LOI BINOMIALE 1. Épreuve de Bernoulli 2. Loi de Bernoulli 3

LOI BINOMIALE
1. Épreuve de Bernoulli
On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p, toute expérience
aléatoire admettant deux issues exactement :
•l'une appelée « succès » notée
S
, dont la probabilité
d'apparition est
p
;
•l'autre
S
appelée « échec » , dont la probabilité est
1−p
.
Exemple
On lance un dé cubique équilibré et on s’intéresse à l'apparition de
S
: « obtenir un 6 » ou de
S
.
C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre
p=1
6
2. Loi de Bernoulli
Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre
p
, la variable aléatoire
X
, prend la valeur
1
si
S
se produit et la valeur
0
sinon.On obtient
la loi de probabilité ci-contre.
Son espérance est
E ( X ) =p
et sa variance est
V ( X ) =p ( 1−p )
On dit que
X
est une variable de Bernoulli de paramètre
p
ou que
X
suit une loi de Bernoulli de paramètre
p
.
k
0
1
P ( X=k )
1−p
p
3. Schéma de Bernoulli et coefficients binomiaux
On appelle schéma de Bernoulli , toute répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Un schéma de Bernoulli peut être représenté par un arbre ; un résultat est une liste de
n
issues
S
ou
S
;
Ce peut être
( S,S,S,S,S )
dans un schéma de
5
épreuves.
Le chemin codé
S S S S S
qui y conduit réalise
3
succès lors des
5
répétitions.
On considère un schéma de
n
épreuves de Bernoulli,
n∈ℕ*
, représenté par un arbre.
Pour
k
entier,
0⩽k⩽n
, on note
(
n
k
)
le nombre de chemins de l'arbre réalisant
k
succès lors des
n
répétitions. Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux.
Par convention
(
0
0
)
=1
Exemple :
(
3
0
)
=
(
3
1
)
=
(
3
2
)
=
(
3
3
)
=
Avec une calculatrice : pour calculer
(
8
3
)
CASIO : OPTN ► F3 (PROB)
Taper 8 nCr 3
TEXAS : MATH ► ► ► (PRB)
Taper 8 nCr 3

4. Propriétés des coefficients binomiaux
•Pour tout entier
n⩾0
,
(
n
0
)
=1
(
n
n
)
=1
(
n
1
)
=n
•Pour tous entiers naturels
n
et
k
tels que
0⩽k⩽n
,
(
n
k
)
=
(
n
n−k
)
•Pour tous entiers naturels
n
et
k
tels que
0⩽k⩽n
,
(
n
k
)
=
(
n−1
k−1
)
+
(
n−1
k
)
Exemples :
(
8
3
)
=
(
8
..
)
(
8
7
)
=
(
..
..
)
= …
(
4
2
)
=
(
3
..
)
+
(
3
..
)
5. Loi binomiale
Dans un schéma de n épreuves de Bernoulli de paramètre
p
, la variable aléatoire
X
qui compte le nombre de
succès a pour loi de probabilité :
P
(
X=k
)
=
(
n
k
)
pk
(
1−p
)
n−k
où
k
prend les valeurs
0,1 ,2,…,n
On dit que
X
suit la loi binomiale de paramètres
n
et
p
, noté
B ( n;p )
.
Son espérance est
E ( X ) =n p
Sa variance est
V ( x ) =n p ( 1−p )
et son écart type est
σ
(
X
)
=
√
np
(
1−p
)
Exemples
1. On lance cinq fois de suite, de façon indépendante, une pièce de monnaie bien équilibrée.
X
est la variable aléatoire qui indique le nombre de « PILE » obtenus lors des
5
lancers.
a) Justifier que
X
suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
b) Déterminer la probabilité
p(X=3)
.
c) Déterminer la probabilité
p(X⩾3)
.
2. Dans un région pétrolifère, la probabilité qu'un forage conduise à une nappe de pétrole est 0,1.
On effectue 10 forages. Calculer la probabilité qu'un seul forage conduise à une nappe de pétrole.
3. Dans une production de fruits il y a 30 % de fruits abîmés. On prélève un échantillon de 20 fruits. (la
production est suffisamment grande pour que l'on puisse assimiler l'échantillon à des tirages avec
remise) . X désignant le nombre de fruits abîmés dans l'échantillon, calculer
p(X⩽2)
.