LOI BINOMIALE 1. Épreuve de Bernoulli 2. Loi de Bernoulli 3

Chapitre 10 :Loi binomiale





Épreuve de Bernoulli
Loi de Bernoulli
Schéma de Bernoulli
Propriétés des coefficients binomiaux
Loi binomiale
LOI BINOMIALE
1. Épreuve de Bernoulli
S
➢ On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p , toute expérience
aléatoire admettant deux issues exactement :
• l'une appelée « succès » notée S , dont la probabilité d'apparition est p
;
• l'autre appelée « échec » notée E ou S , dont la probabilité est 1− p .
p
1-p
➢ Exemple
On lance un dé cubique équilibré et on s’intéresse à l'apparition de S :
« obtenir un 6 » ou de S .
1
C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre p=
6
E
2. Loi de Bernoulli
➢ Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre p , la variable aléatoire X ,
prend la valeur 1 si S se produit et la valeur 0 sinon.
On obtient la loi de probabilité ci-contre.
➢ Son espérance est E ( X ) = p et sa variance est V ( X )= p ( 1− p )
➢ On dit que X est une variable de Bernoulli de paramètre p ou que X
suit une loi de Bernoulli de paramètre p .
k
0
P ( X =k ) 1− p
1
p
➢ Démonstration
P ( X =1 )=P ( S ) = p et P ( X =0 ) =P ( S )=1− p
E ( X ) =0×( 1− p ) +1× p= p
2
2
2
2
V ( X )=0 ×( 1− p ) +1 × p− p = p− p = p ( 1− p )
3. Schéma de Bernoulli
➢ On appelle schéma de Bernoulli de n épreuves de Bernoulli de paramètre p , toute expérience
aléatoire consistant à répéter n fois de façon indépendante une même épreuve de Bernoulli de
paramètre p .
➢ Un schéma de Bernoulli peut être représenté par un arbre ; un résultat est une liste de n issues S ou
S ;
➢ Ce peut être ( S , S , S , S , S ) dans un schéma de 5 épreuves.
➢ Le chemin codé S S S S S qui y conduit réalise 3 succès lors des 5 répétitions.
➢ On considère un schéma de n épreuves de Bernoulli, n∈ℕ * , représenté par un arbre.
Pour k entier, 0⩽k ⩽n , on note n le nombre de chemins de l'arbre réalisant k succès lors des n
k
répétitions.
Par convention 0 =1
0
➢ Exemple :
()
()
(30 )=1
(31 )=3
(32 )=3
(33 )=1
()
➢ Avec une calculatrice : pour calculer 8 =56
3
CASIO : OPTN ► F3 (PROB)
TI : MATH ► ► ► (PRB)
Taper 8 nCr 3
Taper 8 Combinaison 3
4. Propriétés des coefficients binomiaux
•
•
•
Pour tout entier n⩾0 , n =1 et n =1
0
n
()
()
Pour tous entiers naturels n et k tels que 0⩽k ⩽n , n = n
k
n−k
Pour tous entiers naturels n et k tels que 0⩽k ⩽n , n = n−1 + n−1
k
k −1
k
()( )
()( )( )
➢ Démonstrations
• Un seul chemin conduit à 0 succès lors de n répétitions, c'est S S S …S
Un seul chemin conduit à n succès lors de n répétitions, c'est S S S …S
• Si n=0 alors k =0 et l'égalité est vérifiée
Si n> 0 , alors sur l'arbre représentant le schéma de n épreuves de Bernoulli,
(nk ) est le nombre de
chemin réalisant k succès, donc aussi le nombre de chemin réalisant n−k échecs.
n
Par ailleurs,
est le nombre de chemin réalisant n−k succès, et donc par symétrie de l'arbre,
n−k
on a donc : n = n
k
n−k
Sur l'arbre représentant un schéma de Bernoulli pour n répétitions, n est le nombre de chemin
k
réalisant k succès lors des n répétitions. Les chemins qui conduisent à k succès sont :
◦ ceux qui commencent par un succès, donc il reste k −1 succès lors de n−1 répétitions , il y en a
n−1 ;
k −1
◦ ceux qui commencent par un échec, donc il reste k succès lors des n−1 répétitions, il y en a
n−1
k
Cela donne donc n = n−1 + n−1
k
k −1
k
( )
()( )
•
()
( )
( )
()( )( )
()( )()
➢ Exemples : 8 = 8 = 8
3
8−3
5
8 = 8
(87 )=(8−7
) (1) ( 42)=(31)+(32)
5. Loi binomiale
➢ Dans un schéma de n épreuves de Bernoulli de paramètre p ,
la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès a pour loi de probabilité :
n −k
k
P ( X =k )= n p ( 1− p )
où k prend les valeurs 0 ,1 , 2 ,…, n
k
➢ Son espérance est E ( X ) =n p
➢ Sa variance est V ( x ) =n p ( 1− p ) et son écart type est σ ( X )= √ np ( 1− p )
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p , noté B ( n; p ) .
()
➢ Démonstration
Dans un schéma de n épreuves de Bernoulli, la variable aléatoire X qui compte les succès prend pour
valeurs 0 ,1 ,…, n .
Pour un entier k compris entre 0 et n , l’événement ( X =k ) est représenté dans l'arbre par les
chemins qui comportent k succès et ( n−k ) échecs. Il existe
( nk ) chemins.
Dans chacun de ces chemins il y a exactement k fois S et ( n−k ) fois S .
k
n−k
Donc chaque chemin a une probabilité de p ( 1− p )
n −k
D'où P ( X =k )= n pk ( 1− p )
k
Les formules donnant l'espérance et la variance sont admises.
()
➢ Exemple
On lance cinq fois de suite, de façon indépendante, une pièce de monnaie bien équilibrée.
X est la variable aléatoire qui indique le nombre de « PILE » obtenus lors des 5 lancers.
Y est celle qui donne le rang du premier « PILE » obtenu (s'il n’apparaît pas, on prend 0 )
a) Est-on ici en présence d'un schéma de Bernoulli ?
Lors du lancer d'une pièce de monnaie chaque issue a une probabilité de 0 ,5 .
On est bien dans une épreuve de Bernoulli, où le succès S : « obtenir PILE » a pour probabilité 0 ,5 .
La répétition des 5 épreuves indépendantes est donc bien un schéma de Bernoulli de paramètre n=5
et p=0 , 5 .
b) Étudier si les variables aléatoires X et Y suivent une loi binomiale.
La variable aléatoire X compte le nombre de succès S lors des 5 lancers. X suit donc bien une loi
binomiale de paramètres n=5 et p=0 , 5 et
1 5 5 1
k
5−k
5
5
P ( X =k )=
( 0 ,5 ) ( 0 , 5 ) =
=
pour k entier 0⩽k ⩽5 .
k
k 2
k 32
La variable aléatoire Y ne s’intéresse pas au nombre de succès S obtenus au cours des 5 lancers,
mais au rang du premier succès obtenu. Y ne suit pas une loi binomiale ou « loi du nombre de
succès ».
1 k
1 5 1
P ( Y =k )=
=
pour 1⩽k ⩽5 et P ( Y =0 ) =
2
2
32
()
( )
( )( ) ( )
( )