LOI BINOMIALE 1. Répétition d`expériences identiques et

LOI BINOMIALE
Cours
Première S
1. Répétition d’expériences identiques et indépendantes
1) Définition et propriétés
Exemples :
● Le fait de lancer trois fois de suite un dé cubique équilibré constitue la répétition de trois
expériences (lancer un dé) identiques et indépendantes car le numéro apparu sur la face
supérieure lors d’un lancer du dé ne dépend pas du numéro obtenu aux deux autres lancers.
● Une urne contient 2 boules blanches et 3 boules noires. On tire au hasard une boule et on
la remet dans l'urne. On répète cette expérience 10 fois de suite. Ces expériences sont
identiques et indépendantes.
Définition 1 : ● On dit qu’il y a répétition d’expériences identiques lorsque la même
expérience aléatoire est répétée plusieurs fois de suite.
● On dit que ces expériences aléatoires successives sont indépendantes si les résultats de
chacune ne dépendent pas des résultats des autres expériences.
Remarque : si un professeur fait deux jours de suite un contrôle surprise à ses élèves ; ces
deux expériences sont identiques mais la probabilité que les élèves aient révisé le second
jour est plus importante que le premier jour. Ces deux expériences ne sont donc pas
indépendantes.
Lorsqu’une expérience aléatoire est la répétition de plusieurs épreuves identiques et
indépendantes, on peut la représenter par un arbre pondéré où une issue est une liste
ordonnée de résultats, représentée par un chemin.
On admettra la loi suivante :
Propriété 1 : Dans une expérience aléatoire étant la répétition de plusieurs épreuves
identiques et indépendantes, la probabilité d’une issue représentée par un chemin est égale
au produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin.
En outre, on peut énoncer la propriété suivante, que l’on admet également :
Propriété 2 : Dans une expérience aléatoire étant la répétition de plusieurs épreuves
identiques et indépendantes, la probabilité d’un événement A est la somme des probabilités
des issues associées aux chemins qui conduisent à la réalisation de A.
Exemple : Une urne contient neuf boules indiscernables au toucher : quatre rouges, trois
vertes et deux noires. L’expérience aléatoire considérée consiste à tirer successivement
et au hasard deux boules de l’urne avec remise et à noter les couleurs obtenues.
1) Représenter l'ensemble des issues de ces expériences dans un arbre.
2) Déterminer la probabilité :
a) d'obtenir une boule rouge et une boule verte
b) deux boules de même couleur
1) On remet la boule après le premier tirage, donc la composition de l’urne lors du second
tirage est identique à celle rencontrée lors du premier tirage. Cette expérience aléatoire
consiste donc en la répétition, deux fois de suite, de l’expérience « tirer au hasard une boule
dans l’urne et noter sa couleur ».
1
C. Lainé
Comme le résultat du second tirage ne dépend pas de l’issue du premier, les deux
expériences (1er et 2e tirage) sont donc indépendantes. Il s’agit donc bien de la répétition de
deux expériences aléatoires identiques et indépendantes.
Attention, il n’en serait pas de même lors d’un tirage sans remise. En effet, la composition de
l’urne lors du second tirage se trouverait modifiée par le premier.
2) a) La probabilité d’obtenir une boule rouge et une boule verte est égale à
4 3 3 4
8
.
× + × =
9 9 9 9 27
b) La probabilité d’obtenir deux boules de même couleur est égale à
2
2
2
4 4 3 3 2 2  4 3 2
29
× + × + × =  +  +  =
.
9 9 9 9 9 9 9 9 9
81
2) Exemple de variable aléatoire associée à une telle situation
Reprenons l’exemple précédent.
On considère la variable aléatoire X qui indique le nombre de boules rouges obtenues.
X peut prendre les valeurs 0 ; 1 et 2.
2
16
4 3 4 2 3 4 2 4 40
4
; p ( X = 1) = × + × + × + × =
;
p ( X = 2) =   =
81
9 9 9 9 9 9 9 9 81
9
16 40 25
.
p ( X = 0 ) = 1 − p ( X = 1) − p ( X = 2 ) = 1 −
−
=
81 81 81
On résume la loi de probabilité de la variable aléatoire X dans le tableau suivant :
2
C. Lainé
xi
0
1
2
p ( X = xi )
25
81
40
81
16
81
2. Épreuve de Bernoulli – Loi de Bernoulli
1) Épreuve de Bernoulli
Jacques ou Jakob Bernoulli (1654 - 1705) est un mathématicien et
physicien suisse.
Il fut un des premiers à comprendre et à appliquer le calcul
différentiel et intégral, proposé par Leibniz, découvrit les
propriétés des nombres dits depuis nombres de Bernoulli et donna
la solution de problèmes regardés jusque-là comme insolubles.
En 1689, il publie un important travail sur les séries infinies
et sa loi des grands nombres dans la théorie des probabilités.
Définition 2 : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne comportant que
deux issues ; on nomme l’une de ces issues « succès », que l’on note S, et l’autre « échec »,
que l’on note S .
Exemple : On lance un dé et on considère par exemple comme succès "obtenir un six" et
comme échec "ne pas obtenir un six".
Définition 3 : On dit qu’une épreuve de Bernoulli est de paramètre p, où p ∈ [0 ; 1] , si la
probabilité du succès S est égale à p.
La probabilité de l’échec S est donc égale à 1− p .
Exemple : Dans l’exemple précédent, p =
1
.
6
2) Loi de Bernoulli
Définition 4 : Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre p, où p ∈ [0 ; 1] , notons X la
variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est indiquée dans le tableau suivant :
xi
0
1
p ( X = xi )
1− p
p
On dit que la variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p.
3. Schéma de Bernoulli
1) Définition
Définition 5 : Soit n un entier naturel non nul et p un nombre réel appartenant à l’intervalle
[0 ; 1] . On appelle schéma de Bernoulli d’ordre n et de paramètre p toute expérience
3
C. Lainé
aléatoire qui consiste en la répétition de n épreuves de Bernoulli (de paramètre p) identiques
et indépendantes.
Exemple : Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer trois fois de suite un dé cubique
équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On s’intéresse au nombre d’apparitions du
numéro 6 au terme de ces trois lancers.
1
Cette expérience est un schéma de Bernoulli de paramètres n = 3 et p = .
6
En effet, on répète trois fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre
1
p = , égale à la probabilité d’obtention du chiffre 6 lors d’un lancer du dé.
6
3
1
 1
On obtient par exemple : p ( S, S, S ) = p =   =
216
6
On remarque qu’il y a trois chemins conduisant à deux succès, c’est-à-dire aux issues
3
(S,S,S ) , (S,S,S )
(
)
et S, S, S . Par symétrie, il y a aussi trois chemins menant à deux
(
) (
échecs, c’est-à-dire aux issues S, S, S , S, S, S
)
(
)
et S, S, S .
On peut ainsi formuler qu’il y a autant de chemins conduisant à k succès qu’à k échecs, où
k est un entier compris entre 0 et 3.
4. Coefficients binomiaux et triangle de Pascal
1) Coefficient binomial
Définition 6 : Soit n un entier naturel non nul et p un nombre réel appartenant à l’intervalle
[0 ; 1] . Considérons un schéma de Bernoulli d’ordre n et de paramètre p.
Soit k un entier naturel tel que 0 ≤ k ≤ n .
 n
On appelle coefficient binomial, que l’on note   , le nombre de chemins conduisant à k
 k
succès pour n répétitions sur l’arbre probabiliste représentant le schéma de Bernoulli.
4
C. Lainé
 n
Le nombre   se lit « k parmi n ».
 k
 n
Remarque : Le nombre   s’appelle aussi nombre de combinaisons de k éléments pris
 k
parmi n.
Propriétés 3 : Soit n et k des entiers naturels tels que 0 ≤ k ≤ n .
 n  n 
 n
 n
 n
 =
.
  =1 ;
  =1 ;
 =n ;
0
 n
1 
 k  n − k
 n
Démonstrations : ●   est le nombre de chemins du schéma de Bernoulli conduisant à 0
0
 n
succès, donc à n échecs. Il n’y en a qu’un seul : S, S,..., S . Ainsi, on a bien   = 1 .
0
(
)
 n
●   est le nombre de chemins du schéma de Bernoulli conduisant à
 n
n succès. Il n’y en a
 n
qu’un seul : ( S, S,..., S ) . Ainsi, on a bien   = 1.
 n
 n
1 
●   est le nombre de chemins du schéma de Bernoulli conduisant à 1 succès. Il y en a n
 n
qui correspondent aux n places possibles pour l’unique succès. Ainsi, on a bien   = n .
1 
 n
●   est le nombre de chemins conduisant à k succès. Il y a alors n − k échecs. Mais, il y a
 k
autant de chemins qui réalisent k succès que de chemins qui réalisent k échecs, c’est-à-dire
 n 
n − k succès. Or 
 est le nombre de chemins conduisant à n − k succès.
 n − k
 n  n 
Par conséquent,   = 
.
 k  n − k
 25 
Application : Calculer 
 sans calculatrice.
 24 
 25   25   25 
 =
 =   = 25 .
 24   25 − 1  1 
Remarques :
La fonction se nomme "COMBIN".
 25 
Pour calculer   , on saisit : =COMBIN(25;24)
 24 
La fonction se nomme "combinaison" ou "nCr".
 25 
Pour calculer   , on saisit : 25combinaison24 ou 25nCr24 suivant le modèle
 24 
de calculatrice.
5
C. Lainé
2) Formule de Pascal
 n   n   n + 1
Propriété 4 : Pour tous entiers naturels n et k tels que 0 ≤ k ≤ n − 1 :   + 
=
.
 k   k + 1  k + 1
Démonstration : Soit n un entier naturel non nul et soit k un entier naturel tel que 0 ≤ k ≤ n − 1
Réalisons n + 1 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Le nombre de chemins
 n + 1
conduisant à k + 1 succès pour ces n + 1 répétitions est égal à 
.
 k + 1
Parmi ces chemins, il y en a de deux catégories disjointes :
● ceux qui commencent par un succès : l’arbre représentant les épreuves suivantes (de la
deuxième à la dernière) est alors un arbre de n épreuves, où il reste à choisir k succès : il y a
 n
donc   chemins possibles de cette catégorie.
 k
● ceux qui commencent par un échec : l’arbre représentant les épreuves suivantes (de la
deuxième à la dernière) est alors un arbre de n épreuves, où il reste à choisir k + 1 succès :
 n 
il y a donc 
 chemins possibles de cette catégorie.
 k + 1
 n  n 
Ces catégories étant disjointes, on peut conclure que   + 
 chemins donnent k + 1
 k   k + 1
succès en n + 1 répétitions.
 n   n   n + 1
Par conséquent,   + 
=
.
 k   k + 1  k + 1
Source : wikipédia
Blaise Pascal (1623 -1662) est un mathématicien, physicien, inventeur,
philosophe, moraliste et théologien français.
Les premiers travaux de Pascal concernent les sciences naturelles et
appliquées. Il contribue de manière importante à l’étude des fluides. Il a
clarifié les concepts de pression et de vide, en étendant le travail
de Torricelli. Pascal a écrit des textes importants sur la méthode
scientifique.
En 1641, il invente la première machine à calculer et après trois ans de
développement et 50 prototypes, il la présente à ses contemporains en la
dédiant au chancelier Séguier. Dénommée machine d’arithmétique, puis
roue pascaline et enfin pascaline, il en construisit une vingtaine
d'exemplaires dans la décennie suivante.
Mathématicien de premier ordre, il crée deux nouveaux champs de
recherche majeurs : tout d’abord il publie un traité de géométrie
projective à seize ans ; ensuite il développe en 1654 une méthode de
résolution du « problème des partis » qui, donnant naissance au cours
du XVIIIe siècle au calcul des probabilités, influencera fortement
les théories économiques modernes et les sciences sociales.
3) Triangle de Pascal
Le tableau qui suit se complète de proche en proche comme combinaisons répondant à la
formule de Pascal.
Le triangle de Pascal est utilisé pour déterminer rapidement les coefficients binomiaux.
6
C. Lainé
1 
1
La ligne 2 contient   = 1 et   = 1 .
0
1
 n   n   n + 1
En appliquant la propriété   + 
=
 , on obtient de proche en proche les
 k   k + 1  k + 1
nombres sur les lignes suivantes.
 4 3 3
Ainsi, on a :   =   +   ; d’où on obtient le 6 de la ligne 4 en ajoutant deux nombres de
 2   2  1 
la ligne 3 et ainsi de suite de proche en proche.
Cet algorithme de calcul est présent en Chine au XIVe siècle,
mais Pascal a systématisé son étude et montré toutes ses
ressources.
Le tableau est appelé triangle de Pascal en hommage à ce
dernier qui écrivit en 1654 son "traité du triangle
arithmétique" dans lequel il expose d'innombrables
applications du triangle déjà connu de Tartaglia (1556), Stifel
(1543) et des Chinois (1303).
Le triangle de Pascal vu sur le site de Thérèse Eveillau
5. Loi binomiale
1) Définition
Définition 7 : Soit n un entier naturel non nul et p un nombre réel appartenant à l’intervalle
[0 ; 1] . Considérons un schéma de Bernoulli d’ordre n et de paramètre p.
7
C. Lainé
On note X la variable aléatoire qui compte le nombre total de succès. La loi de probabilité de
la variable aléatoire X est appelée loi binomiale de paramètres n et p. On la note b ( n ; p )
.
Exemple : Reprenons l’ensemble du 3.
Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre d’apparitions du numéro 6 au terme de ces
1

trois lancers. Alors X suit la loi binomiale de paramètres b  3 ;  .
6

Propriété 5 : Soit n un entier naturel non nul et p un nombre réel appartenant à l’intervalle
[0 ; 1] . Si X suit une loi binomiale de paramètres b ( n ; p) , alors pour tout entier k tel que
 n
n− k
0 ≤ k ≤ n , la probabilité que X soit égale à k est : p ( X = k) =   pk (1 − p )
.
 k
Démonstration : On sait que tous les chemins comportant k succès sont équiprobables car,
en faisant le produit des probabilités des n issues de chaque épreuve de Bernoulli, on obtient
k facteurs égaux à p (ce sont les k succès) et n − k facteurs égaux à 1− p (les n − k
échecs). Leur probabilité est donc égale à p k (1 − p )
n− k
.
 n
 n
n− k
De plus, il y a   chemins menant à k succès. Par conséquent, p ( X = k) =   pk (1 − p )
 k
 k
Exemple : Reprenons l’exemple précédent. La probabilité d’obtenir deux chiffres 6 sur les
2
3 −2
3 1  
1
1 5 15
trois lancers est égale à p ( X = 2 ) =      1 −  = 3 ×
× =
.
6
36 6 216
 2  6  
Utilisation de la calculatrice :
Casio Graph 35+
TI 83+
TI nSpire
2) Espérance, variance et écart-type
Propriété 6 (admise) : Soit n un entier naturel non nul et p un nombre réel appartenant à
l’intervalle [ 0 ; 1] .
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres b ( n ; p ) .
Alors : E ( X ) = np ; V ( X ) = np (1 − p ) ; σ ( X ) = np (1 − p ) .
Exemple : Reprenons l’exemple précédent.
1 1
1 5 5
5
E ( X ) = np = 3 × = ; V ( X ) = np (1 − p ) = 3 × × =
≈ 0,65 .
et σ ( X ) = V ( X ) =
6 2
6 6 12
12
8
C. Lainé
Remarque : On peut remarquer que la formule de l’espérance peut s’expliquer sans calcul.
En effet, chaque épreuve de Bernoulli a une espérance de succès égale à p donc, en la
répétant n fois, on peut espérer obtenir en moyenne n × p succès.
9
C. Lainé