LOI BINOMIALE 1. Épreuve de Bernoulli 2. Loi de Bernoulli 3

Chapitre 1 0 :Loi binomiale
Épreuve de Bernoulli
Loi de Bernoulli
Schéma de Bernoulli
Propriétés des coefficients binomiaux
Loi binomiale
LOI BINOMIALE
1. Épreuve de Bernoulli
➢On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre
p
, toute expérience
aléatoire admettant deux issues exactement :
•l'une appelée « succès » notée
S
, dont la probabilité d'apparition est
p
;
•l'autre appelée « échec » notée
E
ou
S
, dont la probabilité est
1−p
.
➢Exemple
On lance un dé cubique équilibré et on s’intéresse à l'apparition de
S
:
« obtenir un 6 » ou de
S
.
C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre
p=1
6
2. Loi de Bernoulli
➢Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre
p
, la variable aléatoire
X
,
prend la valeur
1
si
S
se produit et la valeur
0
sinon.
On obtient la loi de probabilité ci-contre.
➢Son espérance est
E ( X ) =p
et sa variance est
V ( X ) =p ( 1−p )
➢On dit que
X
est une variable de Bernoulli de paramètre
p
ou que
X
suit une loi de Bernoulli de paramètre
p
.
➢Démonstration
P ( X=1 ) =P ( S ) =p
et
P ( X=0 ) =P ( S ) =1−p
E ( X ) =0× ( 1−p ) +1×p=p
V
(
X
)
=02×
(
1−p
)
+12×p−p2=p−p2=p
(
1−p
)
k
0
1
P ( X=k )
1−p
p
3. Schéma de Bernoulli
➢On appelle schéma de Bernoulli de
n
épreuves de Bernoulli de paramètre
p
, toute expérience
aléatoire consistant à répéter
n
fois de façon indépendante une même épreuve de Bernoulli de
paramètre
p
.
➢Un schéma de Bernoulli peut être représenté par un arbre ; un résultat est une liste de
n
issues
S
ou
S
;
➢Ce peut être
( S,S,S,S,S )
dans un schéma de
5
épreuves.
➢Le chemin codé
S S S S S
qui y conduit réalise
3
succès lors des
5
répétitions.
➢On considère un schéma de
n
épreuves de Bernoulli,
n∈ℕ*
, représenté par un arbre.
Pour
k
entier,
0⩽k⩽n
, on note
(
n
k
)
le nombre de chemins de l'arbre réalisant
k
succès lors des
n
répétitions.
Par convention
(
0
0
)
=1
➢Exemple :
S
p
E
1-p

(
3
0
)
=1
(
3
1
)
=3
(
3
2
)
=3
(
3
3
)
=1
➢Avec une calculatrice : pour calculer
(
8
3
)
=56
CASIO : OPTN ► F3 (PROB)
Taper 8 nCr 3
TI : MATH ► ► ► (PRB)
Taper 8 Combinaison 3
4. Propriétés des coefficients binomiaux
•Pour tout entier
n⩾0
,
(
n
0
)
=1
et
(
n
n
)
=1
•Pour tous entiers naturels
n
et
k
tels que
0⩽k⩽n
,
(
n
k
)
=
(
n
n−k
)
•Pour tous entiers naturels
n
et
k
tels que
0⩽k⩽n
,
(
n
k
)
=
(
n−1
k−1
)
+
(
n−1
k
)
➢Démonstrations
•Un seul chemin conduit à
0
succès lors de
n
répétitions, c'est
SSS…S
Un seul chemin conduit à
n
succès lors de
n
répétitions, c'est
SSS…S
•Si
n=0
alors
k=0
et l'égalité est vérifiée
Si
n>0
, alors sur l'arbre représentant le schéma de
n
épreuves de Bernoulli,
(
n
k
)
est le nombre de
chemin réalisant
k
succès, donc aussi le nombre de chemin réalisant
n−k
échecs.
Par ailleurs,
(
n
n−k
)
est le nombre de chemin réalisant
n−k
succès, et donc par symétrie de l'arbre,
on a donc :
(
n
k
)
=
(
n
n−k
)
•Sur l'arbre représentant un schéma de Bernoulli pour
n
répétitions,
(
n
k
)
est le nombre de chemin
réalisant
k
succès lors des
n
répétitions. Les chemins qui conduisent à
k
succès sont :
◦ceux qui commencent par un succès, donc il reste
k−1
succès lors de
n−1
répétitions , il y en a
(
n−1
k−1
)
;
◦ceux qui commencent par un échec, donc il reste
k
succès lors des
n−1
répétitions, il y en a
(
n−1
k
)
Cela donne donc
(
n
k
)
=
(
n−1
k−1
)
+
(
n−1
k
)
➢Exemples :
(
8
3
)
=
(
8
8−3
)
=
(
8
5
)
(
8
7
)
=
(
8
8−7
)
=
(
8
1
)
(
4
2
)
=
(
3
1
)
+
(
3
2
)
5. Loi binomiale
➢Dans un schéma de
n
épreuves de Bernoulli de paramètre
p
,
la variable aléatoire
X
qui compte le nombre de succès a pour loi de probabilité :
P
(
X=k
)
=
(
n
k
)
pk
(
1−p
)
n−k
où
k
prend les valeurs
0,1 , 2 ,…,n
➢Son espérance est
E ( X ) =n p
➢Sa variance est
V ( x ) =n p ( 1−p )
et son écart type est
σ
(
X
)
=
√
np
(
1−p
)
On dit que
X
suit la loi binomiale de paramètres
n
et
p
, noté
B ( n;p )
.
➢Démonstration
Dans un schéma de
n
épreuves de Bernoulli, la variable aléatoire
X
qui compte les succès prend pour
valeurs
0,1,…,n
.
Pour un entier
k
compris entre
0
et
n
, l’événement
( X=k )
est représenté dans l'arbre par les

chemins qui comportent
k
succès et
( n−k )
échecs. Il existe
(
n
k
)
chemins.
Dans chacun de ces chemins il y a exactement
k
fois
S
et
( n−k )
fois
S
.
Donc chaque chemin a une probabilité de
pk ( 1−p )
n−k
D'où
P
(
X=k
)
=
(
n
k
)
pk
(
1−p
)
n−k
Les formules donnant l'espérance et la variance sont admises.
➢Exemple
On lance cinq fois de suite, de façon indépendante, une pièce de monnaie bien équilibrée.
X
est la variable aléatoire qui indique le nombre de « PILE » obtenus lors des
5
lancers.
Y
est celle qui donne le rang du premier « PILE » obtenu (s'il n’apparaît pas, on prend
0
)
a) Est-on ici en présence d'un schéma de Bernoulli ?
Lors du lancer d'une pièce de monnaie chaque issue a une probabilité de
0,5
.
On est bien dans une épreuve de Bernoulli, où le succès
S
: « obtenir PILE » a pour probabilité
0,5
.
La répétition des
5
épreuves indépendantes est donc bien un schéma de Bernoulli de paramètre
n=5
et
p=0,5
.
b) Étudier si les variables aléatoires
X
et
Y
suivent une loi binomiale.
La variable aléatoire
X
compte le nombre de succès
S
lors des
5
lancers.
X
suit donc bien une loi
binomiale de paramètres
n=5
et
p=0,5
et
P ( X=k ) =
(
5
k
)
( 0,5 )
k
( 0,5 )
5−k=
(
5
k
)
(
1
2
)
5
=
(
5
k
)
1
32
pour
k
entier
0⩽k⩽5
.
La variable aléatoire
Y
ne s’intéresse pas au nombre de succès
S
obtenus au cours des
5
lancers,
mais au rang du premier succès obtenu.
Y
ne suit pas une loi binomiale ou « loi du nombre de
succès ».
P ( Y=k ) =
(
1
2
)
k
pour
1⩽k⩽5
et
P ( Y=0 ) =
(
1
2
)
5
=1
32