès lors, il s’agit de calculer q = 1 - p = 1 - 0,01 = 0,99 x=1 n=3 P1 = p1q 3−1 = 0, 01 × 0, 99 2 = 0, 0098 Il n’y a qu’une seule occurrence possible de cet événement. GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 10 5 2. La probabilité qu’il y ait un événement pluvieux d’occurrence égale ou supérieure à 100 ans la troisième année seulement. C’est le même cas que le précédent, car il n’y a qu’une seule occurrence possible. Dès lors, P2 = p1q 3−1 = 0, 01 × 0, 99 2 = 0, 0098 3. La probabilité qu’il y ait un événement pluvieux d’occurrence égale ou supérieure à 100 ans une année quelconque pendant ces 3 années. Cet événement peut se produire pendant une des 3 années. Il s’agit ici de l’application intégrale de la loi binomiale. Posons que X = un événement pluvieux d’occurrence égale ou supérieure à 100 ans se produise une année quelconque pendant ces 3 ans. Dès lors, C31 = 3! 6 = =3 1!2! 2 Résultat logique : il y a 3 années où cet événement peut se produire. P3 = P ( X = 1 | 3;0, 01) = 3 × 0, 0098 = 0, 0294 GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 11 4. La probabilité qu’il n’y ait pas d’événement pluvieux d’occurrence égale ou supérieure à 100 ans pendant ces 3 ans. X ne se produit en aucune des 3 années. Dès lors, P4 = q 3 = 0, 99 3 = 0, 97 Il y a donc 97 % des chances que cet événement pluvieux ne se produise pas pendant ces 3 ans. 5. Quel est le risque encouru que cet événement pluvieux se produise pendant ces 3 ans ? n 1 P5 = R = 1 − 1 − = 1 − 0, 97 = 0, 03 T P4 = q3 Risque Probabilité d'aucun événement pluvieux pendant ces 3 ans Il y a donc 3 % des chances ou risque que cet événement pluvieux se produise pendant ces 3 années. GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 12 6 3. Loi géométrique et binomiale négative [LRS, p. 164] But 1 : Déterminer la probabilité que le 1er succès (x = 1) se produise au n-ième essai. Pour ce faire, il faut utiliser la loi géométrique. Loi géométrique : P ( n | p ) = p (1 − p ) µn = n−1 1 p σn = (1 − p ) p2 GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 13 But 2 : Déterminer la probabilité que le x-ième succès se produise au n-ième essai. Il s’agit alors de la loi binomiale négative. Loi binomiale négative : P ( n | x , p ) = C nx−−11 p x (1 − p ) Nombre d’essais pour obtenir le x-ième succès (n = la VA) µn = σn = n− x Probabilité d’un succès lors de n’importe quel essai x p x (1 − p ) p2 GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 14 7 4. Loi de Poisson [LRS, p. 167] [B, p. 179-189] Un processus de Poisson existe lorsque l’on peut observer des événements discrets dans un intervalle de temps continu, de telle sorte que, si l’on subdivise cet intervalle de temps en sous-intervalles égaux très petits, on retrouve les caractéristiques suivantes : 1. La probabilité d’obtenir exactement un succès est constante. 2. La probabilité d’obtenir 2 succès ou plus dans un sous-intervalle est nulle. 3. L’occurrence d’un succès est indépendante d’un sous-intervalle à l’autre. Exemple : La probabilité qu’il se présente 3 automobiles à un poste de péage dans une période de 5 min. Une distribution de Poisson se caractérise par un seul paramètre λ qui réfère au nombre moyen de succès par intervalle de temps, alors que la VA X réfère au nombre de succès par intervalle de temps. P (X = x |λ) = Nombre de succès par intervalle de temps e−λ λ x x! Nombre moyen de succès par intervalle de temps GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 15 µX = λ σX = λ Exemple 1 Une étude effectuée sur l’occurrence d’accidents d’auto sur une route donne les résultats suivants : une moyenne de 3 accidents par semaine. Trouver la probabilité qu’il n’y ait pas d’accident pendant une semaine donnée. Solution : Hypothèses : 1. Les accidents sont indépendants les uns des autres. 2. Le taux moyen d’accidents est constant dans le temps. ⇒ processus de Poisson P ( X = 0 | 3) = 30 e −3 = e −3 = 0, 05 0! GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 16 8 5. Exemples d’application Exemple 2 : En utilisant la description du problème précédent, calculer les probabilités qu’ il y ait 4 accidents ou moins, 4 accidents ou plus et 4 accidents exactement dans une semaine donnée. Solution : 3 x e −3 P ( X ≤ 4) = ∑ = 0, 815 x =0 x ! x =4 Ne pas oublier qu'il s'agit de variables aléatoires discrètes P ( X ≥ 4 ) = 1 − P ( x ≤ 3 ) = 1 − 0, 647 = 0, 353 P ( X = 4 ) = P ( X ≤ 4 ) − P ( X ≤ 3 ) = 0, 815 − 0, 647 = 0,168 GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 17 Exemple 3 : Suite à un décompte, un ingénieur routier note que 20 % des voitures tournent à gauche à une intersection choisie pour étude. Si on observe 20 voitures seulement, quelle est la probabilité qu’entre 5 et 11 voitures tournent à gauche ? Les virages à gauche et à droite sont supposés indépendants. Solution : (application de la loi binomiale) VA : X = nombre de véhicules tournant à gauche p = 0,20 n = 20 11 P ( 5 ≤ X ≤ 11) = ∑ b ( X = x | 20;0, 2 ) x =5 = B ( X ≤ 11 | 20;0, 2 ) − B ( X ≤ 4 | 20;0, 2 ) = 0, 9999 − 0, 6296 = 0, 3703 X = 5 est inclus dans la sommation de 5 à 11 GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 18 9 Exemple 4 : Des observations effectuées sur une rivière susceptible de causer des inondations ont été menées sur une période de 100 ans. Le nombre d’inondations par année est donné par le tableau ci-dessous : Nombre d’années Nombre d’inondations 30 35 22 10 3 0 0 1 2 3 4 5 Déterminer la probabilité d’inondation pour les 50 prochaines années. GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 19 Solution : N total d’inondations : 35 + (2 × 22) + (3 × 10) + (4 × 3) = 121 Intervalle de temps = 1 an ⇒ loi de Poisson Paramètre λ : λ = 121 / 100 = 1.21 inondations / année e − λ = e −1,21 = 0, 2982 1, 212 1, 213 1, 214 1, 215 P (1 ≤ X t ≤ 5 ) = 0, 2982 1, 21 + + + + 2! 3! 4! 5! = 0, 3608 + 0, 2183 + 0, 0881 + 0, 0266 + 0, 0064 = 0, 7002 Probabilité de 1 ... inondation dans 1 année GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) Probabilité de 5 inondations dans 1 année 20 10 Remarque. P ( 0 ≤ X t ≤ 5 ) = P ( X t = 0 ) + P (1 ≤ X t ≤ 5 ) = 0, 2982 + 0, 7001 = 0, 9984 La somme des probabilités n’est pas égale à 1. On peut alors conclure que P ( X t ≥ 6 ) = 1 − 0, 9984 = 0, 0016 Nombre d’années avec Aucune inondation : 0,2982 × 50 = 14,9 1 inondation : 0,3608 × 50 = 18,1 P ( X t = x | λ ) × 50 2 inondations : 0,2183 × 50 = 10,9 3 inondations : 0,0881 × 50 = 4,4 4 inondations : 0,0266 × 50 = 1,3 Nombre d’années avec x inondations sur une période de 50 ans 5 inondations : 0,0064 × 50 = 0,32 Σ = 49,92 années GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 6. Loi hypergéométrique [LRS, p.158] 21 [B, p. 189-193] Soit une population finie contenant N éléments. Soit a succès et b échecs avec N = a + b Soit n la taille d'un échantillon (n ≤ Ν) Soit X une variable aléatoire identifiée comme les succès parmi les n choisis. Nombre total d'échantillons différents de n éléments : N N! N = Cn = n n! N ( - n)! Nombre de façons de choisir x succès parmi les a éléments : a a! a = Cx = x! ( a - x ) ! x GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 22 11 Nombre de façons de choisir (n - x) insuccès parmi les b éléments : b b! b = Cn-x = x! ( b - x ) ! n - x Nombre possible d'échantillons avec x succès et (n - x)! insuccès : a N -a i x n - x Probabilité de l'événement i.e. x succès dans l'échantillon : a N - a x n-x P ( X = x ) = N n 0,1,…,n si n ≤ a x= 0,1,…,a si n > a Loi hypergéométrique GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) Espérance mathématique : 23 a E ( X ) = np = n N Facteur de correction pour une population finie Variance : Écart-type : N-n a N - a N - n V ( X ) = npq = n N 1 N N N - 1 σ ( X ) = npq N-n N -1 GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 24 12 Exemple d'application : [B, p. 191-193] Microprocesseurs achetés par lots de 50. Plan de contrôle : prélever un échantillon de 3 micrpprocesseurs. Si aucun microprocesseur n'est défectueux, accepter le lot; sinon effectuer un contrôle de tous les microprocesseurs. Problème : probabilité d'accepter le lot si ce dernier contient effectivement 2 microprocesseurs défectueux. Population finie : N = 50 Taille de l'échantillon ; n = 3 Nombre de microprocesseurs défectueux : a = 2 ⇒ p = 2 / 50 = 0.04 Nombre de microprocesseurs non défectueux : b = 48 ⇒ q = 1 - p = 48 / 50 = 0.96 Soit X le nombre de microprocesseurs défectueux (nombre de succès) dans un échantillon de taille 3 prélevé au hasard dans le lot. GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 25 Solution : Loi hypergéométrique : 2 48 x 3- x P ( X = x) = 50 3 Or on veut déterminer la probabilité d'accepter le lot. Donc Nombre de façons de choisir 0 microprocesseurs défectueux parmi 2 défectueux =1 2 48 0 3 - 0 P ( X = 0) = 50 3 P ( X = 0) = Nombre de façons de choisir 3 microprocesseurs non défectueux parmi 48 non défectueux = 103776 / 6 = 17296 Nombre de choix de 3 microprocesseurs = 117600 / 6 = 19600 17296 = 0.88245 19500 GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 26 13 [B, p. 193] Tableau résumé des lois de probabilité discrètes Loi Bernouilli Paramètres p Binomiale n, p Hypergéométrique N, n, p = a/N Poisson λ (λ > 0) f(x) Valeurs possibles de X p x (1 − p ) 1− x n x n− x p (1 − p ) x a b x n − x N n e− λ λ x x! E(X) Var(X) x = 0,1 p p (1 − p ) x = 0,1, 2,… , n np np (1 − p ) 0 ≤ x ≤ n (n ≤ a ) 0 ≤ x ≤ a ( n > a ) np npq x = 0,1, 2,… λ N −n N −1 λ σ(X) p (1 − p ) np (1 − p ) npq N −n N −1 λ Pour la loi de Bernoulli, voir Scheaffer, R.L., et McClave, J.T. (1995), Probability and Statistics for Engineers, Duxbury Press, Belmont, California, ISBN 0-534-20964-5 GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil - Chap. 5 (PFL) 27 14
