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Pour remplir la table de vérité ci-dessous, on peut penser à la négation de « ∀x∈E p(x)⇒q(x)» grâce à la
notion de contre-exemple :
«∀x∈E p(x)⇒q(x)» est fausse signifie la même chose que
D’où la négation de p⇒q:non(p⇒q)≡
puis : p⇒q≡
p q p ⇒q
F F
F V
V F
V V
Dans une implication p⇒q, on dit que qest une condition nécessaire pour pet que pest une condition suffisante
pour q.
Autrement dit, étant donné une proposition p, chercher une condition nécessaire pour p, c’est déterminer une
« conséquence » de p, en général plus simple. Chercher une condition suffisante pour q, c’est chercher une
« cause » de q, en général la plus simple possible. Chercher une condition nécessaire et suffisante, c’est donc
chercher une proposition équivalente, en général plus simple.
Définition. Soit p⇒qune implication.
— On appelle contraposée la proposition (non q)⇒(non p), on montre qu’elle a la même valeur
logique :
p⇒q≡(non q)⇒(non p)
— On appelle réciproque la proposition q⇒p: elle n’a aucun rapport logique a priori avec l’impli-
cation p⇒q! !
— Enfin, la négation de p⇒qest la proposition , donc n’est pas une implication.
L’implication sert à traduire les phrases du genre « si ....., alors ...... ». En effet pour démontrer que l’implication
p⇒qest vraie, on suppose que pest vraie et on déduit que qest vraie : il est inutile de considérer le cas où p
est faux puisque, dans ce cas, quelle que soit la valeur de q, l’implication est vraie.
On constate un lien entre équivalence et implication :
(p⇐⇒ q)≡(p⇒q) et (q⇒p)
Remarque. La notion d’implication mathématique est distincte de celle de déduction. Par exemple, l’énoncé
«1 + 1 = 2 ⇒N6=Rest une implication vraie, mais à ma connaissance, la proposition N6=Rne se déduit pas
de la proposition 1 + 1 = 2.
La déduction est une règle de construction de preuves. Si une proposition qpeut être déduite d’une proposition
p, alors l’implication p⇒qest vraie, mais la réciproque est fausse. On peut écrire de nombreuses implications
qui ne sont pas clairement des déductions. Une implication résume un état, une déduction exprime une action.
Par conséquent, l’activité mathématique étant essentiellement liée à la construction de preuves donc d’utilisation
de la règle de déduction, le symbole ⇒n’a rien à faire dans une démonstration, car il ne signifie pas
« donc ».
J’insiste : l’utilisation du symbole ⇒dans une preuve est interdite comme synonyme de « donc », « par consé-
quent ». . . La langue française regorge de mots et de locutions signifiant la déduction logique, vous avez l’em-
barras du choix. D’ailleurs, tout autre symbole de la logique comme abréviation est interdite : les preuves se
rédigent en langue française.
Les seules exceptions tolérées sont celle du symbole ⇔, qui sert à rédiger des preuves par équivalences (à
condition que ce soient bien des équivalences) et du symbole d’appartenance ∈.
5 En pratique (2)
5.1 Démontrer une implication
Pour démontrer une implication p⇒q, on peut :
— la montrer directement ; on suppose que pest vraie et on démontre que qest vraie selon le schéma
suivant :
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