Structures algébriques

Structures algébriques :
A. Groupes :
Définition 1 : Soit G un ensemble et * une loi de composition interne (LCI) sur
G. On dit que (G,*) est un groupe si :
(i)
* est associative ;
(ii) G contient un élément neutre pour la loi * (noté e)
(iii)
Tout élément de g admet un symétrique pour * (noté x-1).
(iv)
Si, de plus * est commutative, on dit que (G,*) est un groupe commutatif
Remarques:
Lorsque la loi est notée +, le symétrique est appelé opposé et noté –x.
Lorsque la loi est notée ., x , le symétrique est appelé inverse et noté x-1.
Exemples :
*
*
*
• (Z,+), (Q, +), (R,+), (C,+) sont des groupes, de même que (Q , .), (R ,.), (C ,.).
Qu’en est il de ((R*+,.) , (Q*-,x)..
*
• Par contre ((N,+),(Z ,.) n’en sont pas. Pourquoi ?
Définition 2 : Soient (G, *) et (H, ¤) deux groupes. Un homomorphisme du
groupe (G, *) vers le groupe (H, ¤) est une application ϕ de G vers H qui vérifie :
ϕ(x * y) = ϕ(x ) ¤ ϕ(y) pour tous x et y dans G
Exemples :
+
• L’application exp est un homomorphisme de (R,+) sur (R* ,x).
+
• L’application ln est un homomorphisme de (R* ,x).sur (R,+) .
iθ
• L’application θ → e est un homomorphisme de (R, +) sur ((C*,x).
Définition 3 : Soit (G, *) un groupe et H un sous-ensemble de G. On dit que H est
un sous-groupe de (G, *) si
(i)
H est stable pour la loi * (ie : * est une LCI sur H)
(ii) l’élément neutre de (G, *) est élément de H (c’est donc un élément neutre
dans H)
(iii) tout élément de H admet un symétrique pour la loi * dans H.
Dans ce cas (H, * ) est lui-même un groupe.
Exemples :
•
(Z,+) est un sous-groupe de (R,+)
•
U l’ensemble des complexes de module 1 est un sous-groupe de (C*, x) …
jj/09/aa
1
structures algébriques
Groupes et géométrie :
Exercice 1 : On considère un ensemble fini E = {a, b, c} .
(i)
Combien y a-t-il de bijections de E dans lui-même ? On note Bij(E)
l’ensemble de ces bijections.
(ii) La loi de composition des applications notée o est elle une LCI dans
Bij(E) ?
(iii) (Bij(E) ,o) est il un groupe. Ce groupe est-il commutatif ?
(iv) Noter f,g,h,…k les éléments de E. Calculer tous les « produits » fog etc…
que l’on peut obtenir. Présenter cela dans un tableau.
Exercice 2 :
(i)
On considère l’ensemble H des homothéties du plan. La loi o est elle une
LCI sur H ?
(ii)
On considère l’ensemble H ∪ T des homothéties et des translations du plan
la loi o lui confère-t-elle une structure de groupe ? Ce groupe est-il
commutatif ? Pouvez vous donner quelques exemples de sous-groupes si
c’en est un ?
B. Anneaux et corps :
Définition 3 : Soit A muni de deux LCI notées + et x. On dit que (A, +, x) est un
anneau si :
(1) (A, +) est un groupe commutatif.
(2)
La loi x est associative et distributive par rapport à l’addition.
Si, x possède un élément neutre dans A, on dit que l’anneau est unitaire ;
Si (A, +, *) est un anneau unitaire dans lequel tout élément non nul possède un
symétrique pour x dans A, on dit que (A, +, x) est un corps.
(4) Si x est commutative, on dit que l’anneau (ou le corps est commutatif).
(3)
Exemples :
•
•
•
•
•
•
(Z,+,x), est un anneau commutatif et unitaire…
(Q, +,x), (R,+,x), (C,+,x) sont des corps commutatifs.
On note Z[ 2 ] l’ensemble {a+ b 2∈ R,b∈ Z } . Montrer que
(Z[ 2 ],+,x) est un anneau commutatif et unitaire.
On note Q[ 2 ] l’ensemble {a+ b 2∈ R,b∈ Q} . Montrer que (Q[ 2 ],+,x) est un
corps.
jj/09/aa
2
structures algébriques