Homologie des groupes. I: axiomes et unicité

Séminaire Henri Cartan
S AMUEL E ILENBERG
Homologie des groupes. I : axiomes et unicité
Séminaire Henri Cartan, tome 3 (1950-1951), exp. no 1, p. 1-5
<http://www.numdam.org/item?id=SHC_1950-1951__3__A1_0>
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1-01
Séminaire H. CARTAN,
1950/51 . Topologie algébrique.
HOMOLOGIE DES GROUPES . I: AXIOMES ET UNICITÉ.
(Exposé
EILENBERG, 13o~1a1~50).
de Samuel
L’objet du présent exposé est de donner un développement systématique de la
théorie de l’homologie et de la cohomologie des groupes discrets. La méthode suivie
sera
axiomatique.
1.- Préliminaires.
désignera un système associatif avec élément unité ; les éléments de Tf
seront en général désignés par x 9 x’ ,
de ~~~ sur
x 1 9 0 0 0 1 L’algèbre Z~
l’anneau des entiers Z est l’algèbre engendrée par les éléments
Un 7~ 3~ )-module à gauche
multiplication étant définie comme celle de TI
(resp. à droite) sera appelé un 03C0-groupe à gauche (resp. à droite). Les homomorphismes de Z( 03C0)-modules seront appelés 03C0 -homomorphismes.
~’~
,
.
.
Un
~~ ~-groupe
à
gaucho (respo à droite)
11-base si les éléments xa03BB(resp. a03B x) , x ~ 03C0 ,
0
ture de groupe abélien de
Si
f s F
droite,
si
f : f =
goh ,
une
F
fl-base de
B g
.~~.
9 F,
A ...~. B
est 03C0-libre et si
fait
ce
un
une
il suffit
en
on
~a~~
comme
base de la struc-
groupe abélien libre.
~’ --homomorphismes
est sur, alors
B ;
avec ?
de
sont des
g
avec
forment
F 9 qui est donc
g ~
est.
de
à-groupes
à
peut factoriser
effet de définir
h
sur
.
F .
Un n-groupe
à
ectif si,
gauche Q est appelé
tout sous- 03C0-groupe A de B, et tout 03C0-homomorphisme
prolongement B .~..~. Q~.
pour tout
A
~
Q 9
E-groupe B ,
il existe
un
’
2 . - Axiomes et unicité
pour
l’homologie.
Dans cette section? tous les groupes sont des TT-groupes à droite, et tous
les homomorphismes des 03C0-homomorphismes. Le système Tf sera fixé dans toute la
suite.
o
.
Nous supposons que :
(I) Pour tout groupe A
Hq(A)
(Il).
Pour tout
et tout entier
q p
on
donne
un
groupe abélien noté
.
homomorphisme
f ~ A
2014~
B
on
donne
un
homomorphisme
Si l’ on
on
donne
Le
(1)
tion
a
suite exacte de la f orme
une
homomorphisme ~ :
un
système H
q(A) ,
f ô A
A
Si
~
H
q
~}
f 9
est
(A")
~
H
0
~.:.-~
A’
A
...~.
.,~
AU ..~
0,
q-1
est soumis
aux
axiomes suivants :
l’application identique, alors
f
.
est
l’applica-
identique.
(3)
Si l’on
diagramme
a un
commutatif dont les deux
lignes sont exactes :
alors le diagramme suivant est commutatif ~
(4)
Si l’on
la suite exacte 1
a
alors la suite que voici est exacte ~1
(5)
groupe
H
(A)
engendré
(6)
’
==
=
Soit 03C6
être regardé
s
0
Ho(A)
pour
A
q o ;
par tous les éléments
=
0
est
03C0’ ~ Ti
un
en
quotient
Tout 03C0-groupe
posant
ax’
=
~
Î
Théorème d’unicité.
H’
=={H’
respectivement. On
se
Alors il existe
~’}
donne
une
et
deux théories de
un
homomorphisme
une
~ ~
définis
(7)
pour tout
Si
f $ A
03C0-groupe A ,
2014~
a
seule famille
A)
~
A
par le
A
peut aussi
et
l’homologie pour Tf et nI
(’ s Tï’ _~ ~ .
d’homomorphismes
Hq(n, A)
,
et tels que :
B / alors le
sous-
~(x’) . ’
f , ô~
(ï!B A) , f’* ,
de
.
homomorphisme.
11’ -groupe
comme un
,
diagramme suivant est commutatif :
A)
-p
( Q , à)
=
X ~’ ( T , B )
,(;
x (j , B)
q
’
’
x
)
q
(8)
1
me
si la suite
à’
o ~
À
-+
-->
à"
H’q(03C0’, A")A") ~ H’q-1(03C0’, A’)
Hq(03C0,
(9)
j
i
i
) À_ii,
-+
A ._
11
,
est
H ’ o (03C0’ ,
A)
H
-+
est
(03C0 , A’)
~ Hq-1
o
qui corre spond à
f
>
Î
o
exacte, alors
le
diagram-
suivant est commutatif:
/
(
-+
Enfin, si f i ù’ -+.
un isomorphisme sur.
( T" , A )
n’est autre quo
f g P ’-p
’i
est
.
un
11
l’homomorphisme
’
.
~
isomorphisme sur, alors chaque
f !lE
,
.
Démonstration :
Nous supposons
est défini pour les dimensions:
strictement inférieures à q (q > o) Pour tout ?-grouPe À , soit
le
Fà
o
03C0-groupe
libre à droite admettant les éléments de
homomorphisme naturelfi’A
~
~°
~À
~
diagramme
~’à
~
~’ ~ ~ ~
commutatif suivant
Il existe alors
un
À1
soit
Ra
est
exacte, et,
(où
les deux
homomorphismo
pour base. Il existe un
A
La SUite
son noyau.
"
comme
lignes
sont
unique ~ (A)
°~’
A)
~
le
diagramme précédente n’en détruit
Vérifions maintenant
la
propriété (7).
Comme:~
Hq(rr,
et (6) ) ,
A)
.~.
il suit de là que l’on
R)
a
est
bien :
le
exactes) :
qui, une fois inséré dans
tivité.
Soit
°’
f : A
-+
2014~
H (TT .
A)
pas la commuta-
B. Ceci induit
biunivoque (d’après les axiomes (4)
Vérifions maintenant
o
2014~
A’
propriété (8) . Considérons
la
A .~.~ A" ~..~, 0
Puisque
o
est
libre 9
on
suite exacte :
une
peut construire
un
diagramme commutatif:
Ceci donne le
Le carré de
diagramme
commutatif 1
gauche est commutatif à
commutatif à
cause
de
(7) .
cause
chaque ligne est bien l’homomorphisme ô
diagramme entraîne alors la propriété (S) .
et le
composé
D’autre parts le
de
Enfin,
(3) ~
de
y
carré de droite est
des deux
homomorphismes
(3) .
vertu de
en
soit
o
Le
isomorphisme sur, et
posons ~ = ~’"
Alors ( et ~~* vérifient les analogues de (7) ,
(8) , (9) , le premier par rapport à l’application identique de ~ dans
le second par rapport à l’application identique de Tj dans T! . Il résulte
alors de l’unicité que 03C803C6
et
03C6*03C6* ne sont autres que les applications
identiques; ce qui montre bien que les ’~ sont des isomorphismes sur.
supposons que 03C8 : 03C0’~ 03C0
un
.
3.- Axiomes et
unicité pour la cohomologie.
Dans cette
section,
tous les groupes sont des
~-groupes
à
gaucho. Nous
0
supposons que :
(I )
Pour tout groupe
sur
lequel "’
Pour tout
A
et tout entier
opère,
f : A
donne
un
homomorphisme
B ~
-~
on
donne: f
~ s
Axiomes:
des
(6 )
=
éléments
un
groupe noté
2014~
0
A’ 2014~ A
°
2014~
’
A" -~.
0 ,
~
.
différent de
changements d’indices et
(5~)
s
H~ (A’)
2014~
~c~ ~ ~c~ ~
des
donne
trivialement.
Pour toute suite exacte de la forme
on
on
q ,
0
pour
a
tels que
0
pour
ne
sont pas
q ~ o ;
q ~
xa
o
=
=
a
si
A~
est
que par
répétés.
est le sous-groupe de
pour tout
A
(l) , (2) , (3) , (4)
x ~
"
ii-injectifo
~
A
formé
1-05
Soit 03C6
regardé connue
’~
s
n’
-groupe.
un 03C0’
Théorème d’unicité.
H’
=
?H’ ’(n ~
Alors
(7 )
Si
~’~
deux
il existe
pour tout
et
théories de la cohomologie
et
une
une
seule famille
H~~
A)~
2
A)
pour ~
.
A
et tels que
B , alors
le
diagramme suivant est commutatif
f : A ~
Hq(03C0 , A)
~
A)
-->
Si la suite 0
~
A’
~
s
Hq(03C0 , B)
H’q(03C0’, B)
A"
il ~
~
TT ’
et
d’homomorphismes
~-groupe
H’q(03C0’,
(8c)
= {Hq(03C0, A) , f , 03B4}
H
~ H~(H,
.
définis
Soit
A) y f ~
respectivement,
homomorphisme. Tout 03C0-groupe peut aussi être
un
s
.
0
est
exacte, alors le
diagramme
suivant est commutatif.
H~(r~
(9c)
A)
?
qui correspond à
,
-~
A")
-~
H’~(n~
A)
n’est autre que
~ Ho(03C0’,
03C0’
s
03C6
H~d-~ , A’)
A")
~
03C0
A’)
.
l’homomorphisme A03C0 ~
A03C0’,
.
.
~
La
démonstration
correspondre
Si
à tout
N~ = Q~/A ~
est
basée
03C0-groupe
alors la suite
(non donnée ici) qui
03C0-groupe 03C0-injectif Q. contenant
sur une
A
un
0
.-~ A
construction
~.
Q~
~.
N~
-~
0
fait
A .
est exacte.
°
homomorphismes ~ définis pour les dimensions
q
comme
(q >
H ( T ~ Q~) 0 ~ nous avons le diagramme commutatif suivant
(où les deux lignes sont exactes) :
Supposons
les
=
homomorphisme Wunigue ~~~A~ p
A) .~
fois inséré dans le diagramme précédente n’en détruit pas
Il existe alors
qui,
une
un
H’ ~ ~ ~~’ 9
la commuta-
tivitéo
Le reste de la
démonstration procède
comme
dans le
cas
de
A
l’homologie.