Premiere s exercices angles orientes

Première S Exercices angles orientés – repérage polaire 2010-2011
1
Exercice 1 : angles orientés
Sur la figure, ABC est un triangle équilatéral et EHA est rectangle isocèle en H.
Trouver la mesure principale de chacun des angles orientés suivants.
a) (
→
AB ,
→
AC ) b) (
→
BA ,
→
CB ) c) (
→
AH,
→
EB )
d) (
→
EA ,
→
EC ) e) (
→
EA ,
→
CH ) f) (
→
AC ,
→
AE )
Exercice 2 : lignes trigonométriques
a) Placer sur le cercle trigonométrique les points repérés par :
5π
2 - x, 3π + x, 5π - x, x - π 2
b) Simplifier l'expression :
sin 
5π
2 - x + sin(3π + x) + cos(5π - x) + cos 
x - π
2
Exercice 3 : repérage polaire : valeurs exactes de cos 3π
ππ
π
8 et sin 3π
ππ
π
8.
On considère les points A de coordonnées polaires (2;0) et B image de A dans la
rotation de centre O et d'angle 3π
4. I est le milieu de [AB].
1) Calculer les coordonnées cartésiennes de A et B puis en déduire celle de I.
2) a) Préciser la nature du triangle OAB et en déduire la mesure principale
de (
→
i ,
→
OI ).
b) Quelles sont les coordonnées polaires de I ?
3) En déduire les valeurs exactes de cos 3π
8 et sin 3π 8.

Première S Exercices angles orientés – repérage polaire 2010-2011
CORRECTION
2
Exercice 1 : angles orientés
Sur la figure, ABC est un triangle équilatéral et EHA est rectangle isocèle en H.
Trouver la mesure principale de chacun des angles orientés suivants.
a) (
→
AB ,
→
AC ) b) (
→
BA ,
→
CB ) c) (
→
AH,
→
EB )
d) (
→
EA ,
→
EC ) e) (
→
EA ,
→
CH ) f) (
→
AC ,
→
AE )
(
→
AB ,
→
AC ) = π
3 (car ABC est équilatéral)
(
→
BA ,
→
CB ) = π - π
3 = 2π 3
(
→
AH,
→
EB ) = π
2
(
→
EA ,
→
EC ) = - π
4 (car AEH est isocèle rectangle)
(
→
EA ,
→
CH) = π - π
4 = 3π 4
(
→
AC ,
→
AE ) = (
→
AC ,
→
AH) + (
→
AH,
→
AE ) = - π
6 - π 4 = - 5π 12
Exercice 2 : lignes trigonométriques
a) Placer sur le cercle trigonométrique les points repérés par :
5π
2 - x, 3π + x, 5π - x, x - π 2
b) Simplifier l'expression :
sin 
5π
2 - x + sin(3π + x) + cos(5π - x) + cos 
x - π
2

Première S Exercices angles orientés – repérage polaire 2010-2011
CORRECTION
3
a)
b) sin 
5π
2 - x + sin(3π + x) + cos(5π - x) + cos 
x - π
2
= sin 
π
2 - x + sin(π + x) + cos(π - x) + sin(x)
= cos(x) - sin(x) - cos(x) + sin(x) = 0
Exercice 3 : repérage polaire : valeurs exactes de cos 3π
ππ
π
8 et sin 3π
ππ
π
8.
On considère les points A de coordonnées polaires (2;0) et B image de A dans la
rotation de centre O et d'angle 3π
4. I est le milieu de [AB].
1) Calculer les coordonnées cartésiennes de A et B puis en déduire celle de I.
2) a) Préciser la nature du triangle OAB et en déduire la mesure principale
de (
→
i ,
→
OI ).
b) Quelles sont les coordonnées polaires de I ?
3) En déduire les valeurs exactes de cos 3π
8 et sin 3π 8.
1) Les coordonnées cartésiennes de A sont (2;0).
Celles de B sont : 
2×cos 3π
4; 2×sin 3π 4
Soit B (- 2; 2)
Les coordonnées de I sont 
x
A +
x
B
2;y
A
+ y
B
2

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CORRECTION
4
Soit I 
2 - 2
2;2 2
2) a) Le triangle OAB est isocèle en O.
Donc(
→
OA,
→
OI ) = 3π
8 (car (OI) est à la fois médiane issue de O et
bissectrice de l'angle d O dans le triangle isocèle en O OAB).
Donc (
→
i ,
→
OI ) = 3π
8
3) Les coordonnées polaires de I.sont donc de la forme 
r, 3π
8 (avec r = OI)
On a donc x
I
= r×cos 3π
8 et y
I
= r×sin 3π
8
Donc cos 3π
8 = x
I
r et sin 3π 8 = y
I
r
r² = OI² = x
I
² + y
I
² = 1
4
( )
(2 – 2)² + 2² = 8 - 4 2
4 = 2 - 2
Donc r = 2 - 2
Donc cos 3π
8 = 2 - 2
2 2 - 2 = 2 - 2
2
et sin 3π
8 = 2
2 2 – 2 = 1
2
2
2 - 2 = 1
2 2(2 + 2) 4 - 2 = 2 + 2 2
(Pour sinus, on a multiplié par la quantité conjuguée de 2 - 2 qui est 2 +
2 pour rendre le dénominateur entier).