Cours sur la logique TS - Les pages mathématiques de Monsieur

Un peu de logique
1) Définition : Une proposition (ou assertion) est une phrase mathématique dont on peut dire qu’elle est vraie ou fausse.
2) La négation : La négation d’une proposition P est la proposition qui est fausse lorsque P est vraie et vice-versa. On la note
non P ou
P
.
3) Les quantificateurs : Les quantificateurs permettent de connaître le domaine de validité d’une proposition.
a) Si la proposition est vraie pour tous les éléments d’un ensemble, on utilise le quantificateur universel « Pour tout » ou « quel
que soit ».
Exemples : « Pour tout réel x, x² est positif ou nul » ; « Tous les ans, Noël est en décembre ».
b) Si la proposition n’est vraie que pour quelques éléments, on utilise le quantificateur existentiel « il existe ».
Exemple : « Il existe des réels x tels que x² > 100 » ; « Il existe des années où il ne neige pas ».
c) La négation de « pour tout » est « il existe » et vice-versa.
4) Relations entre deux propositions : Soit P et Q deux propositions.
a) La proposition « si P alors Q » exprime que « Si P est vraie alors Q est vrai ». Il s’agit d’une implication.
P est une condition suffisante pour Q : il suffit que P soit vraie pour que Q soit vraie.
Q est une condition nécessaire pour P : Si P est vraie alors nécessairement Q est vraie.
b) La réciproque de l’implication « si P alors Q » est la proposition « si Q alors P ». Attention la réciproque d’une implication
n’est pas toujours vraie.
c) Si l’implication et sa réciproque sont vraies alors P et Q sont équivalentes. On dit alors que P est une condition nécessaire et
suffisante pour Q.
c) La contraposée de l’implication « si P alors Q » est la proposition « si non Q alors non P ».
Une implication et sa contraposée sont toutes les deux fausses ou toutes les deux vraies. Elles sont équivalentes.
Exemple :
3 – Les différents types de démonstrations pour « Si P alors Q » :
a) La démonstration directe : En utilisant le fait que P soit vraie, on montre que Q est vraie.
b) Le raisonnement par disjonction des cas : Ce raisonnement est utilisé lorsque P est une réunion de plusieurs cas. Pour
chacun des cas, on montre alors que Q est vraie.
c) Le raisonnement par contraposée : On montre que « Si non Q alors non P » est vraie. Alors « Si P alors Q » sera vraie.
d) Le raisonnement par l’absurde : On utilise le fait que P soit vraie et on suppose que Q est fausse. On montre alors qu’on
obtient une proposition qui est à la vraie et fausse, sous ces deux hypothèses. C’est absurde. Donc Q est vraie.
e) Démontrer par contre-exemple : Pour démontrer que proposition définie de manière universelle (Pour tout.. ) est fausse, il
suffit de trouver un élément pour lequel P est fausse. Cet élément est un contre-exemple.