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Suite du cours sur les
fonctions
I-Une situation concrête.
On considère le problème concret suivant :
Dans un cinéma on propose les 3 tarifs :
-
T1 : Chaque place est vendue 5euros.
T2 : On paie 60euros puis chaque place est vendue 1 euro.
T3 : Nombre de place illimité pour 100euros.
On cherche à modéliser les 3 situations précédentes par les fonctions.
On commence par définir la variable.
On appellera 𝑥 le nombre de places achetées.
Puis c’est au tour des fonctions :
Soit 𝑓 la fonction qui associe à 𝑥 le prix qu’il faut payer pour 𝑥 places de cinéma avec T1.
Soit 𝑔 la fonction qui associe à 𝑥 le prix qu’il faut payer pour 𝑥 places de cinéma avec T2.
Soit ℎ la fonction qui associe à 𝑥 le prix qu’il faut payer pour 𝑥 places de cinéma avec T3.
On a les fonctions suivantes :
𝑓: 𝑥 → 5 × 𝑥 = 5𝑥
𝑔: 𝑥 → 60 + 1 × 𝑥 = 60 + 𝑥
ℎ: 𝑥 → 100
On vient d’écrire les programmes de calcul pour calculer les valeurs 𝑓(𝑥); 𝑔(𝑥); ℎ(𝑥).
Rappel sur les notions d’images et d’antécédents.
Deux questions :

Que signifie 𝑓(6) ?
𝑓(6) est le prix associé à 6 places de cinéma avec T1.
𝑓(6) = 6 × 5 = 30.
𝑓(6) = 30 est l’image de 6 par la fonction 𝑓.

Si je paie 80 euros avec T2, combien de places puis je-acheter ?
Ici notre inconnue est la variable 𝑥 qui vérifie : 𝑔(𝑥) = 80.
On résout donc l’équation : 𝑔(𝑥) = 80
60 + 𝑥 = 80
Donc : 𝑥 = 20.
On vient de trouver le seul antécédent de 80 par la fonction 𝑔.
II-Fonctions linéaires et affines
Une fonction linéaire vérifie le programme de calcul suivant :
-
Choix d’une variable. (par exemple 𝑥 )
Multiplier par une valeur fixe qui ne varie pas : 𝑎 ≠ 0
On retourne le résultat : 𝑎 × 𝑥
Une fonction de la forme 𝑥 → 𝑎 × 𝑥 = 𝑎𝑥 est appelée fonction linéaire.
La constante 𝑎 est appelée coefficient directeur.
Deux grandeurs sont dîtes proportionnelles si leur quantités sont reliées par une fonction linéaire.
Dans le cas de notre situation concrête sur les places de cinéma on avait :
𝑓(𝑥) = 5𝑥
𝑓 est bien une fonction linéaire de coefficient directeur 5.
𝑓(𝑥) désigne un Prix comme grandeur tandis que 𝑥 est associé à une quantité de places. On retrouve
bien une situation de proportionnalité.
Une fonction affine vérifie le programme de calcul suivant :
-
Choix d’une variable ( 𝑥 par exemple )
Multiplier par une valeur fixe qui ne varie pas : 𝑎 ≠ 0
Ajouter avec une valeur fixe qui ne varie pas : 𝑏 ≠ 0
On retourne le résultat : 𝑎 × 𝑥 + 𝑏
Une fonction de la forme 𝑥 → 𝑎 × 𝑥 + 𝑏 = 𝑎𝑥 + 𝑏 est appelée fonction affine.
𝑎 est toujours appelée coefficient directeur.
𝑏 est appelée ordonnée à l’origine.
Soit 𝑀 un nombre réel. Soit 𝑥 → 𝑎𝑥 + 𝑏 une fonction affine. On cherche les éventuels
antécédents de 𝑀 par cette fonction affine.
On résout donc l’équation : 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑀
𝑎𝑥 = 𝑀 − 𝑏
𝑥=
𝑀−𝑏
𝑎
est l’unique antécédent de M par la fonction 𝑥 → 𝑎𝑥 + 𝑏.
Si 𝑀 = 0 on a 𝑥 =
𝑥=
−𝑏
𝑎
−𝑏
𝑎
qui est appelée valeur pivot associée à la fonction 𝑥 → 𝑎𝑥 + 𝑏.
est l’unique antécédent de 0 par la fonction 𝑥 → 𝑎𝑥 + 𝑏.
Exemple :
Soit 𝑓: 𝑥 → −3𝑥 − 6
On a 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + (−6).
-3 est le coeff directeur et 𝑓 et −6 est l’ordonnée à l’origine de 𝑓.
𝑥=
−(−6)
=−2 est
−3
la valeur pivot associée à 𝑓.