Annales 2011-2015 : complexes E 1

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Annales 2011-2015 : complexes
E 1 .. correction Amerique du Sud 2011
Commun à tous les candidats
1. Résoudre dans l'équation
z2−2z+5=0.
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O;⃗ u,⃗ vd'unité graphique 2 cm.
On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives zA,zB,zCet zDoù :
zA=1+2i,zB=zA,zC=1+p3+i,zD=zC.
(a) Placer les points A et B dans le repère O;⃗ u,⃗ v.
(b) Calculer zB−zC
zA−zCet donner le résultat sous forme algébrique.
(c) En déduire la nature du triangle ABC.
3. Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle Γdont on précisera le
centre et le rayon.
4. Construire les points C et D dans le repère O;⃗ u,⃗ v. Expliquer la construction proposée.
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E 2 .. correction Nouvelle Calédonie 2012
Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Dans cet exercice les deux parties peuvent être traitées indépendamment.
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct O;⃗ u,⃗ v, on appelle A le point
d'affixe 1et Cle cercle de centre A et de rayon 1.
La figure sera réalisée sur une feuille de papier millimétré avec 4 cm pour unité graphique.
Partie A
On considère l'équation
(E) : z2−2z+2=0,
où zest un nombre complexe. On appelle z1et z2les solutions de (E) .
1. Résoudre l'équation (E) dans l'ensemble des nombres complexes .
2. On appelle M1et M2les points d'affixes respectives z1et z2dans le repère O;⃗ u,⃗ v. Mon-
trer que M1et M2appartiennent au cercle C.
Partie B
On considère l'application fdu plan complexe qui à tout point Md'affixe zdistinct de A associe
le point M′d'affixe z′définie par
z′=2z−1
2z−2.
1. Placer le point A et tracer le cercle Csur une figure que l'on complètera au fur et à mesure.
2. Montrer que pour tout complexe zdistinct de 1 on a
z′−1(z−1) =1
2.
3. Montrer que pour tout point Mdistinct de A on a :
•AM×AM′=1
2;
•M′̸=A;
•−→ u;−−→ AM+−→ u;−−−→ AM′=0+2kπ,où kest un entier relatif
4. On considère le point P d'affixe zP=1+eiπ
4. Construire le point P.
5. En utilisant la question 3, expliquer comment construire le point P ′, image de P par f, et
réaliser cette construction.
6. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même infructueuse,
sera prise en compte dans l'évaluation.
Soit un point Mappartenant à la droite D d'équation x=3
4. Soit M′son image par f.
(a) Montrer que le point M′appartient au cercle C′de centre O de rayon 1.
(b) Tout point de C′a-t-il un antécédent par f?
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E 3 .. correction Pondichéry 2012
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Partie A Restitution organisée de connaissances
Soit zun nombre complexe. On rappelle que zest le conjugué de zet que |z|est le module de
z. On admet l'égalité : |z|2=zz .
Montrer que, si z1et z2sont deux nombres complexes, alors |z1z2|=|z1||z2|.
Partie B : Étude d'une transformation particulière
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct O;⃗ u,⃗ v, on désigne par A et B les
points d'affixes respectives 1et −1.
Soit fla transformation du plan qui à tout point Md'affixe z̸= 1, associe le point M′d'affixe
z′tel que :
z′=1−z
z−1
1. Soit C le point d'affixe zC=−2+i .
(a) Calculer l'affixe zC′du point C′image de C par la transformation f, et placer les points C
et C ′dans le repère donné en annexe.
(b) Montrer que le point C ′appartient au cercle Cde centre O et de rayon 1.
(c) Montrer que les points A, C et C ′sont alignés.
2. Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l'ensemble ∆des points du plan qui
ont le point A pour image par la transformation f.
3. Montrer que, pour tout point Mdistinct de A, le point M′appartient au cercle C.
4. Montrer que, pour tout nombre complexe z̸=1, z′−1
z−1est réel.
Que peut-on en déduire pour les points A, Met M′?
5. On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D′par la transfor-
mation f.
Annexe à rendre avec la copie
−→
u
−→
v
O
C
D
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E 4 .. correction Amerique du Sud 2013
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
On considère l'équation
(E) : z2−2zp3+4=0.
1. Résoudre l'équation (E) dans l'ensemble des nombres complexes.
2. On considère la suite (Mn)des points d'affixes zn=2nei(−1)nπ
6, définie pour n⩾1.
(a) Vérifier que z1est une solution de (E) .
(b) Écrire z2et z3sous forme algébrique.
(c) Placer les points M1, M2, M3et M4sur la figure donnée en annexe et tracer, sur la figure
donnée en annexe, les segments [M1,M2],[M2,M3]et [M3,M4].
3. Montrer que, pour tout entier n⩾1,zn=2np3
2+(−1)ni 2.
4. Calculer les longueurs M1M2et M2M3.
Pour la suite de l'exercice, on admet que, pour tout entier n⩾1,MnMn+1=2np3.
5. On note ℓn=M1M2+M2M3+···+MnMn+1.
(a) Montrer que, pour tout entier n⩾1, ℓn=2p3(2n−1).
(b) Déterminer le plus petit entier ntel que ℓn⩾1000 .
ANNEXE à rendre avec la copie
2
4
6
8
−2
−4
−6
−8
2 4 6 8 10 12 14 16
O
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E 5 .. correction Antilles 2013
Commun n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
On considère la suite (zn)à termes complexes définie par z0=1+i et, pour tout entier naturel
n, par
zn+1=zn+|zn|
3.
Pour tout entier naturel n, on pose : zn=an+ibn, où anest la partie réelle de znet bnest la
partie imaginaire de zn.
Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites (an)et (bn).
Partie A
1. Donner a0et b0.
2. Calculer z1, puis en déduire que a1=1+p2
3et b1=1 3.
3. On considère l'algorithme suivant :
Variables : Aet Bdes nombres réels
Ket Ndes nombres entiers
Initialisation : Affecter à Ala valeur 1
Affecter à Bla valeur 1
Traitement :
Entrer la valeur de N
Pour Kvariant de 1 à N
Affecter à Ala valeur A+pA2+B2
3
Affecter à Bla valeur B
3
FinPour
Afficher A
(a) On exécute cet algorithme en saisissant N=2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous
contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme (on arrondira les valeurs cal-
culées à 10−4près).
K A B
1
2
(b) Pour un nombre Ndonné, à quoi correspond la valeur affichée par l'algorithme par rapport
à la situation étudiée dans cet exercice ?
Partie B
1. Pour tout entier naturel n, exprimer zn+1en fonction de anet bn.
En déduire l'expression de an+1en fonction de anet bn, et l'expression de bn+1en fonction de
anet bn.
2. Quelle est la nature de la suite (bn)? En déduire l'expression de bnen fonction de n, et
déterminer la limite de (bn).
3. (a) On rappelle que pour tous nombres complexes zet z′:
z+z′⩽|z|+z′(inégalité triangulaire).
Montrer que pour tout entier naturel n,
|zn+1|⩽2|zn|
3.
(b) Pour tout entier naturel n, on pose un=|zn|.
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
un⩽2
3np2.
En déduire que la suite (un)converge vers une limite que l'on déterminera.
(c) Montrer que, pour tout entier naturel n,|an|⩽un. En déduire que la suite (an)converge
vers une limite que l'on déterminera.
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