DS5 fonctions linéaire et affine 2013

3ème B
DS5 fonctions linéaire et affine
2013-2014 sujet 1
Exercice 1 (12 points)
Les droites (DC) et (BE) sont
parallèles.
a) Démontrer que la fonction qui à
x associe DC est une fonction
2,5
linéaire.
2
b) Démontrer que la fonction qui à
x associe BC est une fonction
affine.
3
c) Dans un repère, représenter les
fonctions f et g telles que
f(x) = 2x et g(x) = 3x – 3.
3x
d) Lire sur le graphique, l’abscisse du point d’intersection des deux droites.
Pour cette valeur de x, quelle est la nature du triangle BDC ?
Exercice 2 (8 points)
On a représenté les fonctions f et g dans un repère.
a) Pour quelle valeur de x a-t-on f(x) = g(x) ?
b) Déterminer les expressions algébriques de f et g.
c) En utilisant les expressions trouvées précédemment, retrouver par le calcul les
résultats de la question a).
1
3ème B
DS5 fonctions linéaire et affine
2013-2014 sujet 2
Exercice 1 (12 points)
Les droites (AC) et (ED) sont parallèles.
a) Démontrer que la fonction qui à x
associe AC est une fonction
linéaire.
b) Démontrer que la fonction qui à x
associe CD est une fonction
affine.
c) Dans un repère, représenter les
fonctions f et g telles que
f(x) = x et g(x) = 2x – 2.
d) Lire sur le graphique, l’abscisse du
point d’intersection des deux droites.
Pour cette valeur de x, quelle est la nature du triangle ACD ?
2
1
2
2x
Exercice 2 (8 points)
On a représenté les fonctions f et g dans un repère.
a) Pour quelle valeur de x a-t-on f(x) = g(x) ?
b) Déterminer les expressions algébriques de f et g.
c) En utilisant les expressions trouvées précédemment, retrouver par le calcul les
résultats de la question a).
2
3ème B
Exercice 1
DS5 fonctions linéaire et affine
CORRECTION
2013-2014 sujet 1
(13 points)
Les droites (DC) et (BE) sont parallèles.
a) Démontrer que la fonction qui à x associe
DC est une fonction linéaire.
b) Démontrer que la fonction qui à x associe
2,5
BC est une fonction affine.
c) Dans un repère, représenter les fonctions f
et g telles que
f(x) = 2x et g(x) = 3x – 3.
3
d) Lire sur le graphique, l’abscisse du point
d’intersection des deux droites.
Pour cette valeur de x, quelle est la nature du triangle BDC ?
2
3x
a) Les droites (DC) et (BE) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les
triangles ABE et ACD :
AB AE BE
=
=
AC AD DC
3
2
Soit
=
3x DC
D’où : 3×DC = 3x×2
Soit : DC = 2x
La fonction qui à x associe la longueur DC est : x
2x.
Il s’agit bien d’une fonction linéaire (de coefficient 2).
b) BC = AC – AB = 3x – 3.
La fonction qui à x associe la longueur BC est : x
3x – 3.
Il s’agit bien d’une fonction affine (de la forme ax + b avec a = 3 et b = -3).
c)
d) L’abscisse du point d’intersection des deux droites est 3.
Pour x = 3, BC = 3×3 – 3 = 6
DC = 2×3 = 6.
BC = DC, donc le triangle BDC est isocèle en C.
(On ne sait pas s’il est de plus équilatéral : il faudrait calculer BD).
3
3ème B
DS5 fonctions linéaire et affine
CORRECTION
2013-2014 sujet 1
Exercice 2 (8 points)
On a représenté les fonctions f et g dans un repère.
a) Pour quelle valeur de x a-t-on f(x) = g(x) ?
b) Déterminer les expressions algébriques de f et g.
c) En utilisant les expressions trouvées précédemment, retrouver par le calcul les résultats de
la question a).
a) f(x) = g(x) pour x = 3 (abscisse du point d’intersection des deux droites)
b) La représentation graphique de la fonction f est une droite.
Donc f est une fonction affine.
f(x) = ax + b
f(0) = 1 ; donc b = 1
f(1) = 2 donc a×1 + 1 = 2
Soit a = 2 – 1 = 1
Donc f(x) = x + 1
La représentation graphique de la fonction g est une droite.
Donc g est une fonction affine.
g(x) = ax + b
g(0) = 5 donc b = 5
g(3) = 4 donc a×3 + 5 = 4
4–5
1
=Soit a =
3
3
1
Soit g(x) = - x + 5
3
c) On résout l’équation f(x) = g(x)
1
x+1=- x+5
3
1
Soit x + x = 5 - 1
3
4
Soit x = 4
3
3
Soit x = 4× = 3
4
4
3ème B
DS5 fonctions linéaire et affine
CORRECTION
2013-2014 sujet 2
Exercice 1 (12 points)
Les droites (AC) et (ED) sont parallèles.
a) Démontrer que la fonction qui à x
associe AC est une fonction linéaire.
b) Démontrer que la fonction qui à x
associe CD est une fonction affine.
c) Dans un repère, représenter les
fonctions f et g telles que
f(x) = x et g(x) = 2x – 2.
d) Lire sur le graphique, l’abscisse du
point d’intersection des deux droites.
Pour cette valeur de x, quelle est la
nature du triangle ACD ?
2
1
2
2x
a) Les droites (AC) et (ED) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les
triangles BDE et BCA :
BD DE BE
=
=
BC CA BA
2
1
2
=
=
Soit :
2x AC BA
On en déduit que AC = x.
La fonction qui à x associe la longueur AC est : x
x.
Il s’agit bien d’une fonction linéaire (de coefficient 1).
b) CD = BC – BD = 2x - 2
La fonction qui à x associe la longueur CD est : x
2x – 2.
Il s’agit bien d’une fonction affine (de la forme ax + b avec a = 2 et b = -2).
c)
c) L’abscisse du point d’intersection des deux droites est 2.
Pour x = 2, AC = 2
DC = 2×2 – 2 = 2.
AC = DC, donc le triangle ACD est isocèle en C.
(On ne sait pas s’il est de plus équilatéral : il faudrait calculer AD).
5
3ème B
DS5 fonctions linéaire et affine
CORRECTION
2013-2014 sujet 2
Exercice 2 (8 points)
On a représenté les fonctions f et g dans un repère.
a) Pour quelle valeur de x a-t-on f(x) = g(x) ?
b) Déterminer les expressions algébriques de f et g.
c) En utilisant les expressions trouvées précédemment, retrouver par le calcul les résultats de
la question a).
a) f(x) = g(x) pour x = 2 (abscisse du point d’intersection des deux droites)
b) La représentation graphique de la fonction f est une droite qui passe par l’origine du repère..
Donc f est une fonction linéaire.
f(x) = ax
f(1) = 2 donc a×1 = 2
Donc f(x) = 2x
La représentation graphique de la fonction g est une droite.
Donc g est une fonction affine.
g(x) = ax + b
g(0) = 5 donc b = 5
g(2) = 4 donc a×2 + 5 = 4
4–5
1
Soit a =
=2
2
1
Soit g(x) = - x + 5
2
c) On résout l’équation f(x) = g(x)
1
2x = - x + 5
2
1
Soit 2x + x = 5
2
5
Soit x = 5
2
2
Soit x = 5× = 2
5
6