1 Distributions de probabilité continues

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GCI 102. Méthodes probabilistes en
génie civil - Chap. 6 (PFL) 1
GCI 102. Méthodes probabilistes en génie civil
Chapitre 6
Distributions de probabilité continues
par
Pierre F. Lemieux, ing., professeur
Département de génie civil
Université de Sherbrooke
Tél. : [phone] (poste 2938)
Télécopieur : [phone]
Courriel : Pierre.F.Lem[email protected]
Révision : 25 juin 2003
GCI 102. Méthodes probabilistes en
génie civil - Chap. 6 (PFL) 2
Table des matières
1. Introduction [Diapo 3]
2. Distribution uniforme [Diapo 5]
3. Distribution normale [Diapo 6]
4. Distribution normale p/r aux distributions binomiales [Diapo 15]
et de Poisson
5. La distribution log-normale [Diapo 17]
6. La distribution exponentielle [Diapo 18]
7. La distribution de Gumbel pour les valeurs extrêmes [Diapo 20]
8. La distribution gamma [Diapo 21]
9. La distribution Pearson III et Log-Pearson III [Diapo 22]
10. La distribution de Weibull [Diapo 24]
11. Exemples d’application [Diapo 26]
12. Distributions de probabilité via EXCEL [Diapo 31]

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1. Introduction [LRS, p. 181] [B, p. 218-219]
En général, pour une variable aléatoire continue X,
X
−
∞< <∞
En génie, ce n’est pas toujours le cas. Les débits , les vitesses du vent, …, ne
prennent pas de valeurs négatives.
Pour obtenir la probabilité dans un intervalle variant de a à b, il faut
trouver la fonction de densité de probabilité f(X) de la VAC. Pour qu’une telle
fonction f(X) puisse servir, il faut qu’elle vérifie les propriétés suivantes :
(
)
(
)
() ()
10
21
fX X
fxdx
∞
−∞
≥−∞<<∞
=
∫
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Quelques caractéristiques :
1. La fonction de distribution cumulative :
() ()
b
P
Xb fxdx
−∞
≤=
∫
2. La probabilité de se trouver entre a et b :
()()
b
a
P
aXb fxdx≤≤=
∫
3. L’espérance mathématique de la loi de probabilité :
() ()
E
Xx
f
xdx µ
∞
−∞
==
∫
4. La variance de la loi de probabilité :
()()
2
2x
f
xdx σµ
∞
−∞
=−
∫

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2. Distribution uniforme [LRS, p.181] [B, p. 220]
La valeur de la VAC a une chance égale de se produire dans l’intervalle défini
entre a et b. La fonction de densité de probabilité est donnée par
()
1
0
fx ba
⎧
⎪
=
−
⎨
⎪
⎩
a ≤x ≤b
ailleurs
()
2
2
2
12
ab
ba
µ
σ
+
=
−
=
ab
1
ba
−
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3. Distribution normale [LRS, p. 184] [B, 221- 236]
Importance de la loi normale :
1. Plusieurs phénomènes mesurés avec une VAC peuvent être représentés
exactement ou approximativement par la loi normale.
2. On peut utiliser la loi normale pour obtenir une approximation de certaines
distributions de probabilité discrètes.
3. La loi normale fournit une base pour l’inférence statistique classique.
()
2
1
2
1
2
X
X
x
X
fx e
µ
σ
πσ
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
⎣
⎦
=
Fonction de densité de probabilité :

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Normalisation de la loi normale : [LRS, p. 186] [B, p. 223]
Posons que
X
X
x
z
µ
σ
−
=
Dès lors,
()
2
2
1
2
z
X
fz e
πσ
−
=
()
2
2
1
2
at
zX
aX
a
PX a e dt z
µ
σ
π
−
−∞
−
≤= =
∫
Cote Z
ou
variable centrée réduite
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Rappel :
22 22 22
00
2
2
ax ax ax
edx edx edx
a
π
∞∞∞
−−−
−∞
=⇒ =
∫∫∫
Fonction paire
2
222 2
2
x
edx
π
π
−
∞
−∞ ==
∫
Donc
2
2
11
2
t
edt
π
−
∞
−∞
=
∫

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Loi normale - Fonction de densité
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00
z
f(z)
0
1
Z
Z
µ
σ
=
=
z
()()
2
2
1
2
t
z
P
Zz Fz edt
π
−
−∞
≤= = ∫
Graphique de la loi normale : [LRS, p. 187] [B, p. 222]
Moyenne = médiane = mode
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Calcul d’une probabilité avec la table : [LRS, p. A-4] [B, p. 224]
Trouver P(Z ≤1,00).
Aire = 0,5
P(Z ≤1,00) =
0,5 + 0,3413
= 0,8413