Devoie n°11
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Devoir n°11 Exercice 1 : Dans une population, le taux de Cholestérol en grammes par litre peut être assimilé à une variable aléatoire X suivant une loi normale , . On note Φ la fonction définie pour tout réel par Φ = < , où T suit une loi normale centrée réduite. 1) On sait que dans la population étudiée, la probabilité pour que le taux de cholestérol soit inférieur à 1,95 grammes par litre est 0,58 et la probabilité pour que le taux de cholestérol soit compris entre 1,95 et 2,10 grammes par litre est 0,38. a. Calculer < 2,10 . b. Montrer que Φ , = 0,58 et que Φ , = 0,96. c. En déduire que et sont solution du système : 1,95 − = ! où a et b sont deux réels dont on donnera une valeur approchée à 2,10 − = " 10 # près. d. En déduire les valeurs approchées de et arrondies au centième le plus proche. 2) On prend désormais = 1,9 et = 0,1. En admettant que les personnes dont le taux de cholestérol est supérieur à 2,15 grammes par litre doivent subir un traitement, quel est le marché potentiel pour un médicament permettant de réduire ce taux si la population est composée de 100 000 individus ? Exercice 2 : Une machine fabrique en série des plaques de tôle destinées au montage de transformateurs électriques. Ces plaques sont empilées et servent de conducteur de champ magnétique du transformateur. La variable aléatoire X qui à toute plaque choisie au hasard associe son épaisseur en millimètres suit une loi normale de moyenne 0,3 et d’écart type . 1) Déterminer, à 0,01 près, la valeur de pour que : < 0,35 = 0,95. 2) Dans cette question, on prend = 0,03. La réalisation d’un transformateur nécessite un empilage de % plaques prises au hasard et numérotées de 1 à %. On désigne par & la variable aléatoire prenant pour valeur l’épaisseur de la plaque numérotée ' (avec 1 ≤ ' ≤ %). Chacune des variables & suit la même loi que la variable aléatoire X. On appelle )* la variable aléatoire prenant pour valeur la hauteur de l’empilage, c'est-àdire )* = ∑*&, & . On admet que l’espérance et la variance de )* sont respectivement : . )* = ∑*&, . & et / )* = ∑*&, / & . On admet que )* suit une loi normale. Déterminer les paramètres de cette loi en fonction de %. 3) On veut que la probabilité pour que la hauteur )* de l’empilement soit inférieure à 12,5 cm soit supérieur à 0,975. a. Montrer que % vérifie alors la relation : 0,3% + 1,96 × 0,03√% − 12,5 < 0. b. Résoudre cette inéquation, puis en déduire le nombre maximale de tôle que l’on peut empiler.
