LOI BINOMIALE 1. Épreuve de Bernoulli 2. Loi de Bernoulli 3

LOI BINOMIALE
1. Épreuve de Bernoulli
On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p, toute expérience
aléatoire admettant deux issues exactement :
• l'une appelée « succès » notée S , dont la probabilité
d'apparition est p ;
• l'autre S appelée « échec » , dont la probabilité est 1− p .
Exemple
On lance un dé cubique équilibré et on s’intéresse à l'apparition de S
: « obtenir un 6 » ou de S .
1
C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre p=
6
2. Loi de Bernoulli
Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre p , la variable aléatoire
X , prend la valeur 1 si S se produit et la valeur 0 sinon.On obtient
la loi de probabilité ci-contre.
Son espérance est E ( X ) = p et sa variance est V ( X )= p ( 1− p )
On dit que X est une variable de Bernoulli de paramètre p ou que
X suit une loi de Bernoulli de paramètre p .
k
0
P ( X =k ) 1− p
1
p
3. Schéma de Bernoulli et coefficients binomiaux
On appelle schéma de Bernoulli , toute répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Un schéma de Bernoulli peut être représenté par un arbre ; un résultat est une liste de n issues S ou S ;
Ce peut être ( S , S , S , S , S ) dans un schéma de 5 épreuves.
Le chemin codé S S S S S qui y conduit réalise 3 succès lors des 5 répétitions.
On considère un schéma de n épreuves de Bernoulli, n∈ℕ * , représenté par un arbre.
Pour k entier, 0⩽k ⩽n , on note n le nombre de chemins de l'arbre réalisant k succès lors des n
k
répétitions. Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux.
Par convention 0 =1
0
()
()
Exemple :
3
=
0
()
()
3
=
1
Avec une calculatrice : pour calculer
CASIO : OPTN ► F3 (PROB)
Taper 8 nCr 3
()
3
=
2
()
3
=
3
()
8
3
TEXAS : MATH ► ► ► (PRB)
Taper 8 nCr 3
4. Propriétés des coefficients binomiaux
•
•
•
Pour tout entier n⩾0 , n =1
0
()
( nn)=1 (n1 )=n
Pour tous entiers naturels n et k tels que 0⩽k ⩽n , n = n
k
n−k
n
Pour tous entiers naturels n et k tels que 0⩽k ⩽n ,
= n−1 + n−1
k
k −1
k
Exemples :
()( )
()( )( )
() ()
8
3
=
8
..
() ()
8
7
=
..
=…
..
( )()()
4
3
3
=
+
2
..
..
5. Loi binomiale
Dans un schéma de n épreuves de Bernoulli de paramètre p , la variable aléatoire X qui compte le nombre de
succès a pour loi de probabilité :
n −k
k
P ( X =k )= n p ( 1− p )
où k prend les valeurs 0 ,1 , 2 ,…, n
k
()
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p , noté B ( n; p ) .
Son espérance est E ( X ) =n p Sa variance est V ( x ) =n p ( 1− p ) et son écart type est σ ( X )= √ np ( 1− p )
Exemples
1. On lance cinq fois de suite, de façon indépendante, une pièce de monnaie bien équilibrée.
X est la variable aléatoire qui indique le nombre de « PILE » obtenus lors des 5 lancers.
a) Justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
b) Déterminer la probabilité p ( X =3) .
c) Déterminer la probabilité p ( X ⩾3) .
2. Dans un région pétrolifère, la probabilité qu'un forage conduise à une nappe de pétrole est 0,1.
On effectue 10 forages. Calculer la probabilité qu'un seul forage conduise à une nappe de pétrole.
3. Dans une production de fruits il y a 30 % de fruits abîmés. On prélève un échantillon de 20 fruits. (la
production est suffisamment grande pour que l'on puisse assimiler l'échantillon à des tirages avec
remise) . X désignant le nombre de fruits abîmés dans l'échantillon, calculer p ( X ⩽2) .