SY01 - Éléments de probabilités - UTC
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Chapitre III
Variables aléatoires continues
III.1 Variable aléatoire continue, loi de probabilité ...... 3
III.2 Caractéristiques des lois ................... 8
III.3 Lois usuelles ........................... 19
III.4 Fonction génératrice des moments ............ 26
III.5 Somme de deux variables aléatoires, inégalités ..... 29
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III.1.1 Introduction
Lorsque les valeurs susceptibles d’être prises par une variable aléatoire forment
un intervalle (ou une réunion d’intervalles) de R, on dit que la variable est conti-
nue, ou que le modèle est continu.
Du point de vue mathématique, il y a donc une différence essentielle avec les
modèles discrèts (finis ou infinis). Cette différence se manifeste par le fait que
pour une v.a. discrète, la probabilité totale (égale à un) se repartit en des points
bien précis, alors que pour une v.a. continue il ne peut y avoir de probabilité non
nulle en un point.
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III.1.2 Variables aléatoires réelles
Exercices :
Exercice A.1.1
On appelle tribu des boréliens de R, notée B, la tribu engendrée par les en-
sembles ouverts de R. Soit (Ω,F, P )un espace probabilisé associé à une expé-
rience aléatoire.
Définition III.1.1. On appelle variable aléatoire réelle (v.a.r.) définie sur
(Ω,F, P )toute application Xde Ωdans Rqui vérifie :
∀B∈ B X−1(B) = {ω∈Ω ; X(ω)∈B} ∈ F.
Proposition III.1.1 (non démontrée). Soit (Ω,F, P )un espace probabilisé as-
socié à une expérience aléatoire et Xune application de Ωdans R. Si
∀x∈RX−1(] − ∞, x]) ∈ F
alors Xest une v.a.r.
Remarque III.1.1. Les variable aléatoires discrètes vues au chapitre 2 répondent
à cette définition ; elles ne sont en fait qu’un cas particulier des variables aléa-
toires réelles.
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