LOI BINOMIALE 1. Répétition d`expériences identiques et

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C. Lainé
LOI BINOMIALE
Cours Première S
1. Répétition d’expériences identiques et indépendantes
1) Définition et propriétés
Exemples :
● Le fait de lancer trois fois de suite un dé cubique équilibré constitue la répétition de trois
expériences (lancer un dé) identiques et indépendantes car le numéro apparu sur la face
supérieure lors d’un lancer du dé ne dépend pas du numéro obtenu aux deux autres lancers.
● Une urne contient 2 boules blanches et 3 boules noires. On tire au hasard une boule et on
la remet dans l'urne. On répète cette expérience 10 fois de suite. Ces expériences sont
identiques et indépendantes.
Définition 1 : ● On dit qu’il y a répétition d’expériences identiques lorsque la même
expérience aléatoire est répétée plusieurs fois de suite.
● On dit que ces expériences aléatoires successives sont indépendantes si les résultats de
chacune ne dépendent pas des résultats des autres expériences.
Remarque : si un professeur fait deux jours de suite un contrôle surprise à ses élèves ; ces
deux expériences sont identiques mais la probabilité que les élèves aient révisé le second
jour est plus importante que le premier jour. Ces deux expériences ne sont donc pas
indépendantes.
Lorsqu’une expérience aléatoire est la répétition de plusieurs épreuves identiques et
indépendantes, on peut la représenter par un arbre pondéré où une issue est une liste
ordonnée de résultats, représentée par un chemin.
On admettra la loi suivante :
Propriété 1 : Dans une expérience aléatoire étant la répétition de plusieurs épreuves
identiques et indépendantes, la probabilité d’une issue représentée par un chemin est égale
au produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin.
En outre, on peut énoncer la propriété suivante, que l’on admet également :
Propriété 2 : Dans une expérience aléatoire étant la répétition de plusieurs épreuves
identiques et indépendantes, la probabilité d’un événement A est la somme des probabilités
des issues associées aux chemins qui conduisent à la réalisation de A.
Exemple : Une urne contient neuf boules indiscernables au toucher : quatre rouges, trois
vertes et deux noires. L’expérience aléatoire considérée consiste à tirer successivement
et au hasard deux boules de l’urne avec remise et à noter les couleurs obtenues.
1) Représenter l'ensemble des issues de ces expériences dans un arbre.
2) Déterminer la probabilité :
a) d'obtenir une boule rouge et une boule verte
b) deux boules de même couleur
1) On remet la boule après le premier tirage, donc la composition de l’urne lors du second
tirage est identique à celle rencontrée lors du premier tirage. Cette expérience aléatoire
consiste donc en la répétition, deux fois de suite, de l’expérience « tirer au hasard une boule
dans l’urne et noter sa couleur ».

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Comme le résultat du second tirage ne dépend pas de l’issue du premier, les deux
expériences (1er et 2e tirage) sont donc indépendantes. Il s’agit donc bien de la répétition de
deux expériences aléatoires identiques et indépendantes.
Attention, il n’en serait pas de même lors d’un tirage sans remise. En effet, la composition de
l’urne lors du second tirage se trouverait modifiée par le premier.
2) a) La probabilité d’obtenir une boule rouge et une boule verte est égale à
4 3 3 4 8
9 9 9 9 27
× + × =
.
b) La probabilité d’obtenir deux boules de même couleur est égale à
2 2 2
4 4 3 3 2 2 4 3 2 29
9 9 9 9 9 9 9 9 9 81
× + × + × = + + =
.
2) Exemple de variable aléatoire associée à une telle situation
Reprenons l’exemple précédent.
On considère la variable aléatoire X qui indique le nombre de boules rouges obtenues.
X peut prendre les valeurs 0 ; 1 et 2.
( )
2
4 16
2
9 81
= = = X p
;
( )
4 3 4 2 3 4 2 4 40
1
9 9 9 9 9 9 9 9 81
= = × + × + × + × =X p
;
( ) ( ) ( )
16 40 25
0 1 1 2 1
81 81 81
= = − = − = = − − =X X X p p p
.
On résume la loi de probabilité de la variable aléatoire X dans le tableau suivant :

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i
x
0 1 2
(
)
=
i
X x
p
25
81
40
81
16
81
2. Épreuve de Bernoulli – Loi de Bernoulli
1) Épreuve de Bernoulli
Jacques ou Jakob Bernoulli (1654 - 1705) est un mathématicien et
physicien suisse.
Il fut un des premiers à comprendre et à appliquer le calcul
différentiel et intégral, proposé par Leibniz, découvrit les
propriétés des nombres dits depuis nombres de Bernoulli et donna
la solution de problèmes regardés jusque-là comme insolubles.
En 1689, il publie un important travail sur les séries infinies
et sa loi des grands nombres dans la théorie des probabilités.
Définition 2 : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne comportant que
deux issues ; on nomme l’une de ces issues « succès », que l’on note S, et l’autre « échec »,
que l’on note
S
.
Exemple : On lance un dé et on considère par exemple comme succès "obtenir un six" et
comme échec "ne pas obtenir un six".
Définition 3 : On dit qu’une épreuve de Bernoulli est de paramètre p , où
[
]
0 ; 1
∈ p
, si la
probabilité du succès S est égale à p .
La probabilité de l’échec
S
est donc égale à
1
−
p
.
Exemple : Dans l’exemple précédent,
1
6
=
p
.
2) Loi de Bernoulli
Définition 4 : Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre p , où
[
]
0 ; 1
∈ p
, notons X la
variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est indiquée dans le tableau suivant :
i
x
0 1
(
)
=
i
X x
p
1
−
p
p
On dit que la variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p .
3. Schéma de Bernoulli
1) Définition
Définition 5 : Soit n un entier naturel non nul et
p
un nombre réel appartenant à l’intervalle
[
]
0 ; 1
. On appelle schéma de Bernoulli d’ordre n et de paramètre p toute expérience

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aléatoire qui consiste en la répétition de n épreuves de Bernoulli (de paramètre p ) identiques
et indépendantes.
Exemple : Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer trois fois de suite un dé cubique
équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On s’intéresse au nombre d’apparitions du
numéro 6 au terme de ces trois lancers.
Cette expérience est un schéma de Bernoulli de paramètres
3
=
n
et
1
6
=
p
.
En effet, on répète trois fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre
1
6
=
p
, égale à la probabilité d’obtention du chiffre 6 lors d’un lancer du dé.
On obtient par exemple :
( )
3
3
1 1
, ,
6 216
p S S S   = = = p
On remarque qu’il y a trois chemins conduisant à deux succès, c’est-à-dire aux issues
(
)
, ,
S S S
,
(
)
, ,
S S S
et
(
)
, ,
S S S
. Par symétrie, il y a aussi trois chemins menant à deux
échecs, c’est-à-dire aux issues
(
)
, ,
S S S
,
(
)
, ,
S S S
et
(
)
, ,
S S S
.
On peut ainsi formuler qu’il y a autant de chemins conduisant à k succès qu’à k échecs, où
k est un entier compris entre 0 et 3.
4. Coefficients binomiaux et triangle de Pascal
1) Coefficient binomial
Définition 6 : Soit n un entier naturel non nul et
p
un nombre réel appartenant à l’intervalle
[
]
0 ; 1
. Considérons un schéma de Bernoulli d’ordre n et de paramètre p .
Soit k un entier naturel tel que 0
≤ ≤
k n
.
On appelle coefficient binomial, que l’on note
n
k
, le nombre de chemins conduisant à k
succès pour n répétitions sur l’arbre probabiliste représentant le schéma de Bernoulli.

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C. Lainé
Le nombre
n
k
se lit « k parmi n ».
Remarque : Le nombre
n
k
s’appelle aussi nombre de combinaisons de k éléments pris
parmi n .
Propriétés 3 : Soit n et k des entiers naturels tels que 0≤ ≤ k n .
1
0
  =
n
; 1
  =
n
n
;
1
  =
n
n ;
=
−
n n
k n k
.
Démonstrations : ●
0
n
est le nombre de chemins du schéma de Bernoulli conduisant à 0
succès, donc à n échecs. Il n’y en a qu’un seul :
( )
, ,...,S S S . Ainsi, on a bien 1
0
  =
n
.
●
n
n
est le nombre de chemins du schéma de Bernoulli conduisant à n succès. Il n’y en a
qu’un seul :
( )
, ,...,S S S
. Ainsi, on a bien 1
  =
n
n
.
●
1
n
est le nombre de chemins du schéma de Bernoulli conduisant à 1 succès. Il y en a n
qui correspondent aux n places possibles pour l’unique succès. Ainsi, on a bien
1
  =
n
n .
●
n
k
est le nombre de chemins conduisant à k succès. Il y a alors
− n k
échecs. Mais, il y a
autant de chemins qui réalisent k succès que de chemins qui réalisent k échecs, c’est-à-dire
− n k
succès. Or
−
n
n k
est le nombre de chemins conduisant à
− n k
succès.
Par conséquent,
=
−
n n
k n k
.
Application : Calculer
25
24
sans calculatrice.
25 25 25 25
24 25 1 1
= = =
−
.
Remarques :
La fonction se nomme "
COMBIN
".
Pour calculer
25
24
, on saisit : =COMBIN(25;24)
La fonction se nomme "
combinaison
" ou "
nCr
".
Pour calculer
25
24
, on saisit : 25combinaison24 ou 25nCr24 suivant le modèle
de calculatrice.