SÉRIE 9

Alg`ebre 2eann´ee S´ ERIE 9 le 9 et le 10 avril 2005
Les exercices 4(a), (b), (d) et (f) sont `a rendre le 16 mai au d´ebut de la s´eance d’exercices.
1. On dit qu’un anneau commutatif est local s’il ne poss`ede qu’un seul id´eal maximal.
(a) Soit Run anneau commutatif. Supposons que Mest un id´eal maximal de
R. Montrer que Rest local si et seulement si chaque ´el´ement de R−Mest
inversible.
(b) Soit Run anneau local. Montrer que si x∈Ralors x∈R∗ou 1 −x∈R∗.
Montrer que les seuls idempotents de Rsont 0 et 1.
2. Soit Run anneau commutatif et Iun id´eal de R. On appelle radical de Il’ensemble
√I={x∈R|il existe n∈Ntel que xn∈I}.
(a) Montrer que √Iest un id´eal de R.
(b) Dans R=Zcalculer √4Z,√18Z,√72Zet √mZo`u m=pα1
1···pαr
r, les pi
´etant des premiers distincts.
(c) Montrer que √I∩J=√I∩√J=√IJ pour tous id´eaux I,Jde R.
3. Soit Z[i] l’anneau des entiers de Gauss.
(a) Trouver un isomorphisme d’anneaux Z[x]/(x2+ 1)
∼
=
−→ Z[i].
(b) Calculer Z[i]∗et donner sa structure de groupe.
(c) Calculer le corps de fractions Q(Z[i]).
4. Soit Run anneau commutatif. Une partie non-vide S⊂Rs’appelle multiplicative-
ment stable si 0 6∈ Set s1s2∈Ssi s1, s2∈S. Dans R×S, on d´efinit (r, s)∼(r0, s0)
s’il existe s00 ∈Stel que s00(rs0−sr0) = 0.
(a) Montrer que ∼d´efinit une relation d’´equivalence sur R×S.
(b) On note r/s la classe d’´equivalence de (r, s). Notons S−1Rl’ensemble des classes
d’´equivalences. On d´efinit
(r1/s1) + (r2/s2) = (r1s2+r2s1)/(s1s2) et (r1/s1)·(r2/s2) = (r1r2)/(s1s2).
Montrer que ces op´erations sont bien d´efinies et que S−1Rest un anneau.
(c) Montrer que ι:R→S−1R,r7→ rs/s (pour n’importe quel s∈S!) est un
homomorphisme, et trouver le noyau de ι. Quand est-il injectif ?
(d) Si Pest un id´eal premier de R, montrer que R−Pest multiplicativement
stable.
(e) Si Rest int`egre et S=R− {0}, montrer que S−1R∼
=Q(R), le corps de
fractions.
(f) Soient R=Zet P=pZ. Soit S=R−P. D´ecrire S−1Zen tant que sous-anneau
de Q. Montrer que S−1Zest un anneau local.
5. Soit Run anneau commutatif et S⊂Rune partie multiplicativement stable. Soit
ϕ:R→Tun homomorphisme d’anneaux tel que ϕ(S)⊂T∗. Montrer que ϕ
s’´etend `a un unique homomorphisme d’anneaux ˆϕ:S−1R→Ttel que ˆϕ◦ι=ϕ,
o`u ι:R→S−1Rest l’homomorphisme naturel de 4(c).
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