TD 6 - Formes quadratiques

FIMFA 2007-2008-TD d’algèbre I
Rachel Ollivier
TD 6 - Formes quadratiques
Exercice 1. On appelle niveau d’un corps K l’élément ν(K) de N≥1 ∪ {∞} défini par :
ν(K) =
∞ si − 1 n’est pas une somme de carrés d’éléments de K,
inf{n ∈ N, n ≥ 1, ∃(x1 , . . . , xn ) ∈ K n , x21 + · · · + x2n = −1} sinon.
1. Montrer que si deux corps sont isomorphes alors ils ont le même niveau. La réciproque
est-elle vraie ?
√
2. Calculer le niveau des corps suivants : Fpn , Q(i 2), Q(j) et Q(j21/3 ).
3. Soit K un corps de niveau fini. Montrer que ν(K) = ν(K(X)).
4. On suppose maintenant que K est un corps de caractéristique différente de deux. Pour
n ≥ 1, on considère la forme quadratique
n
X
Xi2 .
Q(X1 , . . . , Xn ) =
i=1
Si Q admet un vecteur isotrope dans
K n,
montrer que Q(K n ) = K.
5. Supposons que n est de la forme n = 2k avec k ∈ N et que Q n’a pas de vecteur isotrope.
Montrer que pour tout vecteur non nul (x1 , . . . , xn ), il existe une matrice Tx1 ,...,xn ∈ Mn (K)
telle que :
(a) t Tx1 ,...,xn Tx1 ,...,xn = Q(x1 , . . . , xn ) Id.
(b) La première ligne de Tx1 ,...,xn est (x1 , . . . , xn ).
6. En déduire que l’ensemble des sommes non nulles de 2k carrés d’éléments de K est un
groupe multiplicatif.
7. Montrer que si le niveau d’un corps est fini, alors c’est une puissance de 2.
Exercice 2. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 2 et Q une forme quadratique
non dégénérée sur E de forme polaire B. Soient H un hyperplan de E et u ∈ O(Q) vérifiant
u|H = IdH .
1. Si Q|H est non dégénérée, montrer que si u 6= IdE alors u est la réflexion orthogonale
d’hyperplan H.
2. Si Q|H est dégénérée, montrer que u = IdE .
Exercice 3. Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 2, Q une forme quadratique
non dégénérée sur E.
1. Soient x ∈ E − {0} un vecteur isotrope et λ ∈ K ∗ . Montrer qu’il existe u ∈ O(Q) tel que
u(x) = λx. On fixe cet élément de O(Q) et l’on pose
F1 = ker(u − IdE ), F−1 = ker(u + IdE ).
2. Soit x′ un vecteur non nul propre pour u et non isotrope. Montrer que x′ ∈ F1 ∪ F−1 .
3.
(a) On suppose que n est impair et det(u) = 1. Montrer que F1 6= {0}.
(b) On suppose que n est impair et det(u) = −1. Montrer que F−1 6= {0}.
1
2
(c) On suppose que n est pair et det(u) = −1. Montrer que F1 6= {0}.
4. On suppose que K est algébriquement clos. En choisissant la forme quadratique Q(x, y, z) =
2xz + y 2 sur K 3 , montrer que si n ≥ 3, l’endomorphisme u n’est pas nécessairement diagonalisable.
Exercice 4. Soit p un nombre premier impair et −s un carré dans F∗p . Soit t ∈ F∗p . Calculer le
nombre de couples (x, y) ∈ Fp × Fp tels que x2 + sy 2 = t.
Exercice 5. Soit m ∈ N m ≥ 1 et V un espace vectoriel de dimension m sur le corps Fp où p
est un nombre premier impair. Soit B : V × V → Fp une forme bilinéaire symétrique.
1. Démontrer que si B(x, x) = 0 pour tout x ∈ V , alors la forme bilinéaire B est nulle.
2. Si B est non nulle, démontrer que V admet une base orthogonale pour B.
Exercice 6. Soit V un espace vectoriel hermitien de dimension 2. On note E l’ensemble des
éléments hermitiens de End V dont la trace est nulle et pour x ∈ E, on pose Q(x) = − det(x).
1. Calculer la dimension du R-espace vectoriel E.
2. Prouver que Q est une forme quadratique définie positive sur E.
3. Calculer la forme polaire associée à Q.
Exercice 7. Soit q : Mn (R) → R, q(A) = tr(A2 ). Calculer le rang et la signature de q.
Exercice 8. Soit E un K-espace vectoriel sur un corps K algébriquement clos de caractéristique
différente de 2. Soient Q et Q′ deux formes quadratiques sur E telles que Q−1 (0) = Q′ −1 (0).
Montrer qu’il existe a ∈ K ∗ tel que Q′ = aQ. Donner un contre exemple pour E = R2 .
Exercice 9. Soit K un corps de caractéristique différente de 2 et E = R[X]. Déterminer une
base orthogonale de E pour la forme bilinéaire symétrique
b : E × E → K, b(
∞
X
n=0
n
pn X ,
∞
X
n=0
n
qn X ) =
∞ n−1
X
X
pn q m + pm q n .
n=1 m=0
Exercice 10. Soit K un corps de caractéristique différente de 2 distinct de F3 . Soient Q une
forme quadratique sur un K-espace vectoriel E et s ∈ K ∗ tel que l’ensemble Q−1 (s) est non
vide. Montrer que Q−1 (s) engendre E. (Indication : pour a ∈ Q−1 (s), on considère f (x) =
Q(a + x) − Q(a) − Q(x). Si Q−1 (s) n’engendre pas E, il existe une forme linéaire g telle que
Q−1 (s) ⊂ ker g. On montrera que f gQ = 0.)