1 Distributions de probabilité discrètes

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GCI 102. Méthodes probabilistes en
génie civil - Chap. 5 (PFL) 1
GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil
Chapitre 5
Distributions de probabilité discrètes
par
Pierre F. Lemieux, ing., professeur
Département de génie civil
Université de Sherbrooke
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Télécopieur : [phone]
Courriel : [email protected]
Révision : 25 juin 2003
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génie civil - Chap. 5 (PFL) 2
Table des matières
1. Distribution uniforme [Diapo 3]
2. Loi binomiale [Diapo 6]
3. Loi géométrique et binomiale négative [Diapo 13]
4. Loi de Poisson [Diapo 15]
5. Exemples d’application [Diapo 17]
6. Loi hypergéométrique [Diapo 22]

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Distribution uniforme d’une VAD :
()
12
1
;
p
our , , , k px k x x x x
k
==…
Notation pour indiquer que la fonction dépend du paramètre k
() ( )
1
;
ii
X
ii i
xx
E
Xxpxk x
k
µ
∀∀
== =
∑
∑
Moyenne de X :
() ()
2
2
21
i
XXiX
x
EX x
k
σµ µ
∀
=−= −
∑
Variance de X :
1. Distribution uniforme
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Cas des événements équiprobables.
Exemple 1 :
Dé à 6 faces classique. Le dé n’est pas lancé.
Jeu de hasard - Le dé à 6 faces
1/61/61/61/61/61/6p(xi)Probabilité
654321xi
Valeurs
possibles
p(x)
1/6
x
0 1 2 3 4 5 6
1/6
1/3
1/2
2/3
5/6
1
x0 1 2 3 4 5 6
F(x)
()
(
)
35
3 5 1/6 1/6 1/6 1/2
i
i
x
PX px
≤≤
≤≤= = + + =
∑

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Exemple 2 : Hydrologie appliquée
Hypothèse : le nombre de jours de pluie dans une semaine dans une certaine
région durant une certaine période de l’année est équiprobable
d’être 0, 1, 2, …, 7 jours; alors la fonction massique de probabilité
de X (nombre de jours de pluie) devient
()
1pour 0,1, 2, , 7
8
ii
px x==…
()
1012 7 3,5
8
X
j
ours µ =++++=…
()() ()
22 2
2 2
10 3,5 1 3,5 7 3,5 5,25 jours
8
2, 29 jours
X
X
σ
σ
=−+−++− =
=
…
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2. Loi binomiale [LRS, p. 150] [B, p. 171-179]
Propriétés :
1. Chaque essai n’a que 2 possibilités : succès ou échec.
2. La probabilité p d’un succès demeure la même pour chaque essai.
La probabilité d’un échec est alors q = (1 - p).
3. Il y a n essais, avec n = constante fixée à l’avance.
4. Les essais sont indépendants les uns des autres.
Les expériences qui vérifient ces propriétés sont des essais de Bernoulli.
En génie civil, on identifie en général un succès à un dépassement par rapport
à un seuil critique ou de référence.
Exemples :
1. En hydrologie, si un débit maximum annuel QMAX a une fréquence
d’occurrence d’une fois dans 100 ans, alors P(Q > QMAX).
2. Lors d’un séisme, la probabilité que ce séisme dépasse 5 à l’échelle Richter.
3. Lors d’un vent, la probabilité que sa vitesse dépasse 100 km/h.

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La loi binomiale s’applique s’il s’agit d’essais de Bernoulli.
Nomenclature :
n = le nombre d’essais
p = probabilité de succès
q = 1- p = probabilité d’échec
x = le nombre de succès dans l’échantillon (X = 0, 1, 2, …, n)
P(X = x |n, p) = probabilité que X = x pour n et p.
()
()
!
|; !!
xnx
n
PX xnp pq
xnx
−
==
−
Combien d’arrangements de x
succès sont possibles
()
!
!!
x
n
nn
Cxnx
x
==
 −
Coefficients du binôme de Newton
Probabilité d’obtenir exactement
x succès d’un échantillon de n
essais (Loi de Bernoulli)
(
)
|; xnx bX xnp pq
−
==
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Moyenne de la loi binomiale : [LRS, p. 154] [B, p. 174]
Xnp
µ
=
Écart-type de la loi binomiale : [LRS, p. 155] [B, p. 174]
(
)
1
Xnp p
σ =−

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Exemple d’application :
Un site de développement et de construction d’un projet s’étale sur une
période de 3 ans. Or, pour des raisons économiques, il faut se protéger
contre tout événement pluvieux ayant une période de récurrence de 100
ans ou moins. On accepte le risque pour tout événement de plus grande
importance.
Pour ce faire, on désire connaître les probabilités suivantes :
1. La probabilité qu’il y ait un événement pluvieux d’occurrence égale ou
supérieure à 100 ans la première année seulement.
2. La probabilité qu’il y ait un événement pluvieux d’occurrence égale ou
supérieure à 100 ans la troisième année seulement.
3. La probabilité qu’il y ait un événement pluvieux d’occurrence égale ou
supérieure à 100 ans une année quelconque pendant ces 3 années.
4. La probabilité qu’il n’y ait pas d’événement pluvieux d’occurrence égale
ou supérieure à 100 ans pendant ces 3 ans.
5. Quel est le risque encouru que cet événement pluvieux se produise
pendant ces 3 ans ?
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Solution :
La probabilité p de dépassement est données par :
11
0, 01
100
pT == =
1. La probabilité qu’il y ait un événement pluvieux d’occurrence égale ou
supérieure à 100 ans la première année seulement.
L’événement se produit la 1ère année mais pas les 2 autres. Dès lors,
il s’agit de calculer
131 2
10, 01 0, 99 0, 0098Ppq
−
==×=
q = 1 - p = 1 - 0,01 = 0,99
x = 1
n = 3
Il n’y a qu’une seule occurrence possible de cet événement.