TD 6 - Formes quadratiques

FIMFA 2007-2008-TD d’algèbre I
Rachel Ollivier
TD 6 - Formes quadratiques
Exercice 1. On appelle niveau d’un corps Kl’élément ν(K)de N≥1∪ {∞} défini par :
ν(K) = ∞si −1n’est pas une somme de carrés d’éléments de K,
inf{n∈N, n ≥1,∃(x1,...,xn)∈Kn, x2
1+···+x2
n=−1}sinon.
1. Montrer que si deux corps sont isomorphes alors ils ont le même niveau. La réciproque
est-elle vraie ?
2. Calculer le niveau des corps suivants : Fpn,Q(i√2),Q(j)et Q(j21/3).
3. Soit Kun corps de niveau fini. Montrer que ν(K) = ν(K(X)).
4. On suppose maintenant que Kest un corps de caractéristique différente de deux. Pour
n≥1, on considère la forme quadratique
Q(X1,...,Xn) =
n
X
i=1
X2
i.
Si Qadmet un vecteur isotrope dans Kn, montrer que Q(Kn) = K.
5. Supposons que nest de la forme n= 2kavec k∈Net que Qn’a pas de vecteur isotrope.
Montrer que pour tout vecteur non nul (x1,...,xn), il existe une matrice Tx1,...,xn∈ Mn(K)
telle que :
(a) tTx1,...,xnTx1,...,xn=Q(x1,...,xn) Id.
(b) La première ligne de Tx1,...,xnest (x1,...,xn).
6. En déduire que l’ensemble des sommes non nulles de 2kcarrés d’éléments de Kest un
groupe multiplicatif.
7. Montrer que si le niveau d’un corps est fini, alors c’est une puissance de 2.
Exercice 2. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n≥2et Qune forme quadratique
non dégénérée sur Ede forme polaire B. Soient Hun hyperplan de Eet u∈O(Q)vérifiant
u|H= IdH.
1. Si Q|Hest non dégénérée, montrer que si u6= IdEalors uest la réflexion orthogonale
d’hyperplan H.
2. Si Q|Hest dégénérée, montrer que u= IdE.
Exercice 3. Soient Eun K-espace vectoriel de dimension finie n≥2,Qune forme quadratique
non dégénérée sur E.
1. Soient x∈E− {0}un vecteur isotrope et λ∈K∗. Montrer qu’il existe u∈O(Q)tel que
u(x) = λx. On fixe cet élément de O(Q)et l’on pose
F1= ker(u−IdE),F−1= ker(u+ IdE).
2. Soit x′un vecteur non nul propre pour uet non isotrope. Montrer que x′∈F1∪F−1.
3. (a) On suppose que nest impair et det(u) = 1. Montrer que F16={0}.
(b) On suppose que nest impair et det(u) = −1. Montrer que F−16={0}.
1

2
(c) On suppose que nest pair et det(u) = −1. Montrer que F16={0}.
4. On suppose que Kest algébriquement clos. En choisissant la forme quadratique Q(x, y, z) =
2xz +y2sur K3, montrer que si n≥3, l’endomorphisme un’est pas nécessairement diago-
nalisable.
Exercice 4. Soit pun nombre premier impair et −sun carré dans F∗
p. Soit t∈F∗
p. Calculer le
nombre de couples (x, y)∈Fp×Fptels que x2+sy2=t.
Exercice 5. Soit m∈Nm≥1et Vun espace vectoriel de dimension msur le corps Fpoù p
est un nombre premier impair. Soit B:V×V→Fpune forme bilinéaire symétrique.
1. Démontrer que si B(x, x) = 0 pour tout x∈V, alors la forme bilinéaire Best nulle.
2. Si Best non nulle, démontrer que Vadmet une base orthogonale pour B.
Exercice 6. Soit Vun espace vectoriel hermitien de dimension 2. On note El’ensemble des
éléments hermitiens de End Vdont la trace est nulle et pour x∈E, on pose Q(x) = −det(x).
1. Calculer la dimension du R-espace vectoriel E.
2. Prouver que Qest une forme quadratique définie positive sur E.
3. Calculer la forme polaire associée à Q.
Exercice 7. Soit q:Mn(R)→R,q(A) = tr(A2). Calculer le rang et la signature de q.
Exercice 8. Soit Eun K-espace vectoriel sur un corps Kalgébriquement clos de caractéristique
différente de 2. Soient Qet Q′deux formes quadratiques sur Etelles que Q−1(0) = Q′−1(0).
Montrer qu’il existe a∈K∗tel que Q′=aQ. Donner un contre exemple pour E=R2.
Exercice 9. Soit Kun corps de caractéristique différente de 2 et E=R[X]. Déterminer une
base orthogonale de Epour la forme bilinéaire symétrique
b:E×E→K, b(
∞
X
n=0
pnXn,
∞
X
n=0
qnXn) =
∞
X
n=1
n−1
X
m=0
pnqm+pmqn.
Exercice 10. Soit Kun corps de caractéristique différente de 2distinct de F3. Soient Qune
forme quadratique sur un K-espace vectoriel Eet s∈K∗tel que l’ensemble Q−1(s)est non
vide. Montrer que Q−1(s)engendre E. (Indication : pour a∈Q−1(s), on considère f(x) =
Q(a+x)−Q(a)−Q(x). Si Q−1(s)n’engendre pas E, il existe une forme linéaire gtelle que
Q−1(s)⊂ker g. On montrera que f gQ = 0.)