Groupe quotient. Exemple : On sait que les sous groupes de (ℤ,+)

Groupe quotient.
S.Remmal
Exemple :
On sait que les sous groupes de (ℤ,+) sont de la forme ℤ où
.
D’autre part,
ℤ
ℤ
ℤ
ℤ
ℤ
ℤ.
.
On a donc une partition de ℤ par les sous ensembles :
ℤ
c.à.d.si n est un entier fixé, alors tout entier m va se trouver dans un
seul ensemble de la forme et ℤ=
.
La relation binaireℛ définie dans ℤ par :
ℛ
ℤ
est une relation d’équivalence dont les classes d’équivalences sont les
ensembles :
ℤ
L’ensemble ℤ ℛ des classes d’équivalences est noté ℤ ℤ.
Si on veut définir une opération sur l’ensemble ℤ ℤ
à
partir de l’addition de ℤ, cette opération doit tenir compte du faite qu’une
classe peut avoir plusieurs représentants. On doit donc avoir la
propriété suivante :
.
Cette propriété est vérifiée si on choisit l’opération suivante :
En effet,
ℤ
ℤ
ℤ
Donc :
.
On peut interpréter la propriété précédente, en disant que la relation
binaire ℛ est compatible avec l’addition c.à.d.
ℛ
ℛ
ℛ
)
On note habituellement l’opération par + et on vérifie sans difficulté,
que l’ensemble ℤ ℤ muni de cette opération est un groupe abélien dont
ℤ est l’élément neutre.
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ℤ
D’autre part, l’application
ℤ
ℤ
ℤ est un
homomorphisme de groupes puisque :
En plus, comme l’application
égal à ℤ, on a :
ℤ

ℤ
.
est naturellement surjective et son noyau

ℤ
Application :
Si
, alors, ℤ ℤ
et ℤ
ℤ
ℛ
.
ℤ Tout entier est donc
soit pair, soit impaire.
Groupe quotient commutatif
On s’inspire du model : ℤ ℤ
Soient (G,+) un groupe commutatif et H un sous groupe de G.
On définit sur G la relation binaireℛ par :
ℛ
.
On vérifie que ℛ une relation d’équivalence dont les classes
d’équivalences sont les ensembles :
L’ensemble
ℛdes classes d’équivalences est noté
.
D’autre part, la relation binaire ℛ est compatible avec l’addition c.à.d.
ℛ
ℛ
ℛ
)
Puisque : ℛ
ℛ
)
ℛ
).
On peut donc définir une opération sur les classes d’équivalences en
posant :
On vérifie facilement que l’ensemble
groupe commutatif dont
En plus, l’application
muni de cette opération est un
est l’élément neutre.
est un homomorphisme
surjectif de groupes tel que :
Donc,
.
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Groupe quotient
Soient (G,.) un groupe et H un sous groupe de G.
On définit sur G deux relations binaires ℛ
ℛ par :
ℛ
.
ℛ
s relations ℛ
ℛ
sont des relations d’équivalences telles
que : ℛ
; ℛ
Pour pouvoir définir une opération sur l’ensemble des classes
d’équivalences ℛ
ℛ ,il faudrait que la relation ℛ
compatible avec la loi du groupe G.
On doit donc, avoir :
ℛ
ℛ
ℛ
Or, cela ne peut se réaliser que si :
Dans ce cas, on a
ℛ
ℛ et on dit que
distingué ou normal de .
L’ensemble ℛ
ℛ noté
par le sous groupe distingué
est naturellement un
homomorphisme surjectif de groupes tel que :
et on a :
pour ℛ=ℛ ou ℛ=ℛ
c.à.d. ℛ
ℛ .
est un sous groupe
et muni de l’opération :
est un groupe appelé groupe quotient de
L’application
ℛ soit
puisque :
.
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