(199) c1-logique-propositions

Logique des propositions
1 Opérateurs logiques
1.1 Propositions mathématiques
Une proposition (ou énoncé) mathématique est une phrase qui ne peut avoir qu’une valeur logique parmi « vrai »
ou « faux ».
Définition. Si pest une proposition mathématique, alors la négation de p, notée non p, est la proposition
ayant la valeur logique opposée.
On résume ceci dans une table de vérité :
pnon p
F V
V F
1.2 Conjonction et disjonction
Soit p, q deux propositions. On définit les propositions « pet q» et « pou q» :
Définition. pet qest vraie quand les deux propositions sont vraies en même temps.
p q p et q
F F F
F V F
V F F
V V V
Définition. pou qest vraie quand l’une des deux est vraies, ou les deux sont vraies.
p q p ou q
F F F
F V V
V F V
V V V
1.3 Énoncés de même sens
Soit f,gdeux énoncés construits à partir de propositions p,q, . . . et des connecteurs précédents : on les appelle
des formules de logique.
On notera f≡gpour signifier que pour n’importe quelles valeurs logiques des propositions p,q, . . ., les formules
fet gont la même valeur logique (on dit qu’elles sont équivalentes).
Exemples.
—pet p≡p,pou p≡p
—pet q≡qet p,pou q≡qou p
—pet (qet r)≡(pet q) et r
Pour démontrer que deux formules logiques sont équivalentes, on compare toutes les valeurs logiques obtenues
en faisant varier celles des propositions qui les constituent, par exemple en dressant leurs tables de vérité.
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Proposition 1. Soit p, q, r trois propositions, on a les règles de raisonnements suivantes :
non(pet q)≡
non(pou q)≡
pet (qou r)≡(pet q) ou (pet r)
pou (qet r)≡
2 Quantificateurs
Soit Eun ensemble, xun objet. On note x∈Epour signifier que xappartient à E(ou xest élément de E, ou
Econtient x).
Proposition 2. On appelle prédicat sur un ensemble Etout énoncé à une ou plusieurs variables apparte-
nant à E, noté souvent p(x),q(x, y), etc.
Exemples.
— L’énoncé « x3+x > 0» est un prédicat sur Rà une variable.
— L’énoncé « x3+x=y2+ 1 » est un prédicat sur Rà deux variables.
Soit p(x)un prédicat sur E. Tant qu’on n’a pas remplacé xpar un élément particulier de E, l’énoncé n’est pas
une proposition au sens précédent : suivant la valeur qu’on donne à x, on obtient une proposition qui est soit
vraie, soit fausse.
Définition. On note ∀x∈E p(x)la proposition qui est vraie quand quelle que soit la valeur donnée à
xdans E, la proposition p(x)est vraie. ∀s’appelle le quantificateur universel.
On note ∃x∈E p(x)la proposition qui est vraie quand il existe au moins une valeur donnée à xdans E
telle que la proposition p(x)est vraie. ∃s’appelle le quantificateur existentiel.
Remarque. Dans une proposition ∀x∈E p(x)ou ∃x∈E p(x), le nom formel de la variable n’a aucune
importance, on peut la remplacer par n’importe quelle autre lettre ou symbole, on dit que la variable est muette.
∃x∈E p(x)est équivalente à ∃u∈E p(u), ou à ∃b∈E p(b),. . .
Dans un énoncé, une variable est dite libre si l’énoncé dépend de cette variable, elle est dite liée si elle est
précédée d’un quantificateur, donc si l’énoncé ne dépend pas de cette variable, autrement dit si la variable est
muette.
On peut toujours remplacer une variable muette par une autre, à condition que cette variable ne soit pas
déjà utilisée dans un contexte plus général. Le mieux étant sans doute d’éviter les homonymies fâcheuses, on
privilégie plutôt l’utilisation de symboles non utilisés par ailleurs. Cette idée est à modérer par l’idée que les
mathématiques ont des habitudes et que certains symboles ont des significations sous-entendues partagées par
tous : ndésigne un entier et jamais un réel, xdésigne le plus souvent un réel, zun complexe, etc.
Proposition 3. Soit p(x)un énoncé dépendant de la variable x,xappartenant à un ensemble E.
non(∀x∈E p(x)) ≡
non(∃x∈E p(x)) ≡
Proposition 4. Soit p(x, y)un énoncé dépendant de deux variables, xappartenant à un ensemble E,yà
un ensemble F.
∀x∈E∀y∈F p(x, y)∀y∈F∀x∈E p(x, y)
∃x∈E∀y∈F p(x, y)∀y∈F∃x∈E p(x, y)
∃x∈E∃y∈F p(x, y)∃y∈F∃x∈E p(x, y)
On peut ajouter au quantificateur existentiel une nuance d’unicité :
∃!x∈E p(x)signifie qu’il existe une unique valeur de xdans Etelle que p(x)soit vraie.
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3 En pratique (1)
3.1 Démontrer une proposition
Pour montrer une proposition,
— on peut la déduire directement des hypothèses (explicites ou non) : c’est l’essentiel de l’activité mathé-
matique.
— on peut la montrer par l’absurde ; on veut montrer qu’une proposition pest vraie, on la suppose fausse et
on en déduit une autre proposition q, alors qu’on sait par ailleurs que qest fausse. C’est une contradiction :
la supposition faite au début du raisonnement est donc fausse et donc pest vraie.
Cette idée s’appuie sur le principe du tiers-exclu : une proposition ne peut être que vraie ou fausse, donc
si elle ne peut pas être fausse, elle est donc vraie. Autrement dit, on démontre non(non p)pour en
déduire p.
Si pest fausse, alors
.
.
.
(les arguments sont développés)
.
.
.
Donc une certaine proposition qest vraie. Or on sait que qest
fausse : CONTRADICTION.
Donc pest vraie.
3.2 Prouver une propriété universelle
Pour démontrer une proposition du type : ∀x∈E p(x), le schéma est le suivant :
Soit x∈E.
.
.
.
(les arguments sont développés)
.
.
.
Donc p(x)est vraie.
Il faut travailler en toute généralité, en particulier il est hors de question de donner une valeur particulière à la
variable x(ce ne serait qu’un exemple) ou de lui supposer d’autre propriété que d’appartenir à E(on démontre
autre chose).
3.3 Prouver une existence
Pour démontrer une proposition du type : ∃x∈E p(x), on exhibe une valeur de xtelle que p(x)soit vraie
(celle qu’on veut ! un exemple suffit) ou on utilise un résultat de cours qui justifie l’existence d’une telle valeur
si on ne sait pas la calculer (théorème d’existence, en général ce sont des théorèmes difficiles à démontrer).
Par négation, pour prouver qu’une propriété universelle est fausse, on est ramené à prouver l’existence d’un
contre-exemple.
non(∀x∈E p(x)) ≡ ∃a∈Enon p(a)
Remarque. Cas particulier de l’ensemble vide :
— toute proposition existentielle est fausse dans l’ensemble vide :
si p(x)est une proposition dépendant d’une variable x, alors ∃x∈∅p(x)est fausse.
— toute proposition universelle est vraie dans l’ensemble vide !
si p(x)est une proposition dépendant d’une variable x, alors ∀x∈∅p(x)est vraie !
ceci est pratique pour éviter de distinguer les cas « vide » et « non vide » : on suppose toujours implicitement
que l’ensemble est non vide quand on veut démontrer « ∀x∈E p(x)».
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3.4 Utiliser une propriété universelle ou existentielle
Si on dispose d’une propriété universelle ∀x∈E p(x), alors on peut faire ce qu’on veut de la variable xà
condition qu’elle continue à prendre des valeurs dans E.
Par exemple, on peut lui donner une valeur particulière (spéciale) choisie dans E: on dit qu’on spécialise la
variable x.
En revanche, si on dispose d’une propriété existentielle ∃x∈E p(x), alors on ne peut pas faire ce qu’on veut
de la variable x, on doit faire comme si elle nous était donnée par quelque puissance extérieure. En particulier,
il est hors de question de choisir une valeur de xqui nous intéresse plus qu’une autre
Résumons
On veut : prouver utiliser
une prop. universelle pas de choix libre choix
une prop. existentielle libre choix pas de choix
Exercices :
1) Soit a, b, c trois réels. Montrez que si la proposition ∀x∈Rax2+bx +c= 0 est vraie, alors a=b=c= 0.
2) Soit a, b deux réels. Montrez que si la proposition ∀(x, y)∈R2ax +by >0est vraie, alors a=b= 0.
3) Soit a, b, c trois réels tels que b2< ac, alors montrez que pour tout (x, y)∈R2,ax2+ 2bxy +cy2>0.
3.5 Conséquence de l’unicité : identifier
Soit aun objet défini par une propriété d’existence unique : aest donc l’unique élément d’un ensemble Etel
qu’une certaine propriété p(x)soit vraie.
Alors on peut identifier :
Si x∈Eet p(x)est vraie, alors x=a
Si x∈Eet y∈Eet p(x),p(y)sont vraies, alors x=y
Identifier, c’est toujours utiliser une propriété d’unicité.
4 Équivalence logique et implication
4.1 Équivalence logique
Définition. On dit que deux propositions sont équivalentes quand elles ont la même valeur logique. Si p
et qsont deux propositions, on note p⇔qla proposition qui est vraie quand pet qont la même valeur
logique, et fausse sinon.
p q p ⇔q
F F
F V
V F
V V
Autrement dit, on peut définir le symbole ⇐⇒ à l’aide des symboles ’et’ et ’ou’ :
p⇐⇒ q≡
4.2 Implication
Définition. Soit p, q deux propositions, on appelle implication de qpar pla proposition qui traduit
formellement l’énoncé « si pest vraie, alors qest vraie », notée p⇒q.
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Pour remplir la table de vérité ci-dessous, on peut penser à la négation de « ∀x∈E p(x)⇒q(x)» grâce à la
notion de contre-exemple :
«∀x∈E p(x)⇒q(x)» est fausse signifie la même chose que
D’où la négation de p⇒q:non(p⇒q)≡
puis : p⇒q≡
p q p ⇒q
F F
F V
V F
V V
Dans une implication p⇒q, on dit que qest une condition nécessaire pour pet que pest une condition suffisante
pour q.
Autrement dit, étant donné une proposition p, chercher une condition nécessaire pour p, c’est déterminer une
« conséquence » de p, en général plus simple. Chercher une condition suffisante pour q, c’est chercher une
« cause » de q, en général la plus simple possible. Chercher une condition nécessaire et suffisante, c’est donc
chercher une proposition équivalente, en général plus simple.
Définition. Soit p⇒qune implication.
— On appelle contraposée la proposition (non q)⇒(non p), on montre qu’elle a la même valeur
logique :
p⇒q≡(non q)⇒(non p)
— On appelle réciproque la proposition q⇒p: elle n’a aucun rapport logique a priori avec l’impli-
cation p⇒q! !
— Enfin, la négation de p⇒qest la proposition , donc n’est pas une implication.
L’implication sert à traduire les phrases du genre « si ....., alors ...... ». En effet pour démontrer que l’implication
p⇒qest vraie, on suppose que pest vraie et on déduit que qest vraie : il est inutile de considérer le cas où p
est faux puisque, dans ce cas, quelle que soit la valeur de q, l’implication est vraie.
On constate un lien entre équivalence et implication :
(p⇐⇒ q)≡(p⇒q) et (q⇒p)
Remarque. La notion d’implication mathématique est distincte de celle de déduction. Par exemple, l’énoncé
«1 + 1 = 2 ⇒N6=Rest une implication vraie, mais à ma connaissance, la proposition N6=Rne se déduit pas
de la proposition 1 + 1 = 2.
La déduction est une règle de construction de preuves. Si une proposition qpeut être déduite d’une proposition
p, alors l’implication p⇒qest vraie, mais la réciproque est fausse. On peut écrire de nombreuses implications
qui ne sont pas clairement des déductions. Une implication résume un état, une déduction exprime une action.
Par conséquent, l’activité mathématique étant essentiellement liée à la construction de preuves donc d’utilisation
de la règle de déduction, le symbole ⇒n’a rien à faire dans une démonstration, car il ne signifie pas
« donc ».
J’insiste : l’utilisation du symbole ⇒dans une preuve est interdite comme synonyme de « donc », « par consé-
quent ». . . La langue française regorge de mots et de locutions signifiant la déduction logique, vous avez l’em-
barras du choix. D’ailleurs, tout autre symbole de la logique comme abréviation est interdite : les preuves se
rédigent en langue française.
Les seules exceptions tolérées sont celle du symbole ⇔, qui sert à rédiger des preuves par équivalences (à
condition que ce soient bien des équivalences) et du symbole d’appartenance ∈.
5 En pratique (2)
5.1 Démontrer une implication
Pour démontrer une implication p⇒q, on peut :
— la montrer directement ; on suppose que pest vraie et on démontre que qest vraie selon le schéma
suivant :
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