Groupe quotient. Exemple : On sait que les sous groupes de (ℤ,+)

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Groupe quotient.
S.Remmal
Exemple :
On sait que les sous groupes de (,+) sont de la forme  où   .
               .
.
On a donc une partition de  par les sous ensembles :
c.à.d.si n est un entier fixé, alors tout entier m va se trouver dans un
seul ensemble de la forme  et =
 .
La relation binaire définie dans  par :
ensembles :             
.
mble 
à
, 
classe peut avoir plusieurs représentants. On doit donc avoir la
propriété suivante :
.
 Cette propriété est vérif :
En effet, 
Donc : .
On peut interpréter la propriété précédente, en disant que la relation
binaire  
    )
 par + et on vérifie sans difficulté,
 muni de cette opération est un groupe abélien dont
  .

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 est un
homomorphisme de groupes puisque :      
 est naturellement surjective et son noyau
égal à, on a :
.
             .
Application :
Si  , alors, 
 et       Tout entier est donc
soit pair, soit impaire.
Groupe quotient commutatif
 :
Soient (G,+) un groupe commutatif et H un sous groupe de G.
On définit sur G la relation binaire par :
     .
On vérifie que  
 :
t noté .
la relation binaire  
    )
Puisque :          
) 
  ).
posant :
 muni de cette opération est un
groupe commutatif dont 
 est un homomorphisme
surjectif de groupes tel que :   
Donc, 
.

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Groupe quotient
Soient (G,.) un groupe et H un sous groupe de G.
On définit sur G deux relations binaires  par :
    .
s relations       
que :
     ;
 ,il faudrait que la relation  soit
compatible avec la loi du groupe G.
On doit donc, avoir :   pour =ou =
Or, cela ne peut se réaliser que si :      c.à.d.  .
Dans ce cas, on a 
et on dit que  est un sous groupe
distingué ou normal de.
noté 
  :
est un groupe appelé groupe quotient de  par le sous groupe distingué
plication         est naturellement un
homomorphisme surjectif de groupes tel que :    puisque :
et on a : 
.