R´eduction de Gauss

FMMA244 - Approfondissement en g´ eom´ etrie 2011-2012
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R´ eduction de Gauss
Formes quadratiques
Soit Eun K-espace vectoriel (K=Rou C). Une forme quadratique sur Eest une application q:E→Ktelle
qu’il existe une forme bilinéaire symétrique ϕ:E×E→Ktelle que q(x)=ϕ(x,x) pour tout x∈E. La forme
bilinéaire symétrique ϕest alors unique et appelée la forme polaire de q. En effet, pour tout x,y∈E, on a:
q(x+y)=q(x)+2ϕ(x,y)+q(y) et donc ϕ(x,y)=1
2q(x+y)−q(x)−q(y).
En particulier une forme quadratique qvérifie
q(0E)=0,q(λx)=λ2q(x),et q(x+y)+q(x−y)=2q(x)+q(y)(égalité du parallélogramme)
pour tous x,y∈Eet λ∈K.
Exemples
1. Toute forme quadratique qsur Knest un polynôme homogène de degré 2 en les variables x1,...,xn.
2. Plus généralement, soient qest une forme quadratique sur Eet E=(e1,··· ,en) une base de E.
Alors, pour tout x=x1e1+···+xnen∈E,
q(x)=X
1≤i,j≤n
ai,jxixj=X
1≤i≤n
ai,ix2
i+X
1≤i<j≤n
2ai,jxixj
où ai,j=ϕ(ei,ej) avec ϕla forme polaire de q. Puisque ϕest symétrique, [ai,j]1≤i,j≤n∈Mn(K) est une matrice
symétrique.
3. Soient Uun ouvert d’un R-espace vectoriel normé Eet f:U⊂E→Rune application deux fois differentiable
en a∈U. Alors, par le théorème de Schwarz, la hessienne Hessaf:E→Rde fen aest une forme quadratique
sur E.
R´ eduction des formes quadratiques
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n. Rappelons qu’une forme linéaire sur Eest une application
linéaire ℓ:E→K. L’ensemble E∗=L(E,K) des formes linéaires sur E, appelé le dual de E, est alors une
K-espace vectoriel de dimension n.
Théorème
Soit q une forme quadratique sur E non nulle. Alors existe un entier r ≥1, des formes linéaires ℓ1, . . . , ℓr∈E∗
indépendantes (i.e., formant une famille libre dans E∗) et des scalaires a1,...,ar∈Ktous non nuls, tels que
∀x∈E,q(x)=a1ℓ1(x)2+···+arℓr(x)2.
Le théorème se démontre en appliquant l’algorithme de réduction de Gauss donné ci-dessous, qui permet de
trouver des formes linéaires ℓ1,...,ℓrindépendantes et des scalaires a1,...,artous non nuls tels que q=a1ℓ2
1+
··· +arℓ2
r. Notons que les formes linéaires ℓ1,...,ℓret les scalaires a1,...,arne sont pas uniques (même à
permutation près). L’entier rest égal au rang de q. Lorsque K=R, la signature de qest (s,t) où
s=card1≤i≤r|ai>0et t=r−s=card1≤i≤r|ai<0.

Algorithme de r´ eduction de Gauss
L’algorithme de réduction de Gauss est un algorithme qui permet de décomposer une forme quadratique (non
nulle) en somme de carrés de formes linéaires indépendantes, chaque carré étant affecté d’un coefficient (voir le
théorème). Soit qune forme quadratique sur un K-espace vectoriel de dimension finie n. On munit Ed’une base
E=(e1,··· ,en) de sorte que, pour x=x1e1+···+xnen∈E,
q(x)=
n
X
i=1
ai,jx2
i+X
1≤i<j≤n
2ai,jxixj
où ai,j=ϕ(ei,ej) avec ϕla forme polaire de q. L’algorithme procède par diminution du nombre des variables xi
qui interviennent dans cette expression de la forme quadratique. Deux cas sont possibles, et sont examinés dans
cet ordre :
Premier cas : la forme quadratique contient un terme au carré x2
i
Pour fixer les idées, supposons que ce soit x2
1. On regroupe alors tous les termes contenant la variable x1et on les
voit comme le début du développement d’un carré du type (x1+...)2:
q(x)=a1,1x2
1+x1f(x2,··· ,xn)+g(x2,··· ,xn)
=a1,1 x1+1
2f(x2,··· ,xn)!2
−a1,1
4f(x2,··· ,xn)2+g(x2,··· ,xn)
=a1,1ℓ1(x)2+q′(x)
où ℓ1est une forme linéaire sur Edonnée par :
ℓ1(x1e1+···+xnen)=x1+1
2f(x2,··· ,xn)
et q′est une nouvelle forme quadratique sur Edans laquelle la variable x1n’apparaît plus :
q′(x1e1+···+xnen)=−a1,1
4f(x2,··· ,xn)2+g(x2,··· ,xn).
On continue à faire tourner l’algorithme sur cette nouvelle forme quadratique (i.e., on regarde si q′vérifie le
premier cas ou le second cas décrit ci-dessous, etc...).
Second cas : la forme quadratique ne contient aucun carré x2
i
Dans ce cas, on choisit deux variables qui apparaissent sous la forme xixj. Pour fixer les idées, supposons que
le produit x1x2apparaisse dans l’expression de q. On isole alors tous les termes qui contiennent x1ou x2, et
on voit d’abord leur somme comme le produit de deux formes linéaires, l’une contenant x1mais pas x2, l’autre
contenant x2mais pas x1, en retranchant évidemment ce qui apparaît en trop quand on effectue le produit de ces
deux formes linéaires :
q(x)=a1,2x1x2+x1f(x3,··· ,xn)+x2g(x3,··· ,xn)+h(x3,··· ,xn)
=a1,2x1+g(x3,··· ,xn)x2+f(x3,··· ,xn)−a1,2f(x3,··· ,xn)g(x3,··· ,xn)+h(x3,··· ,xn)
=a1,2ℓ′
1(x)ℓ′ 2(x)+q′(x)
où
ℓ′
1(x1e1+···+xnen)=x1+g(x3,··· ,xn), ℓ′ 2(x1e1+···+xnen)=x2+f(x3,··· ,xn)
et
q′(x1e1+···+xnen)=−a1,2f(x3,··· ,xn)g(x3,··· ,xn)+h(x3,··· ,xn).
Enfin, en utilisant l’identité
ab =1
4(a+b)2−1 4(a−b)2,
on voit le produit de deux formes linéaires comme la différence de deux carrés, ce qui permet d’exprimer fi-
nalement qcomme la somme (en fait la différence) de deux carrés de formes linéaires et d’une nouvelle forme

quadratique q′dans laquelle les variables x1et x2n’apparaissent plus :
q(x)=a1,2ℓ′
1(x)ℓ′ 2(x)+q′(x)
=a1,2
4ℓ′
1(x)+ℓ′ 2(x)2−a1,2
4ℓ′
1(x)−ℓ′ 2(x)2+q′(x)
=a1,2
4ℓ1(x)2−a1,2 4ℓ2(x)2+q′(x)
où
ℓ1(x)=ℓ′
1(x)+ℓ′ 2(x) et ℓ2(x)=ℓ′ 1(x)−ℓ′ 2(x).
On continue à faire tourner l’algorithme sur cette nouvelle forme quadratique q′(ie. on regarde si celle-ci vérifie
le premier cas ou le second cas décrit ci-dessous, etc...).
Exercices
1. Déterminer une réduction de Gauss de la forme quadratique qsur K3définie par q(x,y,z)=2x2−y2−4xy−8yz.
2. Déterminer une réduction de Gauss de la forme quadratique qsur K3définie par q(x,y,z)=x2+xy +xz.
3. Déterminer une réduction de Gauss de la forme quadratique qsur K4définie par q(x,y,z,t)=xy +xz +yz +zt.
Correction
1. L’application de l’algorithme de réduction de Gauss donne, pour tout (x,y,z)∈K3,
q(x,y,z)=2x2−y2−4xy −8yz
=2x2−2xy−y2−8yz
=2(x−y)2−y2−y2−8yz
=2(x−y)2−3y2−8yz
=2(x−y)2−3 y2+8
3yz!
=2(x−y)2−3
 y+4
3z!2
−16
9z2
=2(x−y)2−3 y+4
3z!2
+16
3z2.
En posant :
ℓ1(x,y,z)=x−y, ℓ2(x,y,z)=y+4
3zet ℓ3(x,y,z)=z,
on a bien décomposé qsous la forme q=2ℓ2
1−3ℓ2 2+16 3ℓ2 3avec (ℓ1, ℓ2, ℓ3) libre dans K3∗.
Lorsque K=R, la signature de qest (2,1).
2. L’application de l’algorithme de réduction de Gauss donne, pour tout (x,y,z)∈K3,
q(x,y,z)=x2+xy +xz = x+1
2y+1 2z!2
− 1
2y+1 2z!2
.
En posant :
ℓ1(x,y,z)=x+1
2y+1 2zet ℓ2(x,y,z)=1 2y+1 2z.
on a bien décomposé qsous la forme q=ℓ2
1−ℓ2 2avec (ℓ1, ℓ2) libre dans K3∗.
Lorsque K=R, la signature de qest (1,1).

3. L’application de l’algorithme de réduction de Gauss donne, pour tout (x,y,z,t)∈K4,
q(x,y,z,t)=xy +xz +yz +zt
=xy +xz +yz+zt
=(x+z)(y+z)−z2+zt
=(x+z)(y+z)−z2+zt
=1
4x+y+2z2−1 4x−y2−z2+zt
=1
4x+y+2z2−1 4x−y2−z2−zt
=1
4x+y+2z2−1 4x−y2−(z−1 2t)2−1 4t2
=1
4x+y+2z2−1 4x−y2−z−1 2t2+1 4t2.
En posant :
ℓ1(x,y,z,t)=x+y+2z, ℓ2(x,y,z,t)=x−y, ℓ3(x,y,z,t)=z−1
2tet ℓ4(x,y,z,t)=t,
on a bien décomposé qsous la forme q=1
4ℓ2 1−1 4ℓ2 2−ℓ2 3+1 4ℓ2 4avec (ℓ1, ℓ2, ℓ3, ℓ4) libre dans K4∗.
Lorsque K=R, la signature de qest (2,2).